Лекции атомная физика

У другому випадку 2S + 1 = 3, тобто всі рівні триплетні, крім s-рівнів. Тут можливі три випадки: J = L - 1, J = L, J = L + 1:

Звичайно, квантовими числами L, S, J стан електронної оболонки характеризується ще не повністю. Для більшої повноти в спектроскопії часто вказуються електронні конфігурації зовнішньої оболонки, тобто числа електронів в ній, що знаходяться в станах s, p, d, …

При розгляданні випромінювання й поглинання світла, зумовленого переходами зовнішнього електрона, в атомах лужних металів було відзначено, що не всі переходи між термами можливі. Можливі лише ті, що підкоряються правилам відбору (5.15), (6.9).

Для багатоелектронних атомів емпірично було встановлено, що при нормальному зв’язку правила відбору для чисел L, S, J наступні:

L 0, 1,

Вказані правила обґрунтовані квантовою теорією і не завжди є достатньо жорсткими. Суть цих правил в тому, що тільки при вказаних зміненнях квантових чисел ймовірність переходів буде істотною.

6.5. Повний магнітний момент атома

Раніше ми з'ясували, що магнітний і механічний моменти квантуються за однаковими правилами (6.1 – 6.2). Магнітний орбітальний момент атома і його

неоднорідному магнітному полі для різних речовин розщеплювалися не обов'язково на непарне число компонентів, як того вимагала теорія (6.17), але в багатьох випадках число компонентів було парним.

71

Пояснити такі картини розщеплень удалося із введенням спіну. Повний механічний момент атома є сумою орбітального й спінового моментів, тобто визначається квантовим числом J. Тоді число компонентів дорівнює 2J + 1, і

залежно від того, напівцілим або цілим буде значення J, число компонентів при розщепленні пучка буде парним або непарним.

Зокрема, в дослідах Штерна і Герлаха при пропущенні атомів водню або срібла черех необнорідне магнітне поле пучок розщеплювався на дві компоненти, що у свій час з'явилося повною несподіванкою, оскільки в основному стані орбітальні моменти цих атомів дорівнюють нулю й пучок не повинен був розщеплюватися. Але незабаром пояснення було знайдено: ці атоми мають спіновий момент Sz ms, і число можливих значень ms

дорівнює 2s + 1 = 2 у повній відповідності з дослідом.

Знаючи ступінь неоднорідності магнітного поля, Штерн і Герлах по величині розщеплення пучка на фотопластинці розрахували значення проекції спінового магнітного моменту на напрямок магнітного поля MSB. З'ясувалося, що він дорівнює одному магнетону Бора, а це приводить до гіромагнітного відношення вдвічі перевищуючого (6.2), що зв'язує орбітальні моменти. У зв'язку із цим говорять, що спін має подвоєний магнетизм. Подвоєний магнетизм спіну випливає також з дослідів Ейнштейна й де Гааза, а також з дослідів Барнета.

Отже, спіновий магнітний момент і його проекція на довільну вісь z

визначаються як

При S = 1/2 mS = ± 1/2.

Внаслідок подвоєного магнетизму спіну гіромагнітне відношення повних моментів MJ /J атома виявляється значно більш складним, ніж (6.2). Відповідний квантово-механічний розрахунок дає для магнітного моменту атома і його проекції на вісь z формули:

Зокрема, у синглетних станах (S = 0) J = L, g = 1, і ми приходимо до формул (6.16) і (6.17). А при (L = 0) J = S, g = 2 – до формул (6.18) і (6.19).

72

Відзначимо, що множник Ланде може мати значення, менші одиниці, і навіть може дорівнювати нулю. Наприклад, при L = 3, S = 2 й J = 1 магнітний момент атома дорівнює нулю, хоча механічний момент відмінний від нуля.

