МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра дифференциальных уравнений

Специальность математика

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

“ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА В Rⁿ”

Выполнила

студентка группы 3-Д

Плантова О.А.

Руководитель

Ковалевский А.А.

ДОНЕЦК 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………....3

1.Неподвижные точки……………………………………………..…………………4

2.Свойства проекций на выпуклое множество………………………………….....7

3. Первая теорема о вариационных неравенствах………………………………..10

4. Вариационные неравенства…………………………………………..………….12

5. Некоторые задачи, приводящие к вариационным неравенствам…………….…15

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ…………….…………........17

ВВЕДЕНИЕ

Задачи, которые могут быть сформулированы в виде вариационных неравенств, возникают естественным образом в различных приложениях (механических, экономических и многих других) и известны достаточно давно. С середины 60-х г. теория вариационных неравенств развивается очень активно и по различным направлениям.

В данной работе рассматривается вопрос о вариационных неравенств в Rⁿ

1. Неподвижные точки

Определение 1.1.

Пусть F : A → A — отображение множества А в себя. Элемент x A называется неподвижной точкой F, если F(x)=x.

Пусть S-метрическое пространство с метрикой d.

Определение 1.2

Отображение F : S→S называется сжимающим, если для некоторого α, 0 ,

d(F(x),F(y)) αd(x,y), x,y S. (1.1)

если допускается α=1, то отображение F называется нерастягивающим

Теорема 1.1.(принцип сжимающих отображений)

Пусть S — полное метрическое пространство и F : S → S — сжимающее отображение. Тогда у F существует единственная неподвижная точка.

Доказательство.

1. Существование.

Возьмем произвольную точку x₀ S. Положим

x₁=F(x₀), x₂=F(x₁), ….x_n=F(x_n-1).

Получили последовательность x₀, x₁,….x_n. Докажем ее сходимость. Так как S – полное метрическое пространство, то достаточно будет показать фундаментальность этой последовательности ,

ε>0 N_ε− натуральное, такое что n,m> N_ε выполняется неравенство d(x_n,x_m)<ε

d(x₂,x₁)=d(F(x₁),F(x₀))≤αd(x₁,x₀)

d(x₃,x₂)=d(F(x₂),F(x₁))≤αd(x₂,x₁)≤α²d(x₁,x₀)

………………………………………………..

d(x_n+1,x_n)=d(F(x_n),F(x_n-1))≤αⁿd(x₁,x₀).

Получили последовательность неравенств.

d(x₂,x₁) ≤αd(x₁,x₀)

d(x₃,x₂) ≤α²d(x₁,x₀)

………………………

d(x_n+1,x_n) ≤αⁿd(x₁,x₀).

Возьмем n, m (n>m)

d(x_n,x_m)≤d(x_m,x_m+1)+d(x_m+1,x_m+2)+….+d(x_n-2,x_n-1)+d(x_n-1,x_n)≤

≤α^md(x₁,x₀)+α^m+1d(x₁,x₀)+….+α^n-2d(x₁,x₀)+α^n-1d(x₁,x₀)≤

≤(α^m+α^m+1+…+ α^n-2+ α^n-1)d(x₁,x₀)=

= d(x₁,x₀)<ε

По определению {x_n}-фундаментальная последовательность, т.е. существует предел последовательности x^*.(x_n→x^*).

Переходя к пределу в равенстве x_n+1=F(x_n) при n→∞, получим, что x^*=F(x^*), из этого следует, что x^*-неподвижная точка.

2. Единственность.

Пусть отображение F имеет две неподвижные точки x^* и y, т.е. F(x^*)=x^* и F(y)=y. По определению сжимающего отображения имеем:

d(x*,y)=d(F(x*),F(y)) αd(x*,y) (1-α)d(x*,y) 0, так как α<1, то 1-α>0, а по определению метрики d(x*,y)≥0, отсюда d(x,y)=0 x*=y.

Теорема доказана.

Обозначим через Rⁿ действительное евклидово пространство размерности n≥1.

Определение 1.3.

Ретрактом пространства X называется подпространство A этого пространства, для которого существует непрерывное отображение F : X → A , такое что F(x)=x для всех x A.

Теорема 1.2. (Брауэра)

Пусть F – непрерывное отображение замкнутого шара Σ Rⁿ в себя. Тогда у F существует, по крайней мере, одна неподвижная точка.

Доказательство.

Так как не существует ретракции шара на его границу, доказательство будет строиться от противного.

Пусть F:Σ→Σ не имеет не подвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки x рассмотрим прямую, проходящую через точки x и F(x)( она единственная так как по предположению неподвижных точек нет). Пусть r(x) –точка пересечения прямой с границей шара, причем х лежит между F(x) и r(x). r(x) –непрерывное отображение Σ на ∂Σ. Если x ∂Σ, то r(x)=x. Поэтому r- требуемая ретракция. Пришли к противоречию.

Теорема доказана.