Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МехТепЗадачиФинал2015a.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

855.5 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ И ДИДАКТИКИ ФИЗИКИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для проведения практических занятий

по физике для студентов биологического факультета (механика и молекулярная физика)

Донецк 2015

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для проведения практических занятий по физике

для студентов биологического факультета (механика и молекулярная физика)

Рекомендовано к изданию решением Ученого совета физико-технического факультета ДонНУ

(протокол № 1 от 21.09.14)

Донецк 2015

УДК 378. 147:52

Методические указания для проведения практических занятий по физике для студентов биологического факультета (механика и молекулярная фи-

зика) / Б.И. Бешевли, О.Б. Демина, Н.А. Куликова, А.Н. Семко / Под ред. А.Н. Семко – Донецк: ДонНУ, 2015. – 64 с.

В методических указаниях приведены условия задач для аудиторной и самостоятельной работы, а так же для контроля знаний и умений по механике и молекулярной физике для студентов биологического факультета. По каждой теме дана краткая сводка основных формул и приведены примеры решения типовых задач с подробным объяснением. Тематика и количество задач подобраны в соответствии с программой курса физики для биологического факультета.

Рассмотрена организация самостоятельной работы студентов. Приведены графики проведения практических и лабораторных занятий, программа курса общей физики по механике и молекулярной физике и список вопросов для контроля. Изложены основные принципы модульного контроля и системы оценивания знаний. Приведено распределение баллов при модульном контроле и шкала оценивания ECTS. Даны критерии оценивания по разным видам учебной деятельности: контрольные и лабораторные работы, тестирование, экзамен и самостоятельная работа. Представлены образцы контрольных работ, тестов и экзаменационных билетов по механике и молекулярной физике.

Предназначены для студентов биологического факультета университета.

Ответственный за выпуск: доцент, к.ф.-м.н., А. Е. Зюбанов

Составители:

Б.И. Бешевли, О.Б. Демина, Н.А. Куликова, А.Н. Семко

Рецензент: д.ф.-м.н., профессор В. М. Юрченко

СОДЕРЖАНИЕ

1. Механика................................................................................................	4
1.1. Сводка основных формул .............................................................	4
1.2. Примеры решения типовых задач..............................................	10
1.3. Задачи для работы в аудитории.................................................	21
1.4. Задачи для самостоятельной работы........................................	25
1.5. Задачи для контроля ...................................................................	29
2. Молекулярная физика и термодинамика.......................................	31
2.1. Сводка основных формул ...........................................................	31
2.2. Примеры решения типовых задач..............................................	35
2.3. Задачи для работы в аудитории.................................................	45
2.4. Задачи для самостоятельной работы........................................	47
2.5. Задачи для контроля ...................................................................	49
3. Организация самостоятельной работы.........................................	51
3.1. Программа курса..........................................................................	51
3.2. График практических и лабораторных занятий.........................	53
3.3. Вопросы для контроля.................................................................	55
4. Модульный контроль и система оценивания знаний .................	58
4.1. Система оценивания знаний.......................................................	58
4.2. Критерии оценивания знаний......................................................	59
4.3. Образцы типовых заданий для контроля...................................	60
Приложение.............................................................................................	63

1. МЕХАНИКА

1.1. Сводка основных формул

Кинематика. Положение материальной точки М в пространстве (рис. 1.1) задают радиус-вектором r или координатами (x, y, z), которые связаны выражением

r = xi + y j + z k .

Здесь i , j, k - единичные векторы координатных осей.

Скорость v и ускорение a		точки определяются по
формулам	dr		dv	d 2r

v	= dt = r	, a	= dt = v	= dt2 = r .

	z
z	M	v
	r
x		y
x		y
x		y
x	Рис. 1.1
	Рис. 1.1

Для прямолинейного равноускоренного движения координата и скорость точки изменяются по законам

x = x0 + v0t +	at2	,	v = v0 + at ,
	2

где индексом «0» отмечены начальные значения.

При криволинейном движении ускорение можно разложить на нормальную an и тангенциальную aτ составляющие

		an =	v2	,	aτ =	dv	.
a	= an + aτ ,		R			dt

Нормальное ускорение направлено по радиусу R к центру кривизны траектории, а тангенциальное - по касательной к траектории.

Вращательное движение точки характеризуется углом поворота ϕ, угловой скоростью ω и угловым ускорением ε, которые связаны формулами

ω=	dϕ	,	ε =	dω	.
	dt
				dt

При равноускоренном вращении точки угол поворота ϕ и угловая скорость

ω определяются по формулам	εt2
ϕ = ϕ0 + ω0t +		,	ω= ω0 + εt .
	2

Индексом “0” отмечены начальные значения величин. Линейные и угловые величины связаны соотношениями

v = ωr , aτ = εr , an = ω2r , a = (εr)2 + (ω2r)2 .

При переходе от подвижной системы отчета K' к неподвижной системе от-

счета K скорость и ускорение точки преобразуются по формулам

v = v′ + v0 +[ω,r ], a = a′ + a0 +[ε,r ]+[ω,[ω,r ]]+ 2[ω,v′],

m dv = F −u dm , dt dt

где v0 и a0 - скорость и ускорение центра подвижной системы K'; ω и ε - уг-

ловая скорость и ускорение вращения системе K'; штрихом отмечены параметры в подвижной системе K', без штриха - в неподвижной системе K.

Динамика. Действие одного тела на другое характеризуется силой. На тело действует столько сил, со сколькими телами оно взаимодействует. Инерция

– это свойство тела сохранять свое состояние покоя или движения. Мерой инертности тела является его масса.

I закон Ньютона. Тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, пока на него не действуют другие тела, или их действие скомпенсировано. Системы отсчета, в которых выполняется I закон Ньютона (закон инерции), называются инерциальными.

II закон Ньютона. Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей силе, обратно пропорционально массе и направлено в сторону действующей силы a = F m .

III закон Ньютона. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению

F12 = −F21 .

Принцип относительности Галилея утверждает, что все механические явления протекают одинаково в различных инерциальных системах отсчета, т.е. все инерциальные системы эквивалентны.

Движение системы с переменной массой (реактивное движение) описывается уравнением Мещерского

где u - относительная скорость отделения (присоединения) массы; m = m(t) - переменная масса системы, dmdt - скорость изменения массы.

Силы. В основе всех механических явлений лежит два вида взаимодействия: гравитационное и электромагнитное. Гравитационное взаимодействие двух неподвижных материальных точек описывается законом всемирного тяготения

F = γ m1m2 ,

r122

где γ = 6,67 10-11 м3/(кг с2)- гравитационная постоянная; m1 и m2 - массы материальных точек; r12 - расстояние между точками; направлена сила по прямой, соединяющей точки.

На практике широко применяют следующие силы:

сила тяжести (обусловлена притяжением Земли и направлена вертикально вниз) FT = mg ,

сила упругости (контактная сила, направлена противоположно деформации)

Fy = −k∆l ,

сила трения скольжения (контактная сила, направлена противоположно скорости)

Fmp =µN ,

сила вязкого трения (при движении тела в жидкости или газе) зависит от скорости тела и направлена против скорости; при малых скоростях она пропорциональна скорости, а при больших - квадрату скорости:

F = −k v ,		F = −k		v2 .
c	1	c	2

Здесь g - ускорение свободного падения, k - коэффициент упругости; ∆l - деформация тела, µ - коэффициент трения; N - сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности, k1 и k2 - коэффициенты сопротивления.

Импульс. Произведение массы точки на ее скорость называют импульсом p = mv .

Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов точек p = ∑ pi .

Скорость изменения импульса системы точек равна сумме всех внешних

действующих сил
dp			,
	= F		,	F	= ∑F .
dt	внеш.			внеш.	i
dt
Изменение импульса системы точек равно импульсу всех внешних сил
		t
	∆p	= ∫2 Fвнеш.dt .

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется p = ∑ pi (t)= const .

