МехТепЛабыФинал2013

31

11. Перечислите виды удара и опишите, какие законы сохранения выполняются при разных ударах. Приведите примеры.

Приложение

1. Момент импульса и момент силы. Вращательное движение тела характеризуется специальной физической величиной, которая называется мо-

ментом импульса L . Момент импульса частицы относительно центра вращения определяется векторным произведением ее радиус-вектора и импульса

ла. Он зависит не только от массы вращающегося тела, но и от того, как масса

M= rF sin α. Момент силы характеризует вращательное действие силы.

2.Уравнение моментов. Запишем II закон Ньютона для материальной

первое слагаемое тождественно равно нулю. С учетом принятых обозначений получим следующее уравнение для моментов импульса и силы

Отсюда после интегрирования можно получить закон изменения момента импульса материальной точки

32

но интегралу по времени от момента действующей силы. Из этого закона вытекают важные практические следствия:

−в замкнутой системе момент импульса сохраняется;

−если момент сил скомпенсирован, то момент импульса сохраняется;

−если сила центральная, то ее момент равен нулю и момент импульса сохраняется.

Можно показать, что соотношение (11) справедливо для системы материальных точек и для твердого тела. Закон (11) является одним из важнейших законов механики вращательного движения.

3. Вывод рабочей формулы. Для крутильного баллистического маятника (рис. 2) при ударе пули закон сохранения импульса не выполняется, а выполняется закон сохранения момента импульса. Это происходит потому, что во время удара в подвесе маятника возникает сила реакции, которая приводит к изменению импульса. Однако момент этой силы относительно оси вращения маятника равен нулю, поэтому момент импульса сохраняется.

До удара момент импульса пули равен mvl , где m и v - масса и скорость пули, l - плечо импульса пули (расстояние от оси вращения маятника до точки удара пули). Сразу после удара момент импульса системы будет равен

(Jm + Jn )ω0 ,

где ω0 - угловая скорость вращения системы; Jm и Jn - соответственно моменты

инерции маятника и пули относительно оси вращения маятника О. Обычно J m >> J n и тогда закон сохранения момента импульса можно записать в виде

Столкновение пули с маятником абсолютно неупругое, после которого тела движутся как единое целое. При таком столкновении закон сохранения механической энергии не выполняется. Однако колебания маятника после столкновения происходят под действием упругой силы, которая является потенциальной. Поэтому при колебаниях маятника выполняется закон сохранения механической энергии

где Ek = Jmω2 2 - кинетическая энергия вращательного движения маятника, а Ep = kα22 - потенциальная энергия деформации кручения подвеса, ω - угловая

скорость маятника, α - угол отклонения маятника, k - модуль кручения подвеса. По закону Гука для деформации кручения, момент упругих сил относительно оси вращения, возникающий при этой деформации, пропорционален углу поворота φ: M = −kϕ, где k - модуль кручения. Чтобы повернуть пружину

на угол dϕ надо совершить работу dA = kϕdϕ. Для поворота пружины из равновесного положения на угол α необходимо совершить работу

мированной пружины Ep = kα22 .

Сразу после удара пули маятник имеет только кинетическую энергию, ко-

Считается, что закон сохранения момента импульса проверен, если выполнено соотношение (17).

Литература

1.Андроникашвили Э. Л. Лабораторные работы по физике. -М.: ГИФИЛ, 1961. – С. 37-41.

2.Савельев И.В. Курс общей физики: Учеб. пособие. т. 1. Механика.- М.:

Наука, 1988. - С. 75 – 97, 100 - 111

34

3.3.Лабораторная работа № 3 «Проверка теоремы Гюйгенса – Штейнера»

Цель работы. Экспериментально проверить теорему Гюйгенса – Штейнера. Приборы и принадлежности. Установка для изучения крутильных и обычных колебаний, стержень с призмами на концах, диск, штангенциркуль,

измерительная линейка, секундомер.

Описание установки

Лабораторная установка состоит из штатива 1, на котором укреплена горизонтально трубка 2 (рис. 1). На одном конце трубки закреплена вилка 3 с опорами под призмы 4 стержня 5 для изучения его колебаний. На другом конце трубки укреплен зажим 6 подвеса 7 для исследования крутильных колебаний. К концу подвеса при помощи зажима 8 поочередно прикрепляются вспомогательный диск 9 и исследуемый стержень 5. Крутильные колебания возбуждаются кратковременным натяжением шнура

10, связанного с подвесом 7.

Рис. 1

Методические указания

Момент инерции стержня J1 , относительно оси, проходящей через его конец, можно определить, измерив период его колебаний Т1 относительно этой оси

где g – ускорение свободного падения, L2 - расстояние от оси колебаний до

центра масс стержня.

Момент инерции стержня J2 относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его центр масс, определяют, измерив период его крутильных колебаний Т2 в горизонтальной плоскости относительно оси подвеса 7, проходящей через середину стержня

35

где k – постоянная для этого подвеса величина, называемая модулем кручения. Для исключения величины k из уравнения (2), измеряют период колебаний

диска относительно его оси симметрии на этом же подвесе

где Jd = MD28 – момент инерции диска диаметром D и массой М.

Из (2) с учетом (3) и Jd получаем формулу для момента инерции стержня

Так как расстояние между осями колебаний стержня a = L2, то для про-

верки теоремы Гюйгенса – Штейнера необходимо проверить выполнение равенства

Порядок выполнения работы

1.Измерить массы т и М стержня и диска на технических весах. Результаты измерений занести в табл. 1 и 3. Оценить погрешности взвешивания тел.