6.6.Ефект Зеемана

Укулонівському полі всі енергетичні рівні електрона вироджені – енергія залежить тільки від головного квантового числа n, але не залежить від орбітального числа l. Із цієї причини всі спектральні лінії атома водню одиночні (синглеты). Атоми лужних металів можна розглядати як одноелектронні, у яких електрон рухається в центрально-симетричному, але вже не кулонівському полі. Виродження по l знімається – енергія рівня залежить не тільки від n, але й від l. Із цим зв'язане походження спектральних серій лужних металів. Наявність спін-орбітальної взаємодії приводить до тонкої структури спектральних ліній. Але при відсутності зовнішніх магнітних полів усі напрямки в просторі еквівалентні, а тому енергії рівнів не залежать від магнітного квантового числа mJ, хоча при заданому J число mJ може приймати

2J 1 значень. При поміщенні джерела випромінювання в магнітне поле виродження по mJ знімається: кожен енергетичний рівень розщеплюється на

2J 1 підрівнів. Цим пояснюється розщеплення спектральних ліній у магнітному полі на кілька компонент.

Вплив магнітного поля на спектральні лінії був виявлений голландським фізиком Зееманом в 1896 р. й це явище одержало назву ефекту Зеемана.

Зееман помістив пальник з полум'ям натрію між полюсами електромагніту й виявив, що при включенні досить сильного магнітного поля d-лінія натрію розширюється. Відповідно до теорії Г.А. Лоренца, це розширення пов'язане з розщепленням спектральної лінії на три компоненти, причому усі компоненти поляризовані. Зееман виявив не розщеплення, а розширення й поляризацію країв лінії, але якби він скористався більш сильним полем і спектральною апаратурою з більш високою роздільною здатністю, то побачив би, що у випадку натрію картина розщеплення складніша, ніж простий триплет,

передвіщений Лоренцем.

Ефект, у якому при спостереженні перпендикулярно магнітному полю спектральна лінія розщеплюється на три компоненти, одержав назву простого ефекту Зеемана, якщо ж число компонентів більш трьох – ефект називають складним.

73

Зееманівське розщеплення ліній пояснюється тим, що атом, який володіє магнітним моментом MJ, здобуває в магнітному полі додаткову енергію

E MJBB,

де MJВ – проекція магнітного моменту на напрямок поля. Повна енергія атома в магнітному полі відповідно до (6.21) дорівнює

E E0 E E0 Б gBmJ , mJ J,J 1,..., J , (6.23)

де Е0 – енергія рівня при відсутності магнітного поля. Звідси виходить, що рівні із квантовим числом J розщеплюються в магнітному полі на 2J + 1

рівновіддалених один від одного підрівнів, причому величина розщеплення залежить від множника Ланде.

Крім того необхідно врахувати, що можливі тільки такі переходи між підрівнями, що належать різним рівням, при яких виконуються правила відбору для mJ:

(6.24)

Відзначимо, що компоненти, які відповідають переходам з mJ 0, називають

-компонентами, а з mL 1 – -компонентами. При спостереженні перпендикулярно магнітному полю присутні й -, й -компоненти, при спостереженні ж уздовж поля -компоненти зникають, залишаються тільки - компоненти.

Для спектральної лінії із частотою 0 E0 / , що випромінюється при переходах між рівнями з енергіями Е2 й Е1 за відсутністю магнітного поля,

частоти зееманівських компонентів визначаються формулою

Тут 0 Б B/ – лоренцеве зміщення.

До відкриття спіну електрона квантова теорія, як і класична, пояснювала тільки простий (або нормальний) ефект Зеемана.

Простий ефект властивий спектральним лініям, що не мають тонкої структури. Такі лінії виникають при переходах між синглетними рівнями

(S = 0, J = L, mJ = mL). Якщо спін дорівнює нулю, то магнітний момент атома обумовлений тільки орбітальним рухом електронів, і відповідно до (6.2) MJB БmL . Отже

E Б gBmL 0mL,

і формула (6.26) приймає вид

74

mL 0 ,

де mL 0, 1.

Таким чином, частоти випромінюваних ліній будуть дорівнювати

0 або 0 0 , (6.27)

тобто виходить лоренцевський триплет. На мал. 6.2 показане розщеплення рівнів для переходу 1Р → 1S. При відсутності поля (ліворуч) спостерігається одна лінія частоти 0 . При включенні поля виникають три зееманівські компоненти відповідно до (6.27).

Урахування спіну електрона дозволило пояснити й складний ефект Зеемана, який

де r й q – невеликі раціональні числа. Таке розщеплення пов'язане з наявністю спіну електрона і його подвоєним магнетизмом, що приводить до залежності розщеплення рівнів від множника Ланде.