Система называется замкнутой, если на нее не действуют внешние тела. Центром масс системы называется точка, радиус-вектор которой опреде-

ляется выражение		∑mi ri .
r	=	∑mi ri .
c		∑mi

Теорема о движении центра масс: центр масс системы движется как материальная точка, к которой приложены все действующие на систему силы и в

которой сосредоточена вся масса системы

m dvc = Fвнеш. . dt

На практике широко используют следующие следствия баланса импульса: если действующие на систему силы скомпенсированы, то импульс си-

стемы сохраняется

p = ∑pi = const , если ∑Fi = 0;

если проекция сил на ось х равна нулю, то проекция импульса системы на эту ось сохраняется

px = ∑pix = const , если ∑Fix = 0.

Работа и энергия. Элементарной работой силы F при перемещении dr называется скалярное произведение силы на перемещение

dA = Fdr = Fdr cosα.

Работа силы при перемещении из точки 1 в 2 определяется интегралом

A12 = ∫2 Fdr .

Работа силы за единицу времени называется мощностью

N = dAdt = Fdtdr = Fv .

Кинетическая энергия точки и системы точек определяется по формулам

	mv2	, Ek = ∑	m v2
Ek =			i i	.
	2		2

Изменение кинетической энергии системы равно сумме работ всех сил

∆Ek = ∑Ai .

Среди сил в механике выделяют консервативные, работа которых не зависит от формы траектории (тяжести, упругости и т.д.). Для консервативных сил вводится потенциальная энергия, убыль которой равна работе этих сил

Ep1 − Ep2 = A12 = ∫2 Fdr .

Потенциальная энергия для сил тяжести и упругости равна

Ep = mgz, Ep =	kx	2	,
	2

где z – вертикальная координата, х – деформация пружины.

Проекция силы на ось х и потенциальная энергия связаны выражением

Fx = −dEdxp .

Полной механической энергией называется сумма кинетической и потенциальной энергий системы

E = Ek + Ep .

Закон сохранения полной механической энергии: в замкнутой системе полная механическая энергия сохраняется при отсутствии сил трения

E = Ek	+ Ep = const ,				если Fmp = 0.
Изменение полной механической энергии незамкнутой системы равно ра-
боте внутренних диссипативных Aдисс.				и внешних A			сил
		внутр.				внеш.
E	2	− E = Aдисс.			+ A	.
		1	внутр.		внеш.

Момент импульса. Моментом импульса материальной точки называется

вектор, равный векторному произведению радиус-вектора точки на ее импульс

L =[r, p].

Момент силы равен произведению силы на радиус вектор

M =[r, F ],

где r - радиус-вектор точки приложения силы. Векторы L и M

перпендикулярны векторам (r, p) и (r, F ), а их направление опре-

деляется по правилу правого винта. Модули момента импульса и

момента силы определяются по формулам

Рис. 1.2

sin α = p h ,

sin α = F h ,

или F .

где α - угол между

векторами, h - плечо

вектора

Момент импульса системы равен сумме моментов импульсов точек

= ∑Li .

Скорость изменения момента импульса системы точек равна сумме момен-

тов всех внешних сил

= Mвнеш .

Изменение момента импульса системы равно сумме импульсов моментов

всех внешних сил

∆L = ∫M внешdt .

Закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе момент им- пульса сохраняется L = const .

Момент импульса так же сохраняется, если система находится в поле внешних центральных сил или момент внешних сил скомпенсирован.

Динамика твердого тела. Движение твердого тела в общем случае определяется двумя уравнениями: уравнением движения центра масс и уравнением

моментов относительно центра масс			dL
	dv
m	c	= F ,	c	= M c .
	dt		dt

Вращение тела вокруг неподвижной оси z описывается уравнением

Iε = M z ,

где ε - угловое ускорение, I – момент инерции тела, M z - проекция момента сил

на ось z.

Момент инерции I точки, системы точек и твердого тела равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до оси вращения

I = mr2 ,	I = ∑mi ri2 , I = ∫r 2ρdV ,
	V

где ρ - плотность тела.

Моменты инерции некоторых тел относительно оси, проходящей через их центр масс, равны: стержня длиной l: I = 121 ml2 , диска радиусом R: I = 12 mR2 ,

тонкого кольца радиусом R: I = mR2 , шара радиусом R: I = 52 mR2 .

Теорема Штейнера. Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме его момента инерции Ic относительно оси, параллельной дан-

ной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями

I = Ic + ml2 .

Кинетическая энергия твердого тела складывается из энергии поступательного движения центра масс и энергии вращения относительно центра масс

mv2 I ω2

Ek = 2c + c2 .

Гидромеханика. Закон сохранения массы для установившегося течения сжимаемой (несжимаемой) жидкости в трубе переменного сечения S имеет вид

ρvS = const , (vS = const - для несжимаемой),

где ρ и v – плотность и скорость жидкости.

Для установившегося течения идеальной несжимаемой жидкости вдоль линии тока выполняется уравнение Бернулли

p + ρ2v2 +ρgz = const ,

где ρ, v и р – плотность, скорость и давление жидкости, z – высота данной точки над начальным уровнем.

Различают ламинарное (слоистое) и турбулентное (пульсирующее, хаотическое) движение жидкости. Ламинарный или турбулентный характер движения жидкости определяется безразмерным критерием – числом Рейнольдса

Re = lvηρ = lvν ,

где l – характерный линейный размер, η и ν = ηρ - динамическая и кинемати-

ческая вязкость жидкости, v – скорость жидкости.

При ламинарном движении шарика в жидкости на него действует сила сопротивления пропорциональная скорости, которая определяется по формуле Стокса

Fc = 6πηrv ,

где η - динамическая вязкость жидкости, r и v – радиус и скорость шарика. При ламинарном течении объем V жидкости, протекающей за время t через

трубку радиусом r и длиной l, определяется формулой Пуазейля

V = πr2l ∆p , 8lη

где η - вязкость жидкости, ∆p - разность давлений на концах трубки.

Механические колебания. При гармонических колебаниях координата точки х изменяется по закону синуса (или косинуса)

x = Asin(ωt + α),

где А и (ωt + α) - амплитуда и фаза колебаний, ω - циклическая частота, α -

начальная фаза; частота колебаний f, циклическая частота ω и период Т связаны выражением f =1T = ω2π.

Скорость и ускорение точки при колебаниях определяются по формулам

v = dx	= Aωcos(ωt + α),	a = dv	=	d 2 x	= −Aω2 sin(ωt + α)= −ω2 x .
				dt2
dt		dt

Свободные незатухающие гармонические колебания происходят при действии квазиупругой силы без сопротивления и описываются уравнением

d 22x + ω2 x = 0 . dt

Если при колебаниях действует сила сопротивления, пропорциональная скорости (Fc = −kv ), то они будут затухающими и описываются уравнением

d	2	x	+ 2βdx +ω2 x = 0,	А

dt 2			dt	0
где β = k 2m - коэффициент затухания.
Закон движения для затухающих колебаний изобра-				-А
жен на рис. 1.2 и имеет вид				0 Рис. 1.2	t
x = Ae−βt sin(ωt + α).

Под действием внешней периодической силы F = F0 sin Ωt точка будет совершать вынужденные колебания по закону

x= Asin(Ωt + ϕ)

самплитудой А и фазой ϕ, которые определяются по формулам

A =		F0		tgϕ =	2βΩ
			,			.
	m				ω02 − Ω2
		(ω02 − Ω)2 + 4β2Ω2

Если частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний, то наступает резонанс – резкое возрастание амплитуды колебаний.

1.2. Примеры решения типовых задач

1. Зависимость координаты тела x от времени t дается уравнением

x = At − Bt2 + Ct3 , где А = 2 м/с, В = 3 м/с2, С = 4 м/с3. Определить зависимость скорости v и ускорения a от времени t. Найти расстояние, пройденное телом,

скорость и ускорение тела через t = 2 с после
начала движения. Построить графики пути, скоро-					100
сти и ускорения для интервала 0 ≤ t ≤ 3 с через									v
∆t = 0,5 с.					50
Решение. Зависимость скорости и ускорения					50			a
от времени найдем, продифференцировав выра-								a	s
жение для пути один раз, а затем второй раз по					0
времени					0
dx		2		dv		0	1	2	t, c
v = dt	= A − 2Bt + 3Ct		,	a = dt = −2B + 6Ct .				Рис. 1.3

Значения пути, скорости и ускорения в момент t = 2 c найдем, подставив

это значение в соответствующие выражения

s(2) = 4 м, v(2) = 38 м/с, a(2) = 42 м/с2.