2.Измерить штангенциркулем диаметр D диска и линейкой расстояние L между внутренними ребрами призм стержня. Результаты измерений занести в табл.

1и 3. Оценить погрешности измерений.

3.Одну из призм стержня установить на опоры вилки 3 (рис. 1). Вывести стержень из положения равновесия, отклонив его на небольшой угол, и измерить время десяти полных колебаний стержня. Результаты занести в табл. 1. Опыт повторить 5 раз. По результатам измерений определить среднее время t1

и период колебаний Т1. Оценить погрешности прямых и косвенных измерений. 4. Привинтить стержень в средней части к зажиму 8 на конце подвеса 7. Вывести стержень из положения равновесия кратковременным натяжением шнура 10. Измерить время десяти полных колебаний стержня. Результаты занести в табл. 2. Опыт повторить 5 раз. По результатам измерений определить среднее время t2 и период колебаний Т2. Оценить погрешности прямых и косвенных

измерений.

5. Привинтить диск к зажиму 8. Вывести диск из положения равновесия кратковременным натяжением шнура 10. Измерить время десяти полных колебаний диска. Результаты занести в табл. 3. Опыт повторить 5 раз. По результатам измерений определить среднее время td и период колебаний Тd. Оценить

погрешности прямых и косвенных измерений.

6.По формулам (1) и (4) рассчитать моменты инерции стержня J1 и J2 относительно разных осей.

7.Проверить выполнение теоремы Гюйгенса – Штейнера согласно рабочей формуле (5).

36

8. Оценить погрешности косвенных вычислений, правильно записать результаты измерений и сделать выводы.

1

…

5

1

…

5

1

…

5

Вопросы для допуска

1.Сформулируйте цель работы.

2.Дайте определение момента инерции точки, системы точек и тела.

3.Сформулируйте теорему Гюйгенса – Штейнера.

4.Как в данной работе проверяется теорема Гюйгенса – Штейнера?

5.Покажите, относительно каких осей вращения определяются моменты инерции стержня. Как это делается в данной работе?

6.Как определяются периоды колебаний стержня и диска?

7.Зачем в данной работе используется диск?

8.Какие величины и как измеряются непосредственно в этой работе?

Контрольные вопросы и задания

1.Что называется моментом инерции твердого тела? Каков его физический смысл?

2.Запишите основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела и объясните его.

37

3.Выведите формулу для момента инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей через его центр масс, перпендикулярно стержню.

4.Выведите формулу для момента инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец.

5.Выведите формулу для момента инерции диска относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно диску.

6.Докажите теорему Гюйгенса – Штейнера.

7.Выведите уравнение колебаний стержня относительно оси, проходящей через его конец.

8.Выведите уравнение крутильных колебаний стержня, подвешенного на упругом подвесе.

9.Выведите выражение для кинетической энергии вращающегося тела.

10. Выведите выражение для кинетической энергии колеса, которое катится без скольжения.

Приложение

1. Момент инерции. Момент инерции характеризует инертные свойства тел при их вращательном движении, подобно тому, как масса характеризует инертные свойства при поступательном движении тел.

Моментом инерции J материальной точки относительно оси называется произведение массы точки m на квадрат расстояния r до оси

Чтобы найти момент инерции твердого тела, в котором масса распределена непрерывно по объему тела V с плотностью ρ, надо тело разбить на элементарные массы dm = ρdV , найти моменты инерции этих масс dJ = ρr2dV , а затем сложить их, т.е. проинтегрировать по объему тела

39

Первое слагаемое в выражении (12) представляет собой момент инерции тела J0 относительно оси О, проходящей через центр масс тела. Второе слагае-

мое равно ma2 . Третье слагаемое равно нулю, т.к. сумма ∑mirGi определяет

i

координаты центра масс, которые равны нулю, т.к. ось О проходит через центр масс.

Таким образом, получаем теорему Гюйгенса-Штейнера

Применим теорему Гюйгенса-Штейнера для определения момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно к стержню. По теореме имеем

что совпадает с выражением (10), полученным прямым интегрированием.

3. Уравнения колебаний стержня. Рассмотрим обычные колебания стержня, как физического маятника вокруг горизонтальной оси (рис. 5). Стержень совершает колебательное движение вокруг горизонтальной оси, которое описывается уравнением моментов

тело к положению равновесия. Для малых колебаний стержня sin ϕ = ϕ и тогда уравнение движения стержня можно записать в виде

40

Рассмотрим крутильные колебания стержня, подвешенного по середине на упругом вертикальном подвесе в виде упругой стальной проволоки. Колебательное движение стержня вокруг вертикальной оси будет описываться основным уравнением динамики вращательного движения (14). При этих колебаниях силы тяжести и реакции подвеса скомпенсированы, а вращающий момент создает сила упругости деформированной проволоки, который по закону Гука пропорционален углу поворота стержня: M z = −kϕ, где k – модуль

кручения подвеса. Тогда уравнение крутильных колебаний маятника примет вид

4. Кинетическая энергия вращающегося тела. Рассмотрим твердое тело, которое вращается с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси. Выделим элементарный кусочек этого тела массой mi , который находится на

расстоянии ri от оси вращения. Скорость этого кусочка будет vi = ωri , а кине-

где J = ∑mi ri2 - момент инерции тела.

При плоском движении твердого тела его кинетическая энергия складывается из энергии поступательного движения центра масс mvc2 2 и энергии вращательного движения вокруг центра масс Jω22:

mv2 Jω2

Ek = 2c + 2 .

Для примера найдем кинетическую энергию сплошного цилиндра массой m и радиусом R, который катится без скольжения по поверхности со скоростью