Лекции атомная физика

U U U

U0

U

U

Мал. 4.2

ефекту. Крім того, енергетичний спектр квантової частинки у випадку фінітного руху виявляється дискретним. Причому, з математичної точки зору,

квантування – природний наслідок стандартних умов, що накладаються на розв’язки рівняння Шредінгера.

Перейдемо до розглядання деяких простіших випадків, на яких проілюструємо квантування енергії на підставі рівняння Шредінгера.

4.4. Квантування енергії у випадку одномірної прямокутної

нескінченно глибокої потенціальної ями

Розглянемо поведінку частинки в одномірній прямокутній потенціальній ямі нескінченної глибини (мал. 4.2 б). Такі потенціальні функції імітують дуже глибокі потенціальні ями при невисоких енергіях руху частинок. Припустимою що частинка рухається вздовж осі х. Тоді її рух обмежений непроникливими

«стінками»: х 0 і х l, на яких функція U(х) зазнає розриву від 0 до

(мал. 4.3). В такому випадку доцільно прийняти за нуль потенціальної функції її значення на «дні» потенціальної ями. Отже для U(х) виконуються умови

41

За границі потенціальної ями частинка потрапити не може. Тому ймовірність виявити частинку, а

відповідно, і функція за границями ями дорівнює нулю. Із умови неперервності на границі ями знайдемо умову, якій повинен задовольняти розв’язок рівняння (4.13):

де n =1, 2, 3, …(n = 0 виключається , оскільки в цьому разі 0 – частинка ні де не знаходиться).

Підставивши k із (4.17) в (4.15) отримаємо

42

Енергія виявилася квантованою, а її спектр – дискретним (мал. 4.4). Оцінимо відстань між сусідніми рівнями для випадку вільних електронів в металі. Нехай l = 10 см. Тоді

Так щільно розташовані рівні будуть сприйматися практично як неперервний спектр. Однак зовсім інший результат отримаємо для

Сталу А знайдемо із умови нормування (4.5). В нашому випадку вона прийме вигляд

l

А2 sin2 nxdx 1.

l

0

На кінцях інтервалу (0, l) підінтегральна функція дорівнює нулю, тому значення інтегралу можна представити як добуток середнього значення квадрату сінусу (а воно дорівнює 1/2) на ширину ями l:

Графіки деяких власних функцій і густини ймовірності * виявлення частинки на різних відстанях від стінок ями приведені на мал. 4.5.

43

правій і лівій її половині. Така поведінка частинки різко відрізняється від поведінки класичної частинки, усі розташування якої в ямі рівноймовірні. Із збільшенням же енергії (тобто із зростанням n) максимуми розподілу *

розташовуються все щільніше й при дуже великих n розподіл * представляється рівномірним – частинка починає поводитись як класична.

4.5. Потенціальний бар’єр. Тунельний ефект

У квантовій механіці поводження частинки виглядає зовсім інакше. Поперше, навіть при Е > U0 відмінна від нуля ймовірність того, що частинка відіб'ється від бар'єру й поверне у зворотну сторону; по-друге, при Е < U0 відмінна від нуля ймовірність того, що частинка пройде крізь бар’єр і опиниться в області (x l). Цю здатність квантової частинки проходити крізь бар’єр як би по тунелю, називають тунельним ефектом.

Така неможлива з класичної точки зору поведінка мікрочастинки витікає безпосередньо із розв’язку рівняння Шредінгера.

44

причому Е - U0 <0.

Будемо шукати розв’язок рівнянь (4.20, 4,21) у вигляді

e x .

Підстановка цієї функції в (4.20) приводить до характеристичного рівняння

2 2m E 0.

2

Звідси

ik,

розповсюджується в додатному напрямку осі х, а e ikx – в протилежному. Тоді

A1eikx і B1e ikx характеризують падаючу і відбиту хвилі, A3eikx – хвилю, що пройшла бар’єр а B3e ikx – відбиту, що йде із нескінченності. Оскільки остання в нашому випадку відсутня, необхідно покласти В3 = 0.