Графики зависимости пути, скорости и ускорения от времени приведены на рис. 1.3.

2. С башни высотой Н = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью v0 = 5 м/с. Найти время полета камня. Определить на каком расстоянии Sx от

основания башни он упадет на землю. Найти с какой скоростью v он упадет на землю и какой угол φ составит траектория камня с горизонтом в точке его па-

дения на землю. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Выберем систему координат, располо-

жив ее начало у основания башни, оси х и у направив

горизонтально и вертикально (рис. 1.4). Сложное дви-

жение камня разложим на два простых вдоль коорди-

натных осей. Горизонтально камень будет двигаться

равномерно, а вертикально – равноускоренно с ускоре-

нием - g. Для этих движений зависимость координат и

проекций скорости от времени выражаются формулами

Рис. 1.4

x = x0 + v0xt = v0t ,

y = y0 + v0 yt −

gt2

= H −

gt2

;

(1)

vx = v0x

= v0 , vy

= v0 y

− gt = −gt ,

(2)

где x0 = 0 , y0 = H ,

vx0 =v0 ,

vy0 = 0 - начальные координаты и проекции скорости.

Из уравнения (1), учитывая,

что при падении y = 0,

найдем время полета t1

камня

gt 2

0 = H −

= 2,26 с.

Расстояние от башни до точки падения камня найдем по формуле

= v t

= v

= 11,3 м.

0 1

Скорость камня при падении найдем по теореме Пифагора

v =

vx2 + v2y

v02 + (gt)2

v02 + 2Hg

= 22,7 м.

Угол падения камня к горизонту определим по формуле

2Hg

tgϕ =

= 4,43, ϕ = 77°.

3. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением aτ . Найти нормальное ускорение an точки через t =

20 с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после

начала движения скорость точки v = 10 м/с.

Решение. На рис. 1.5 приведена траектория точки и проекции нормального

и тангенциального

aτ

ускорений.

Из

выражения

aτ

= dv dt , учитывая, что ускорение постоянное,

найдем

aτ

после интегрирования зависимость скорости от времени

v = ∫aτdt

= aτt .

Нормальное ускорение точки определим по формуле

(aτt)2

При равноускоренном движении пройденный точкой путь

Рис. 1.5

S за время t1 определим по формуле

a t

v2 − v2

τ 1

или

S =

1 =

2aτ

С другой стороны этот путь равен длине n окружностей

S = 2πR n .

Приравнивая разные выражения для пути, получаем уравнение

2πR n =

2aτ

откуда определим тангенциальное ускорение

aτ =

= 16 м/с2.

4πRn

Подставляя полученное выражение в an , найдем нормальное ускорение

an =

= 10

м/с .

4πRn

4. К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар. Вагон тормозит и

его скорость равномерно изменяется за время

t = 3 с от v1

= 18

км/ч до

v2 = 6 км/ч. На какой угол α отклонится при этом нить с шаром?

Решение. На рис. 1.6 изображено положение шара при тор-

можении вагона. На шар действует сила тяжести mg и натяжения

нити Т. Запишем II-й закон Ньютона для шара

= mg +T .

α T

Спроектируем это уравнение на оси х и у, указанные на рис. 1.6

ma = −T sin α,

Рис. 1.6

0 = mg −T cosα,

где α - угол отклонения нити от вертикали.

Отсюда получим

tgα = −a g .

(1)

Ускорение шара равно ускорению вагона, которое найдем по формуле

				a = v2 − v1 .					(2)
					∆t
Подставляя (2) в (1) и учитывая, что a < 0, получим
		tg	α =	v1 − v2	= 0,113, α = 6°30′.
		tg	α =		= 0,113, α = 6°30′.
				g ∆t
5. Невесомый блок укреплен на вершине двух						у
наклонных плоскостей, составляющих с горизон-						у
наклонных плоскостей, составляющих с горизон-						х		В
том углы α = 30° и β = 45° (рис. 1.7). Грузы А и В						х		В	х у
том углы α = 30° и β = 45° (рис. 1.7). Грузы А и В									х у
равной массы m = m	2	= m = 1 кг соединены ни- А
1	2						β	α
тью, которая перекинута через блок. Найти уско-							β	α


рение а, с которым движутся гири, и натяжение								Рис. 1.7
нити Т. Трением грузов А и В по наклонной плос-

кости, массой и растяжением нити, а так же трением в блоке и массой блока пренебречь.

Решение. Т.к. грузы соединены нерастяжимой нитью, то они будут двигаться с одинаковыми по величине, но разными по направлению, скоростью и ускорением. Кроме того, натяжение нити по разные стороны блока будет одинаковым, т.к. нить и блок невесомые и трение в блоке отсутствует. Движение каждого груза лучше рассматривать в локальной системе координат для каждого груза, одна ось которой направлена вдоль наклонной плоскости, а другая –

перпендикулярно (рис. 1.7). Из рис. 1.7 следует,	что β > α, поэтому груз А бу-
дет опускаться, а В – подниматься. Тогда по II закону Ньютона в проекциях на
оси х для каждого груза имеем
ma = mg sinβ−T,	(1)
	(1)
ma =T − mg sinα.

Сложив почленно эти уравнения, получим

2ma = mg(sinβ−sinα),

откуда найдем ускорение

a = g(sin β−sin α) =1,03 м/с2. 2

Из второго уравнения (1), подставив ускорение а, найдем натяжение нити

T = mg (sinβ + sin α)= 5,9 Н. 2

6. Камень массой m = 0,2 кг бросили под углом α = 60˚ к горизонту со скоростью v0 = 15 м/с. Найти кинетическую Ek , потенциальную Ep и полную

энергию E камня спустя время t = 1 с после начала движения и в высшей точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. При движении камня без сопротивления воздуха полная механическая энергия сохраняется, а его траектория будет параболой (рис. 1.8). Про-

екции скорости на горизонтальную и вертикальную оси х и у координат и координаты камня при таком движении изменяются по закону

vx = v0x , vy = v0 y − gt ,	x = v0xt , y = v0 y −	gt	2	,	(1)

		2

где v0x = v0 cosα и v0 y = v0 sin α - начальные значения скорости.

Кинетическую, потенциальную и полную энергию

камня можно рассчитать по формулам

Ek = mv2 ,

= mgy ,

E = Ek + Ep

= E0

= mv02

М1

М2

где v =

vx2 +v2y

- текущая скорость камня.

Для момента времени t1 = 1 с в точке М1 имеем:

Рис. 1.8

v =

+ v2

=8,15 м/с,

y = 8,1 м,

mv2

= 6,5 Дж,

= mgy = 16 Дж,

E =

mv2

= 22,5 Дж.

В верхней точке М2 траектории vy = 0 и из второго уравнения (1) найдем время t2 подъема камня

t2 = vg0 y = v0 sing α = 1,3 с.

Высоту подъема h камня определим по формуле

			h = v0 y −	gt2	= 8,4 м.
			h = v0 y −	2	= 8,4 м.
				2
Кинетическую и потенциальную энергию в точке М2						рассчитаем по фор-
мулам		v02x + (v0 y − gt2 )2
	m	v02x + (v0 y − gt2 )2					gt2
Ek 2 =			= 5,6 Дж,	Ep2		−	2	= 16,9 Дж.
							2
	2				= mgh = mg v0 yt2		2
	2						2

7. Человек массой m1 = 60 кг, бегущий со скоростью v1 = 8 км/ч, догоняет тележку массой m2 = 80 кг, движущуюся со скоростью v2 = 2,9 км/ч, и вскакива-

ет в неё. С какой скоростью u станет двигаться тележка? С какой скоростью u′ будет двигаться тележка, если человек бежал ей на встречу?

Решение. В данной задаче система «человек-тележка» не замкнута, но проекция внешних сил (тяжести и реакции опоры) на горизонтальное направление равна нулю, поэтому проекция импульса на это направление сохраняется. Значит для решения воспользуемся законом сохранения импульса.

