2. Свойства проекции на выпуклое множество

Лемма 2.1.

Пусть К− замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства H. Тогда для каждого x H существует единственная точка y K, такая что

||x-y||= |x-η|| (2.1)

Доказательство.

Определение 2.1.

Точка y K, удовлетворяющая (2.1), называется проекцией х на К (y=Pr_Kx). Отметим, что для всех х K Pr_Kх=х.

1.Существование

Пусть x H, _k K − минимизирующая последовательность, т.е.

|η_k-x||=d=inf||η-x|| (2.2)

По правилу параллелограмма

||a+b||²+||a-b||²=2||a||²+2||b||², a,b H

Пусть a=x-η_k, b=x-η_h k,h N, тогда

|| x-η_k+ x-η_h||²+|| x-η_k- x-η_h||²=2|| x-η_k||²+2|| x-η_h||² поэтому

||2(x-(η_k+η_h)||²+|| η_k+η_h||²=2|| x-η_k||²+2|| x-η_h||², отсюда имеем

||η_k+η_h||²=2||x-η_k||²+2||x-η_h||²-4||x- (η_k+η_h)||² (2.3)

Так как множество К выпукло, то (η_k+η_h) K и поэтому d²≤||x- (η_k+η_h)||². Следовательно,

|| η_k+η_h||²≤2|| x-η_k||²+2|| x-η_h||²-4d².

Перейдем в этом неравенстве к пределу при k,h→∞

||η_k+η_h||≤ 2||x-η_k||²+ 2||x-η_h||²-4d²

||η_k+η_h||=0

Так как Н полно, то существует элемент у K, такой что _h=y. Кроме того,

||x-y||= ||x- η_h||=d

2.Единственность

Пусть для произвольного заданного х H существует две точки у и у* такие, что выполняется (2.1).

Аналогично (2.3) имеем неравенство:

||y-y*||²=2||x-y||²+2||x-y*||²-4||x- (y+y*)||²≤2d²+2d²-4d²=0

Отсюда, следует, что у=у*.

Лемма доказана

Теорема 2.1.

Пусть К − замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства Н. Тогда y=Pr_Kx в том и только том случа, когда

(y,η-y)≥(x,η-y) η K (2.4)

Доказательство.

Пусть x H , y=Pr_Kx и η K Поскольку К выпукло, то

(1-t)y+tη=y+t(η-y) K η K, 0≤t≤1.

Так как у=Pr_Kx, то

||x-y||²≤||x-y-t(η-y)||²

Рассмотрим функцию

Ф(t)=||x-y-t(η-y)||²=||x-y||²-2t(x-y,η-y)+t²||η-y||².

Имеем

Ф'(t)=-2(x-y,η-y)+2t||η-y||².

Она достигает минимума в точке t=0, поэтому Ф'(0)≥0, отсюда

2(x-y,η-y) ≤0, следовательно (x, η-y)≤ (y, η-y) при всех η K.

С другой стороны , если у K и (x, η-y)≤ (y, η-y), то

0≤(y-x,η-y)=(y-x,(η-x)+(x-y))=(y-x,η-x)+(y-x,x-y)≤-||x-y||²+(y-x,η-x)

||y-x||²≤(y-x,η-x)≤||y-x|| ||η-x||

||y-x||≤||η-x|| η K

Теорема доказана.

Следствие 2.1.

Пусть К− замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства Н. Тогда оператор Pr_K нерастягивающий (и следовательно непрерывный ), т.е.

||Pr_Kx-Pr_Kx*||≤||x-x*|| x,x* H (2.2)

Доказательство.

Пусть х, х* H и y=Pr_Kx, y*=Pr_Kx*. Тогда по теореме 2.1

(y,η-y)≥(x, η-y) η K

(y*,η-y*)≥(x*, η-y*) η K.

Положим в первом неравенстве η=у*, а во втором η=у. Складывая полученные неравенства находим:

(y,y*-y)≥(x, y*-y)

(y*,y-y*)≥(x*, y-y*)

(y-y*,y*-y)≥(x-x*,y*-y)

||y-y*||²=(y-y*,y-y*)≤(x-x*,y-y*)≤||x-x*|| ||y-y*||.

Следовательно

||y-y*||≤||x-x*||

Следствие доказано.

Теорема 2.2. (Брауэра)

Пусть К Rⁿ выпуклое компактное множество в Rⁿ и F: К→К− непрерывное отображение. Тогда у F существует неподвижная точка.

Доказательство.

Пусть Σ− замкнутый шар в Rⁿ, такой что K Σ. Согласно следствию 2.1 оператор Pr_K непрерывен, следовательно, отображение F Pr_K :Σ→K Σ непрерывно и переводит Σ в себя. По теореме 1.2 отображение F Pr_K имеет неподвижную точку x Σ, то есть F Pr_K(x)=x, а так как x К и значит, что Pr_K(x)=x, то F(x)=x.

Теорема доказана.