Розглянемо розщеплення натрієвого дублету, утвореного переходами

32P1/2 → 32S1/2 й 32P3/2→

32S1/2 (мал. 6.3). Ліворуч на малюнку показане природне розщеплення (тонка структура, компо-

ненти 1 й 2 ) за відсутністю магнітного поля. Праворуч – зеема-

нівське розщеплення в магнітному полі й можливі за правилом відбору (6.24) переходи.

З малюнку видно, що при

Мал. 6.3

75

наявності магнітного поля первісна лінія в цьому випадку відсутня. Замість лінії 32P1/2 → 32S1/2 з'являються чотири зееманівські компоненти, зміщення яких дорівнює ( 2/3, 4/3) 0 . Замість же лінії 32P3/2 → 32S1/2 з'являються шість компонентів, зміщення яких ( 1/3, 3/3, 5/3) 0 .

Складний ефект Зеемана спостерігається в слабкому магнітному полі, коли зееманівське розщеплення спектральних ліній мале в порівнянні з інтервалом між компонентами тонкої структури (тобто в порівнянні з різницею

незалежно одне від одного. У цьому випадку додаткова енергія, що пов'язана з магнітними моментами, визначається як

E Б BmL Б BmS .

Дозволені переходи відповідають правилам відбору

В результаті виникає нормальний зееманівський триплет. Таке явище називається ефектом Пашена-Бака.

76

7.АТОМНІ СИСТЕМИ З БАГАТЬМА ЕЛЕКТРОНАМИ

7.1.Принцип тотожності однакових частинок

На відміну від макроскопічних тіл, однотипні мікрочастинки (всі елементарні частинки, атоми, тощо) володіють сповна однаковими властивостями: у них однакова маса, електричний заряд, спін та ін. У зв’язку з цим виникає питання: як відрізнити частинки одного типу одна від одної?

Вкласичній механіці частинки, що утворюють макросистему, хоч вони і зовсім тотожні, можна перенумерувати, що дозволяє слідкувати за рухом кожної із них. Електрони, з класичної точки зору, рухаються по визначених траєкторіях. Якщо хоча б два електрони поміняти місцями – одержимо новий стан системи. Отже з класичної точки зору однакові частинки можна принципово розрізнити.

Вквантовій механіці не використовується уявлення про рух частинок по траєкторіях. Стан системи частинок описується хвильовою функцією, якій надається ймовірнісне тлумачення. В нашому випадку вона є функцією координат і часу. Якщо дві однакові частинки поміняти місцями, то наслідок такого обміну не можна ніяк виявити експериментально. Отже в квантовій механіці однакові частинки принципово нерозрізнимі.

Це положення формулюється як принцип тотожності однакових частинок: в системі однакових частинок реалізуються тільки ті стани, які не змінюються при перестановці місцями двох будь-яких частинок. Цей принцип

єсуттєво новим, але він не заперечує іншим основним положенням квантової механіки і підтверджується усією сукупністю дослідних фактів, тому його слід прийняти.

Стан системи частинок в квантовій механіці характеризується хвильовою функцією. Постає питання: які ж хвильові функції припустимі, тобто задовольняють принципу тотожності? Для вирішення цього питання достатньо обмежитися розгляданням системи із двох частинок.

Нехай стан системи в деякий момент часу описується хвильовою функцією (q1,q2), де через q1 позначена сукупність всіх координат однієї

частинки, а через q2 – другої. Введемо оператор перестановки Pˆ , дія якого полягає в тому, що він міняє місцями частинки. Тоді

Pˆ (q1,q2) (q2,q1).

Переставивши частинки ще раз, одержимо вихідну функцію:

77

називаються бозе-частинками, або бозонами. Частинки, стан яких описується антисиметричними хвильовими функціями, називаються фермі-частинками, або ферміонами. Такі назви прийняті тому, що системи, які складаються із бозонів,

підкоряються статистиці Бозе-Ейнштейна, а ті, що складаються із ферміонів – статистиці Фермі-Дірака.