В первом случае, когда человек догоняет тележку. По закону сохранения импульса, учитывая, что скорость человека и тележки после запрыгивания человека на тележку равны, имеем

m1v1 + m2v2 = (m1 + m)u .

Откуда находим скорость тележки с человеком

u = m1v1 + m2v2 = 5,14 км/ч. m1 + m2

Во втором случае, когда человек бежит навстречу тележке, по закону сохранения импульса с учетом направления движения, имеем

m1v1 − m2v2 = (m1 + m2 )u′.

Откуда находим скорость тележки с человеком

u′ = m1v1 − m2v2 = 1,71 км/ч. m1 + m2

8. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью v = 72 км/ч, делая поворот радиусом кривизны R = 100 м. На какой угол α при этом он дол-

жен накрениться, чтобы не упасть при повороте?
Решение. При движении на мотоциклиста действуют си-
лы: тяжести mg , реакции опоры N и трения Fтр. (рис. 1.9). Сила					F
тяжести приложена в центре масс, а силы N и Fтр – в месте			α			N
тяжести приложена в центре масс, а силы N и Fтр – в месте						N
контакта с дорогой. Чтобы при повороте мотоциклист не опро-
кинулся, надо, чтобы равнодействующая F сил N и Fтр прохо-			Fтр
дила через его центр масс. Тогда момент этих сил будет равен					mg
					mg
нулю, и движение мотоциклиста будет устойчивым.				Рис. 1.9
В этом случае наклон мотоциклиста определяется условием
tg α =	N	.		(1)
tg α =		.		(1)
	F
	тр

Движение мотоциклиста по окружности происходит с ускорением

аn = v2 .

Запишем II закон Ньютона для мотоциклиста в проекциях на вертикальное и горизонтальное направления

mg = N, m	v2	= F	.	(2)
	R	тp

Отсюда с учетом (1) получаем

tgα =	N	=	Rg	= 2,5 , α = 66°.
tgα =	F	=	v2	= 2,5 , α = 66°.
	F		v2
	тр

9. Какую мощность P развивает двигатель автомобиля массой m = 1 т, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью v = 36 км/ч: а) по горизонтальной дороге; б) в гору с уклоном 5 м на каждые 100 м пути; в) под гору с

тем же уклоном? Коэффициент трения µ = 0,07.

Решение. Как известно, мощность равна отношению работы ∆A ко времени ∆t , за которое совершена работа, и ее можно определить по формуле

P = ∆∆At = F∆∆tx = Fv ,

где F – действующая на тело сила, v = ∆x∆t - скорость тела.

Выразим силу F для всех случаев из второго закона Ньютона.

а) Так как v = const, то сила тяги автомобиля F скомпенсирована силой трения Fтр, которая по закону трения Fтр =µmg , т.е. F = Fтр =µmg . Следова-

тельно, при движении автомобиля по горизонтальной дороге мощность равна

P = Fv =µmgv =6,9 кВт.

б) При движении в гору сила тяги двигателя противодействует скатывающей силе mg sin α и силе трения Fтр =µN =µmg cosα, где α - угол наклона

горы к горизонту, который найдем по формуле sin α = hl =0,05 Следовательно, F = mg(µcosα + sin α). Тогда для мощности получим

P = mgv(µcosα +sinα)= 11,8 кВт.

в) При движении под гору скатывающая сила будет направлена по направлению силы тяги, а сила трения против движения. Поэтому сила тяги будет равна F =µmg cosα − mg sin α. Мощность найдем по формуле

P= mgv(µcosα −sinα) = 2 кВт.

10.Тело массой m1 = 2 кг движется навстречу телу массой m2 = 1,5 кг и абсолютно неупруго соударяется с ним. Скорости тел непосредственно перед ударом были v1 = 1 м/с и v2 = 2 м/с. Какое время t будут двигаться эти тела по-

сле удара по горизонтальной поверхности, если коэффициент трения µ = 0,05? Решение. Для двух тел в данной задаче, которые образуют замкнутую систему, справедлив закон сохранения импульса, который для абсолютно неупру-

гого удара, когда тела соединяются в одно целое, в векторной форме имеет вид u m1v1 + m2v2 = (m1 + m2 )u ,

- скорость тел после удара.

где

С учетом направления движения тел имеем m1v1 −m2v2 = (m1 + m2 )u .

Отсюда найдем скорость тел после удара

u = m1v1 −m2v2 . m1 + m2

Движение тел после удара равнозамедленное под действием силы трения Fmp =µ(m1 + m2 )g с ускорением, которое согласно II закону Ньютона a = −µg .

Скорость при таком движении изменяется по закону v = v0 − a t , где v0 =u -

начальная скорость. Отсюда найдем время движения до остановки, когда скорость равна нулю:


t =	v0	=	u	=	m2v2 − m1v1			= 1,63 с.
t =	v0	=		=				= 1,63 с.
	a		µg		µg(m + m		)
				1		2

11. Два шара с массами m1 = 0,2 кг и m2 = 0,1 кг подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Первый шар откло-

няют на высоту h0 = 4,5 см и отпускают. На какую высоту h поднимутся шары после удара, если удар: а) упругий; б) неупругий?

Решение. Для решения задачи воспользуемся законами сохранения импульса и механической энергии. Система шаров не является замкнутой, т.к. на шары действуют силы тяжести и натяжения нитей. Но во время удара эти силы направлены вертикально и скомпенсированы. Поэтому проекция импульса на горизонтальное направление сохраняется. Рассмотрим виды удара по очереди.

а) Упругий удар. При таком ударе выполняются законы сохранения импульса и энергии. Пусть v1 – скорость первого шара в момент удара, u1 и u2 -

скорости первого и второго шаров непосредственно после удара. Согласно законам сохранения импульса и энергии имеем

m v = m u + m					u	m v2	=	m u2	m	u2	(1)
m v = m u + m					u	, 1 1	=	1 1 +	2	2 .	(1)
1	1	1	1	2	2	2		2	2

Решая эту систему уравнений, находим скорости шаров после удара

u	= m1	− m2		v ,	u		=	2m1		v .	(2)
								m + m
1	m	+ m	2	1		2			1
	1							1	2

Т.к. m1 > m2 , то, как видно из (2) оба шара после удара будут двигаться в одном направлении. Если m1 = m2 , то u1 = 0 , а u2 = v1 .

Скорость первого шара до удара найдем из закона сохранения энергии, приравняв потенциальную энергию поднятого шара, кинетической энергии в момент удара

m gh

m v2

1 .

Отсюда получим

v1 =

= 9,4 м/с,

= 3,13 м/с,

u2 = 12,5 м/с.

(3)

2gh0

Высоту, на которую поднимутся шары после удара, найдем из того же з а-

кона сохранения энергии

m − m

h = 1,5 см,

h = 6 см.

m + m

2g m + m

б) Неупругий удар. При таком ударе шары соединяются вместе, а при уда-

ре выполняется только закон сохранения импульса

m1v1 = (m1 + m2 )u ,

(4)

где u – скорость шаров после удара. Отсюда скорость шаров после удара

m1v1

(5)

+ m

Скорость первого шара до удара найдем по формуле (3) и, подставив в (5) определим скорость шаров после удара

u = m1 2gh0 = 0,63 м/с. m1 + m2

Высоту подъема шаров найдем из закона сохранения энергии по формуле

h = 2g = 2 см.

12. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на жестком невесомом стержне, и застревает в нем. Масса пули m1 = 5 г, масса шара m2 = 0,5 кг. Скорость пули v1 = 500 м/с. При каком предельном расстоянии l от центра шара до точки подвеса стержня шар от удара пули поднимется до верх-

ней точки окружности?

Решение. На рис. 1.10 приведена схема удара пули в

шар на стержне. При таком ударе закон сохранения импульса

не выполняется, т.к. во время удара в точке подвеса стержня

В при ударе пули возникает горизонтальная составляющая

A h

силы реакции. Но выполняется закон сохранения момента

импульса, т.к. момент силы реакции будет равен нулю, кото-

рый запишем в виде

(m1 + m2 )lv2 .

m1v1l =

Рис. 1.10

Отсюда найдем скорость шара и пули после удара

v2 =

m1v1

m1 + m2

Из закона сохранения энергии после удара

(m + m

)v2

)gh

2 = (m + m

определим высоту, на которую поднимется шар с пулей

(m v )2

h =

1 1

(1)

2g(m1 + m2 )2

В верхней точке подъема h = 2l и из (1) находим предельное расстояние

m2v2

l = ( 1 1 )2 = 0,64 м.

4g m1 + m2

13. Две гири с массами m1 = 2 кг и m 2 = 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой m = 1 кг. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силы натяжения Т1 и Т2 нитей, к которым подвешены гири. Блок считать одно-

родным диском. Трением пренебречь.			m
Решение. В данной задаче гири движутся поступательно с	a		m		a
одинаковым ускорением, а блок – вращательно, причем первая	a				a
одинаковым ускорением, а блок – вращательно, причем первая
гиря будет опускаться ( m1 > m2 ), а вторая подниматься, как по-	T1			T
казано на рис. 1.11. В проекции на направления движения гирь				2
и блока уравнения движения тел будут иметь вид	m1 g		v		m2 g
и блока уравнения движения тел будут иметь вид	m1 g		v		m2 g
m1a = m1g −T1,
m1a = m1g −T1,		Рис. 1.11
m2a =T2 − m2 g ,		Рис. 1.11

Iε =T1R −T2 R .

Здесь а и ε - ускорение гирь и блока, T1 и T2 - силы натяжения нити по разные

стороны блока, R – радиус блока, I = mR2 2 - момент инерции блока. При движении системы ускорения гирь и блока связаны соотношением a = εR .

Решая приведенную систему, находим ускорение гирь
a =	(m1 − m2 )g			2
				= 2,8 м/с	.
	m + m	2	+ m 2
1

Натяжение нитей найдем по формулам

T1 = m1(g − a) = 14 Н, T2 = m2 (g + a) = 12,6 Н.

14. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, с частотой n1 = 10 об/мин. Человек массой m0 = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n2 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека - точечной массой.

Решение. Система «человек - платформа» замкнута, поэтому для нее выполняется закон сохранения момента импульса

I1ω1 = I2ω2 ,

(1)

где I1 и I2 - моменты инерции платформы с человеком в начальном и конечном положениях, ω1 и ω2 - угловые скорости вращения платформы в этих по-

ложениях. Напомним, что для вращения вокруг оси момент импульса L = Iω. Момент инерции системы найдем как сумму моментов инерций ее частей

I	1	=	mR2	+ m R2	,	I	2	=	mR2	,	(2)

		2		0				2

где R – радиус платформы. В центре платформы момент инерции человека равен нулю.

Подставляя (2) в (1) и учитывая, что ω= 2πn , где n – частота вращения платформы, после преобразований найдем частоту вращения n2 платформы

			mR2	+ 2m R2		m + 2m
n	2	= n		0	= n	0 = 22 об/мин.
n		= n			= n	0 = 22 об/мин.
		1		mR2	1	m

Скорость платформы увеличивается потому, что уменьшается ее момент инерции. Этот эффект используют фигуристы, акробаты и т.д., группируясь при выполнении кульбитов и поворотов.

15. Обруч и диск одинаковой массы m катятся без скольжения с одной и той же скоростью. Кинетическая энергия обруча Ек1 = 40 Дж. Найти кинетическую энергию Ек2 диска.

Решение. Кинетическая энергия обруча, как и диска, складывается из кинетической энергии поступательного и вращательного движений

Ek1 = mv2 2 + I12ω2 ,

где m – масса обруча, v и ω= vR – линейная и угловая скорости, I1 = mR2 – момент инерции обруча, R - радиус обруча. После подстановки I1 и ω, получим

20
Ek1 = mv2 .	(1)

Аналогично, найдем кинетическую энергию диска

Ek 2	=	mv2	+	I2ω2	=	3 mv2	,	(2)
				2
	2					4

где I2 = mR2 2 – момент инерции диска.

Сравнивая (1) и (2), найдем кинетическую энергию диска

Ek 2 = 34 Ek1 = 30 Дж.

16. Найти скорость v течения углекислого газа по трубе, если известно, что за время t = 30 мин через поперечное сечение трубы протекает масса газа m = 0,51 кг. Плотность газа ρ = 7,5 кг/м3, диаметр трубы D = 2 см.

Решение. За время t через поперечное сечение трубы проходит объем газа цилиндрической формы длиной l, равный

V = πR2l = π D2 l .

С другой стороны

V = mρ.

Отсюда найдем длину столба газа

l = π4Dm2ρ .

Учитывая, что l = vt , определим скорость течения углекислого газа v = lt = πD4m2ρt = 0,12 м/с.

17. Шарик всплывает с постоянной скоростью v в жидкости, плотность которой ρ1 в n = 4 раза больше плотности ρ2 материала шарика. Во сколько раз сила трения Fтр, действующая на всплывающий шарик, больше его веса mg?

Решение. На шарик в жидкости действуют: сила трения, сила тяжести и сила Архимеда (рис. 1.12), которые при равномерном движении - пенсированы

FA −mg − Fтр = 0 ,				(1)		FA
где FA =ρ1Vg - сила Архимеда, m - масса шарика. Из
m =ρ2V , найдем объем и определим силу Архимеда
F = 4ρ		m	g = 4mg .			mg
		m				mg
						Fтр
A	2 ρ2
	2 ρ2
Из уравнения (1) определим силу трения					Рис. 1.12

Fтр = 4mg − mg =3mg ,

а затем найдем отношение сил

Fmgтр =3 .

18. Материальная точка массой m = 50 г совершает гармонические колебания. Амплитуда колебаний А = 5 см, период Т = 4 с. Записать уравнение колебаний точки, приняв за начальное положение x0 = A. Найти максимальную

скорость vmax колеблющейся точки, максимальное ускорение amax и полную

механическую энергию точки. Определить координату, скорость и ускорение точки время t =T8.

Решение. Движение точки с соответствующими начальными условиями описывается гармоническим законом в виде

	x = Acosωt = Acos	2πt	,	(1)
где ω= 2π T =1,57с-1	x = Acosωt = Acos	T	,	(1)
	- циклическая частота.	T
	- циклическая частота.
Скорость точки равна производной от координаты по времени
	v = dx = −Aω sin ωt .			(2)
	dt

Скорость, как и координата, изменяется по гармоническому закону. Максимальное значение скорости наблюдается при sin ωt =1 и равно

vmax = Aω= 7,85см/с.

Ускорение точки равно производной от скорости по времени a = dvdt = −Aω2 cosωt .

Ускорение изменяется по такому же закону, как и координата. Максимальное значение ускорения найдем по формуле

amax Aω2 =12,3 см/с2.

При колебаниях точки сохраняется полная механическая энергия Е, равная сумме кинетической Ek и потенциальной Ep энергий: E = Ek + Ep . Когда по-

тенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальная и равна полной энергии

				mv2
	E = E	kmax	=	max	=1,54Дж.
	E = E		=	2	=1,54Дж.
				2

Значения координаты, скорости и ускорения в момент времени t =T 8
найдем по формулам
x = Acos π =3,54 см,	v = −Aω sin		π = -5,55 см/с, a = −Aω2			cos π = -8,72 см/с2.
4			4			4

1.3. Задачи для работы в аудитории

1. Лодка движется перпендикулярно берегу со скоростью v = 7,2 км/ч. Течение относит ее на s = 150 м вниз по реке. Найти скорость u течения реки и время t, затраченное на переезд через реку. Ширина реки l = 0,5 км.

Ответ: u = 0,60 м/с; t = 250 с.

2. Зависимость координаты х тела от времени t дается уравнением

x = At − Bt2 + Ct3 , где А = 2 м/с, В = 3 м/с2, С = 4 м/с3. Найти; а) зависимость скорости v и ускорения a от времени t; б) расстояние s, пройденное телом, скорость v и ускорение a тела через t = 2 с после начала движения. Построить гра-

фик пути, скорости и ускорения для 0 ≤ t ≤ 3 с через 0,5 с.