До бозонів належать: фотони, - і К-мезони – взагалі всі частинки з нульовим або цілим спіном. До ферміонів належать електрони, протони,

нейтрони, нейтрино і всі елементарні частинки й античастинки з напівцілим спіном. Зв’язок між спіном і статистикою, встановлений спочатку емпірично для фотонів і електронів, був у 1940 р. розповсюджений теоретично Паулі на всі елементарні частинки і античастинки.

Встановлений зв’язок між спіном і статистикою справедливий і для складних частинок, тобто для атомних ядер, атомів і молекул при достатньо малих енергіях, коли складна частинка поводиться як ціле.

Наприклад, атом водню складається із двох частинок: електрона й протона, спін кожної із двох фермі-частинок дорівнює 1/2. Сумарний спін атома водню за нормальних умов може дорівнювати або 0 (спіни протона і електрона антипаралельні), або 1 (спіни паралельні). В обох станах атом водню буде бозоном.

6.2. Принцип Паулі

Як було з’ясовано, для вдоволення принципу тотожності стан системи частинок повинен описуватися або симетричною, або антисиметричною хвильовою функцією координат. Застосуємо цю умову до системи однакових частинок, що не взаємодіють між собою.

Спочатку будемо проводити розгляд так, нібито частинки не володіють спінами (рівняння для хвильових функцій при наявності спіну в цьому курсі не розглядається), а потім узагальнимо одержані результати на випадок наявності спіну.

78

Обидва оператори сповна однакові, тому що однакові самі частинки, але ці оператори залежать від різних координат. Так як оператор Нˆ1 діє тільки на координати x1,y1,z1, а оператор Нˆ2 – на координати x2,y2,z2, то рівняння (7.3)

розпадається на два:

загальному випадку коефіцієнт 2 може залежати від координат (2), тобто

2 2(2). Цю функцію слід вибрати так, щоб задовольнялось друге із рівнянь

(7.4). Для цього повинно бути

енергія системи із двох частинок, що не взаємодіють між собою, дорівнює сумі енергій цих частинок, як цього і слід було очікувати.

Розв’язок рівняння (7.3) таким чином приймає вигляд:

1(1) 2(2),

тобто він є розв’язком із роздільними змінними.

Врахуємо тепер наявність спіну. Для цього достатньо розуміти під (1) і

(2) сукупність не тільки просторових, а й спінових координат частинок. Як і раніше, розв’язком рівняння Шредінгера при наявності спіну (рівняння Паулі) є

79

функція 1(1) 2(2). В силу тотожності частинок функція 1(2) 2(1) також є розв’язком того ж рівняння. Однак не одна із цих функцій не задовольняє принципу симетрії або антисиметрії. Але із них можна скласти лінійні комбінації із постійними коефіцієнтами, які також є розв’язками рівняння Шредінгера. Серед цих комбінацій є

Приведені міркування розповсюджуються і на випадок системи із N

тотожних частинок.

У випадку однакових невзаємодіючих частинок є сенс говорити не тільки про стан системи в цілому, а й про стан однієї частинки. Наприклад, можна сказати, що одна частинка знаходиться у стані 1, а друга – у стані 2 . Із формули (7.6) у випадку 1 2 (частинки знаходяться у однаковому стані)

одержуємо, що a = 0, що фізично не відповідає ніякому стану. Аналогічно в загальному випадку N частинок.

Таким чином, в системі тотожних ферміонів не може бути двох частинок, що знаходяться в одному й тому ж стані.

Це положення називається принципом заборони Паулі, який він виказав в

1940 р. В первинному формулюванні принцип Паулі стверджував, що в атомі не може бути двох електронів, які характеризуються однаковими четвірками квантових чисел n, l, ml, ms.

Стосовно до ясності і точності принцип Паулі у первинному вигляді поступається принципу антисиметрії хвильових функцій. Останній принцип справедливий і при наявності взаємодії частинок, тоді як в принципі Паулі мова йде про стан окремих частинок, про який можна говорити, суворо кажучи, лише при відсутності взаємодії.

Що стосується бозонів, то на їх стани принцип симетрії хвильових функцій не накладає ніяких обмежень, аналогічних забороні Паулі. В одному й тому ж стані може знаходитися будь-яке число однакових бозонів. Це видно безпосередньо із виразу (7.5) для хвильових функцій.

80