Ответ: а) v = (2–6t+ 12t2) м/с; a = (–6+24t) м/с2;

б) s = 24 м, v = 38 м/с, a = 42 м/с2.

3. С башни высотой h = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью v0 = 15 м/с. Найти сколько времени t камень будет в движении; на каком расстоянии l от основания башни он упадет на землю; с какой скоростью v он упадет на землю; какой угол φ составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: t = 2,3 с; l = 34 м; v = 27 м/с; φ = 56°.

4. Тело брошено со скоростью v0 = 14,7 м/с под углом α = 30° к горизонту. Найти нормальное an и тангенциальное aτ ускорения тела через t = 1,25 с

после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: an = 9,2 м/с2; aτ = 3,5 м/с2.

5. Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии l = 0,5 м друг от друга, вращается с частотой n = 1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска. При этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол φ = 12°. Найти скорость v пули.

Ответ: v = 400 м/с.

6. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением aτ . Найти нормальное ускорение an точки через вре-

мя t = 20 с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота

после начала движения линейная скорость точки v = 10 м/с. Ответ: an = 0,01 м/с2.

7. Масса лифта с пассажирами m = 800 кг. C каким ускорением a и в каком направлении движется лифт, если известно, что натяжение троса, поддер-

живающего лифт: а) T = 12 кН; б) T = 6 кН?

Ответ: а) а = 4,9 м/с2 (вверх); б) а = 2,45 м/с2 (вниз).

8. Трамвай, трогаясь с места, движется с постоянным ускорением а = 0,5 м/с2. Через t = 12 с после начала движения мотор трамвая выключается и трамвай движется до остановки равнозамедленно. На всем пути движения трамвая коэффициент трения µ = 0,01. Найти наибольшую скорость v и время t движения трамвая. Каково его ускорение а при равнозамедленном движении?

Какое расстояние s пройдет трамвай за время движения?

Ответ: v = 21,6 км/ч; t = 73 с; a = 0,098 м/с2; s = 218 м.

9.Тело лежит на наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол

α= 4°. При каком предельном значении коэффициента трения µ тело начнет скользить по наклонной плоскости? С каким ускорением а будет скользить тело

по плоскости, если коэффициент трения µ = 0,03? Сколько времени t потребу-

ется для прохождения при этих условиях пути s = 100 м? Какую скорость v тело будет иметь в конце пути?

Ответ: µ = 0,07; a = 0,39 м/с2; t = 22,7 с; v = 8,85 м/с.

10. Две гири массой m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединены нитью и перекинуты

через невесомый блок. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу

натяжения нити Т. Трением в блоке пренебречь.

Ответ: a = 3,27 м/с2; T = 13 Н.

11. Диск вращается вокруг вертикальной оси с частотой n =30 об/мин. На расстоянии r = 20 см от оси вращения на диске лежит тело. Каким должен быть коэффициент трения µ между телом и диском, чтобы тело не съехало с диска?

Ответ: µ = 0,2.

12.Груз массой m = 1 кг, подвешенный на нити, отклоняют на угол

α= 30° и отпускают. Найти силу натяжения нити T в момент прохождения грузом положения равновесия.

Ответ: T = 12,4 Н.

13.Камень массой m = 1 кг брошен вертикально вверх с начальной скоро-

стью v = 9,8 м/с. Построить график зависимости от времени t кинетической Eк, потенциальной Ep и полной E энергии камня для интервала 0 ≤ t ≤ 2 с через 0,2 с.

14.С башни высотой Н = 25 м горизонтально брошен камень со скоро-

стью v0 = 15 м/с. Найти кинетическую Eк и потенциальную Ep энергию камня спустя время t = 1 с после начала движения. Масса камня m = 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: Eк = 32,2 Дж; Ep = 39,4 Дж.

15.Человек массой m1 = 60 кг, бегущий со скоростью v1 = 8 км/ч, догоняет тележку массой m2 = 80 кг, движущуюся со скоростью v2 =2,9 км/ч, и вскаки-

вает в нее. С какой скоростью u будет двигаться тележка? С какой скоростью u′ будет двигаться тележка, если человек бежал ей навстречу?

Ответ: u = 5,14 км/ч; u′ = 1,71 км/ч.

16. Шар массой m1 = 2 кг движется со скоростью v1 = 3 м/с и нагоняет шар массой m2 = 8 кг, движущийся со скоростью v2 = 1 м/с. Считая удар центральным, найти скорости u1 и u2 шаров после удара, если удар: а) абсолютно неупругий; б) абсолютно упругий.

Ответ: а) u1 = u2 = 1,8 м/с; б) u1 = 0,6 м/с, u2 = 2,6 м/с.

17. Снаряд массой m = 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью v1 = 500 м/с, попадает в вагон с песком, масса которого m2 = 10 т, и застревает в нем. Какую скорость u получит вагон, если: а) вагон стоял неподвижно; б) вагон двигался со скоростью v2 = 36 км/ч в том же направлении, что и снаряд; в) вагон двигался со скоростью v2 = 36 км/ч в направлении, противоположном движению снаряда?

	Ответ: а) u = 17,8 км/ч; б) u = 53,5 км/ч; в) u = -17,8 км/ч.
m2	18. Шар массой m1	= 5 кг ударяется о неподвижный шар массой
	= 2,5 кг, который	после удара движется с кинетической энергией
Ek′2	= 5 Дж. Считая удар центральным и абсолютно упругим, найти кинетиче-

ские энергии Ek1 и Ek′1 первого шара до и после удара.

Ответ: Ek1 = 5,62 Дж; Ek′1 = 0,62 Дж.

19. Два шара с массами m1 = 0,2 кг и m2 = 0,1 кг подвешены на нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Первый шар отклоняют на высоту h0 = 4,5 см и отпускают. На какую высоту h поднимутся шары после удара, если удар: а) упругий; б) неупругий?

Ответ: а) h1 = 0,005 м, h2 = 0,08 м, б) h1 = 0,02 м.

20.Деревянный шарик массой m = 0,1 кг падает с высоты h1 = 2 м. Коэффициент восстановления скорости при ударе шарика о пол k = 0,5. Найти высо-

ту h2, на которую поднимается шарик после удара о пол, и количество теплоты Q, выделившееся при ударе. Коэффициентом восстановления скорости называ-

ется отношение скорости v2 тела после удара к скорости v1 до удара. Ответ: h2 = 0,5 м; Q = 1,48 Дж.

21.С какой скоростью v двигался вагон массой m = 20 т, если при ударе о стенку каждый буфер сжался на l = 10 см? Жесткость пружины каждого буфера k = 1 МН/м.

Ответ: v = 3,6 км/ч.

22.Мальчик, стреляя из рогатки, натянул резиновый шнур так, что его длина стала больше на ∆l = 10 см. С какой скоростью v полетел камень массой m = 20 г? Жесткость шнура k = 1 кН/м.

Ответ: v = 22,1 м/с.

23.Гиря массой m = 0,5 кг, привязанная к резиновому шнуру длиной l0, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Частота вращения гири n = 2 об/с. Угол отклонения резинового шнура от вертикали α = 30°. Жесткость

шнура k = 0,6 кН/м. Найти длину l0 нерастянутого резинового шнура. Ответ: l0 = 6,3 см.

24.Льдина площадью поперечного сечения S = 1 м2 и толщиной h = 0,4 м плавает в воде. Какую работу А надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду?

Ответ: А = 7,84 Дж.

25.Две гири с массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой m = 1 кг. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силы натяжения Т1 и Т2 нитей, к которым подвешены гири. Блок считать одно-

родным диском. Трением пренебречь.

Ответ: а = 2,8 м/с2; Т1 = 14 Н; Т2 = 12,6 Н.

26.Шар диаметром D = 6 см и массой m = 0,25 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения n = 4 об/с. Найти кинетиче-

скую энергию Ек шара. Ответ: Ек = 0,1 Дж.

27.Найти кинетическую энергию Ек велосипедиста, едущего со скоростью v = 9 км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом m = 78 кг, причем

на колеса приходится масса m0 = 3 кг. Колеса велосипеда считать обручами. Ответ: Ек = 253 Дж.

28.Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вер-

тикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n1 = 10 об/мин. Человек массой m0 = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой часто-

той n2 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека - точечной массой.

Ответ: n2 = 22 об/мин.

29. Однородный стержень длиной l = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний Т стержня.

Ответ: Т = 1,16 с.

30. В дне цилиндрического сосуда диаметром D = 0,5 м имеется круглое отверстие диаметром d = 1 см. Найти зависимость скорости v понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Определить значение этой скорости для высоты h = 0,2 м.

Ответ: v = (d 2D2 )2gh ; v1 = 0,8 мм/с.

31. Какое давление р создает компрессор в краскопульте, если струя жидкой краски вытекает из него со скоростью v = 25 м/с? Плотность краски ρ = 800 кг/м3. Краску считать несжимаемой жидкостью.

Ответ: р = 250 кПа.

32. Шарик всплывает с постоянной скоростью v в жидкости, плотность которой ρ1 в 4 раза больше плотности ρ2 материала шарика. Во сколько раз n сила трения Fтр, действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести mg шарика?

Ответ: n = 3.

33. В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом R = 2 см вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус которого r = 1 мм и длина l = 2 см. В сосуд налито касторовое масло, динамическая вязкость которого η = 1 Па с. Найти зависимость скорости v понижения уровня касторового масла в сосуде от высоты h этого уровня над капилляром. Определить значение этой скорости при h = 26 см.

Ответ: v = r4ρgh = 3 10-5 м/с.

8lηR2

34. Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, Е = 30 мкДж. М аксимальная сила, действующая на тело, Fmax = 1,5 мН. Напи-

сать уравнение движения этого тела (зависимость координаты от времени), если период колебаний Т = 2 с и начальная фаза α = π/3.

Ответ: x = 0,04sin(πt + π3) м.

1.4. Задачи для самостоятельной работы

1. Камень бросили вертикально вверх на высоту h0 = 10 м. Через какое время t он упадет на землю? На какую высоту h поднимется камень, если начальную скорость камня увеличить вдвое? Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: t = 2,9 с; h= 4h0 = 40 м.

2. Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением s = A − Bt + Ct 2 , где А = 6 м, В = 3 м/с, С = 2 м/с2. Найти среднюю скорость v и

среднее ускорение aтела в интервале времени 1≤t ≤ 4 с. Построить графики

зависимости пути s, скорости v и ускорения а для 0 ≤ t ≤ 5 с через 1 с. Ответ: v = 7 м/с; a = 4 м/с2.

3. Тело брошено со скоростью v0 = 10 м/с под углом α = 45° к горизонту. Найти радиус кривизны R траектории тела через t = 1 с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: R = 6,3 м.

4. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость v1 точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости v2 точки, лежащей на расстоянии r = 5 см ближе к оси колеса.

Ответ: R = 8,33 см.

5. В первом приближении можно считать, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите с постоянной скоростью v. Найти угловую ско-

рость ω вращения электрона вокруг ядра и его нормальное ускорение аn. Радиус

орбиты принять равным r = 0,5·10-10 м и линейную скорость электрона на этой орбите v = 2,2·106 м/с.

Ответ: аn = 9,68 1022 м/с2. ω = 4,4 1016 рад/с.

6. На автомобиль массой m = 1 т во время движения дейс твует сила трения Fтр, равная 0,1 действующей на него силы тяжести mg. Какова должна быть

сила тяги F, развиваемая мотором автомобиля, чтобы автомобиль двигался: а) равномерно, б) с ускорением а = 2 м/с2?

Ответ: а) F = 980 Н; б) F = 3 кН.

7. Железнодорожный вагон тормозится, и его скорость за время t = 3,3 с равномерно уменьшается от v1 = 47,5 км/ч до v2 = 30 км/ч. Каким должен быть

предельный коэффициент трения µ между чемоданом и полкой, чтобы чемодан при торможении начал скользить по полке?

Ответ: µ ≤ 0,15.

8.Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом

угол α = 45°. Пройдя расстояние s = 36,4 см, тело приобретает		скорость
v = 2 м/с. Чему равен коэффициент трения µ тела о плоскость?
Ответ: µ = 0,2.
9. Невесомый блок укреплен на конце стола (рис. 1.13).		и 2 од и-
наковой массы m1 = m2 = 1 кг соединены нитью и перекинуты
наковой массы m1 = m2 = 1 кг соединены нитью и перекинуты
через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол µ = 0,1.		2
через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол µ = 0,1.
ускорение а, с которым движутся гири и натяжение нити Т. Тре-	1
	1
нием в блоке пренебречь.
нием в блоке пренебречь.
Ответ: а = 4,4 м/с2, Т = 5,4 Н.		Рис. 1.13
Ответ: а = 4,4 м/с2, Т = 5,4 Н.		Рис. 1.13

10. К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар. Вагон идет со

скоростью v = 9 км/ч по закруглению радиусом R = 36,4 м. На какой угол α и в какую сторону отклонится при этом нить с шаром?

Ответ: α = 1°; от центра.

11. Груз массой m = 150 кг подвешен на стальной проволоке, выдерживающей силу натяжения T = 2,94 кН. На какой наибольший угол α можно отклонить проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась при прохождении грузом положения равновесия?

Ответ: α = 60°.

12. Камень бросили под углом α = 60° к горизонту со скоростью v0 = 15 м/с. Найти кинетическую Ек, потенциальную Ер и полную энергию Е камня: а) спустя время t = 1 с после начала движения; б) в высшей точке траектории. Масса камня m = 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: а) Ек = 6,6 Дж, Ер = 15,9 Дж, Е =22,5 Дж; б) Ек = 5,7 Дж, Ер = 16,8 Дж, Е = 22,5Дж.

13.Тело скользит сначала по наклонной плоскости, составляющей угол

α= 8° с горизонтом, а затем по горизонтальной поверхности. Найти коэффициент трения µ на всем пути, если известно, что тело проходит по горизонтальной поверхности то же расстояние, что и по наклонной плоскости.

Ответ: µ = 0,07.

14. Какую мощность N развивает двигатель автомобиля массой m = 1 т, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью v = 36 км/ч: а) по горизонтальной дороге; б) в гору с уклоном 5 м на каждые 100 м пути; в) под гору с тем же уклоном? Коэффициент трения µ = 0,07.

Ответ: а) N = 6,9 кВт; б) N = 11,8 кВт; в) N = 1,98 кВт;

15. На рельсах стоит платформа массой m1 = 10 т. На платформе закреплено орудие массой m2 = 5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m3 = 100 кг, его начальная скорость относительно орудия v0 = 500 м/с. На какое расстояние s откатится платформа при выстреле, если: а) платформа стояла неподвижно; б) платформа двигалась со скоростью v = 18 км/ч и выстрел был произведен в направлении ее движения; в) платформа двигалась со скоростью v = 18 км/ч и выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению движения. Коэффициент трения платформы о рельсы µ = 0,002.

Ответ: а) s = 284 м; б) s = 71 м; в) s = 1770 м.

16. Тело массой m1 = 1 кг, движущееся горизонтально со скоростью v1 = 1 м/с , догоняет второе тело массой m2 = 0,5 кг и неупруго соударяется с ним. Какую скорость u получат тела, если: а) второе тело стояло неподвижно; б) второе тело двигалось со скоростью v2 = 0,5 м/с в том же направлении, что и первое тело; в) второе тело двигалось со скоростью v2 = 0,5 м/с в направлении, противоположном направлению движения первого тела.

Ответ: a) u = 0,67 м/с; б) u = 0,83 м/с; в) u = 0,5 м/с.

17. Деревянным молотком, масса которого m1 = 0,5 кг, ударяют о неподвижную стенку. Скорость молотка в момент удара v1 = 1 м/с. Считая коэффициент восстановления скорости при ударе молотка о стенку k = 0,5, найти количество теплоты Q, выделившейся при ударе. (Коэффициентом восстановления скорости при ударе называют отношение скорости v2 тела после удара к его скорости v1 до удара).

Ответ: Q = 0,188 Дж.

18.Деревянный шарик массой m = 0,1 кг падает с высоты h1 = 2 м. Коэффициент восстановления скорости при ударе шарика о пол k = 0,5. Найти высо-

ту h2, на которую поднимется шарик после удара о пол, и количество теплоты Q, выделившееся при ударе.

Ответ: h2 = 0,5 м; Q = 1,48 Дж.

19.Стальной шарик, падая с высоты h1 = 1,5 м на стальную плиту, отскакивает от нее со скоростью v2 = 0,75 v1, где v1 - скорость, с которой он подлетает к плите. На какую высоту h2 он поднимется? Какое время t пройдет с момента падения шарика до второго удара о плиту?

Ответ: h2 = 0,84 м; t = 1,4 с.

20. Груз массой m = 1 кг падает на чашку пружинных весов с высоты H = 10 см. Каковы показания весов F сразу после удара, если после успокоения качаний чашка весов опускается на h = 0,5 см?

Ответ: F = 72,5 Н.

21.Мяч радиусом R = 10 см плавает в воде так, что его центр масс нах о- дится на H = 9 см выше поверхности воды. Какую работу А надо совершить, чтобы погрузить мяч в воду до середины?

Ответ: А = 0,74 Дж.

22.С какой линейной скоростью v будет двигаться искусственный спут-

ник Земли по круговой орбите: а) у поверхности Земли; б) на высоте h = 200 км; в) на высоте h = 7000 км от поверхности Земли? Найти период обращения Т спутника Земли при этих условиях.

Ответ: а) v = 7,91 км/с; T = 1 ч 25 мин; б) v = 7,79 км/с; T = 1 ч 28 мин; в) v = 5,46 км/с; T = 4 ч 16 мин.

23. На барабан массой m0 = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Найти ускорение а груза. Барабан считать однород-

ным цилиндром. Трением пренебречь. Ответ: а = 3 м/с2.

24. Обруч и диск одинаковой массы m1 = m2 катятся без скольжения с одной и той же скоростью v. Кинетическая энергия обруча Eк1 = 39,2 Дж. Найти кинетическую энергию Ек2 диска.

Ответ: Ек2 = 29,4 Дж.

25. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью

v = 7,2 км/ч. На какое расстояние s может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен 10 м на каждые 100 м пути. Трением пренебречь.

Ответ: s = 4,1 м.

26. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n1 = 10 об/мин. Человек массой m0 = 60 кг стоит при этом на краю платформы. Какую работу А совершает человек при переходе от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека — точечной массой.

Ответ: A = 162 Дж.

27.Однородный стержень длиной l = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около оси, проходящей через точку, находящуюся на расстоянии а = 10 см от его верхнего конца. Найти период колебаний Тстержня.

Ответ: Т = 1,07 с.

28.На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности которого имеет-

ся малое отверстие, расположенное на расстоянии h1 от дна сосуда и на расстоянии h2 от уровня воды. Уровень воды в сосуде поддерживается постоянным. На каком расстоянии l от сосуда (по горизонтали) струя воды падает на стол в

случае, если: а) h1 = 25 см, h2 = 16 см; б) h2 =25 см, h1 =16 см? Ответ: l = 0,4 м в обоих случаях.

29. Цилиндрический бак высотой h = 1 м наполнен до краев водой. За какое время t вся вода выльется через отверстие, расположенное у дна бака, если площадь S2 поперечного сечения отверстия в n = 400 раз меньше площади S1 поперечного сечения бака? Сравнить это время с временем t′, которое понадобилось бы для вытекания такого же объема воды, если бы уровень воды в баке поддерживался постоянным на высоте h = 1 м от отверстия.

Ответ: t = 3 мин; t′ = 1,5 мин.

30.Какой наибольшей скорости v может достичь дождевая капля диаметром d = 0,3 мм, если динамическая вязкость воздуха η = 1,2 10-5 Па с? Каплю считать шариком, а силу сопротивления – подчиняющуюся закону Стокса.

Ответ: v = 4,11 м/с.

31.В боковую поверхность сосуда вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус которого r = 1 мм и длина l = 1,5 см. В сосуд налит глице-

рин, динамическая вязкость которого η = 1 Па с. Уровень глицерина в сосуде поддерживается постоянным на высоте h = 0,18 м выше капилляра. Какое время t потребуется на то, чтобы из капилляра вытек объем глицерина V = 5 см3?

Ответ: t = 1,5 мин.

32. К пружине подвешен груз массой m = 10 кг. Найти период Т вертикальных колебаний груза, если известно, что под действием силы F = 9,8 Н пружина растягивается на l = 1,5 см.

Ответ: Т = 0,78 с.

1.5. Задачи для контроля

1.С башни высотой Н = 20 м горизонтально брошен камень со скоро-

стью v0 = 15 м/с. Найти время t движения камня. На каком расстоянии S от основания башни и с какой скоростью v он упадет на землю?

2.Тело брошено со скоростью v0 = 20 м/с под углом α = 30° к горизонту. Найти радиус кривизны R траектории тела в высшей точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

3.Тело начинает скользить вниз по наклонной плоскости, составляющей с

горизонтом угол α = 45°. Пройдя расстояние s = 36,4 см, тело приобретает скорость v = 2 м/с. Чему равен коэффициент трения скольжения µ тела о плоскость?

4. С вышки высотой h = 50 м горизонтально брошен шар массой m = 0,2 кг со скоростью v0 = 25 м/с. Найти кинетическую Еk, потенциальную Ep

и полную E энергии камня через время t = 2 c после начала движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.

5.Два груза с массами m1 = 3 кг и m2 = 2 кг соединены нитью и перекинуты через невесомый блок. Найти ускорение а, с которым движутся грузы и натяжение нити Т. Трением в блоке пренебречь.

6.Сплошной цилиндр массой m = 0,25 кг и диаметром d = 6 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая n = 4 об/с. Найти кинетическую энергию Ek цилиндра.

7.Два груза с массами m1 = 5 кг и m2 = 4 кг соединены нитью, которая перекинута через блок массой m = 0,5 кг и радиусом R = 0,2 м. Найти ускорение а,

скоторым движутся грузы и натяжение нити Т по разные стороны блока. Трением в блоке и массой нити пренебречь.

8.Найти кинетическую энергию мотоциклиста, который едет со скоростью v = 72 км/ч. Масса мотоциклиста вместе с мотоциклом m = 200 кг, причем на массу колес приходится m1 = 20 кг. Колеса мотоцикла считать обручами.

9.Тело массой m1 = 2 кг движется со скоростью v1 = 3 м/с и догоняет

второе тело массой m2 = 3 кг, движущееся со скоростью v2 = 1 м/с. Найти скорости тел u1 и u2 после столкновения, если удар центральный и абсолютно упругий.

10.Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вер-

тикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n1 = 10 об/мин. Человек массой m0 = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n2 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы

кее середине между центром и краем? Считать платформу однородным диском, а человека - точечной массой.

11.Однородный стержень длиной l = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний Т стержня.

12.Какое давление р в водопроводе, если струя воды из крана бьет вверх

на высоту h = 5 м. Плотность воды ρ = 1000 кг/м3, ускорение свободного падения g = 10 м/с2, атмосферное давление р0 = 100 кПа.

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.201554.1 Кб60Методичний кейс.docx
#
03.09.2019778.24 Кб67МЕТОДЫ ГЕННОЙ ИНЖЕНЕРИИ.doc
#
16.11.201935.93 Кб2метреком 1.docx
#
16.03.2016784.9 Кб141механика.doc
#
13.04.2015762.81 Кб16МехТепЗадачиФинал2013.pdf
#
13.04.2015855.5 Кб6МехТепЗадачиФинал2015a.pdf
#
13.04.20153.11 Mб19МехТепЛабыФинал2013.pdf
#
13.04.20152.64 Mб10МехТепЛабыФинал2015a.pdf
#
23.04.20191.05 Mб14микроэкономика РП_2011 г.doc
#
16.11.201955.91 Кб3МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ.docx
#
08.05.20155.62 Mб34МИНОБРНАУКИ РОССИИ.docx