Для того, щоб функція була неперервною у всій області визначення х

від до , повинні виконуватися умови:

45

Із цих умов випливають співвідношення

A1 B1 A2 B2 ,

ikA1 ikB1 A2 B2

А2e l B2e l ikА3 .

Для характеристики величини тунельного ефекту введемо коефіцієнт прозорості бар’єру, який визначає ймовірність проходження частинки крізь бар’єр:

Для його визначення скористаємося співвідношеннями (4.22), ввівши позначення n k / :

A1 B1 A2 B2 ,

inA1 inB1 A2 B2

А2e l B2e l inА3.

Із другого і четвертого рівнянь (4.22) виразимо А2 і В2 через А3 і врахуємо, що

l 1:

З огляду на те, що |А2| >> |В2|, можна вважати, що В2 0.

Перше і третє рівняння (4.22) після підстановки А2 і В2 матимуть вигляд:

A1 B1 1 in A3e l ,

2

inA1 inB1 1 in A3e l .

2

Тоді

Отже для коефіцієнта прозорості отримаємо:

46

Таким чином, ймовірність проходження мікрочастинки крізь бар’єр не дорівнює нулю. Коефіцієнт прозорості не дуже малий тоді, коли

2l

2m(U0 E) 1.

Для електрона, якщо (U0 – E) 1 еВ

тобто коефіцієнт проходження відмінний від нуля, якщо ширина потенціального бар’єру має порядок атомних розмірів. В макроскопічних явищах тунельний ефект не відіграє суттєвої ролі.

4.6. Властивості моменту імпульсу частинки

Момент імпульсу L є однією із важливіших характеристик руху. Його значення пов’язане з тим, що L зберігається, якщо система ізольована, або рухається в центральному полі.

Визначимо оператор моменту імпульсу в квантовій механіці. В класичній механіці L [r, p]. Таке визначення в квантовій механіці не має сенсу, оскільки

47

З’ясуємо зміст цього векторного оператора. Для цього знайдемо результат дії Lˆ на довільну функцію :

визначається приведеною формулою. Виникає питання, чи завжди існує така

розташування, отримаємо

Lˆx Lˆy 2 y z z y z x x z

2 y z z x y z x z z y z x z y x z

2 y x yz z2x yx z22 z2 y2x zx y2z .

Аналогічно

LˆyLˆx 2 z x x z y z z y

2 z x y z z x z y x z y z x z z y

2 zy x2z z2 x2y xy z22 x y xz z2y .

Операції диференціювання по двох незалежних змінних перестановочні,

тобто 2 2 , тому

x y y x

Lˆx Lˆy LˆyLˆx 2 y x x y i Lˆz .

48

Аналогічно отримуються і два інших правила комутації. Отже

Таким чином, будь-які дві проекції оператора моменту імпульсу не комутують між собою, тому не існує стану, в якому б всі три проекції і навіть які-небудь дві із трьох мали б визначені значення. Тобто оператор Lˆ не має власних функцій і відповідних ним власних значень. Це означає, що не існує стану, в якому б вектор моменту імпульсу був би повністю визначеним як за величиною, так і за напрямком.

Виникає питання, якими ж фізичними величинами (а не їх операторами)

характеризується в квантовій механіці момент імпульсу частинки? Виявляється, що існує стан, в якому одночасно мають визначені значення квадрат моменту імпульсу і одна із його проекцій на вибраний напрямок.

Квадрат моменту імпульсу прийнято позначати L2 . Але це не квадрат вектора L (якого не існує), а власне значення оператора квадрату моменту імпульсу, тобто

Lˆ2 (iLˆx jLˆy kLˆz )2 Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z .

Щоб впевнитися в тому, що величина L2 і одна із проекцій моменту імпульсу, наприклад Lz , можуть бути поміряні в одному й тому ж стані,

необхідно показати, що оператори Lˆ2 і Lˆz комутують між собою. Для цього пишемо

Lˆ2Lˆz (Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z )Lˆz Lˆx (LˆxLˆz ) Lˆy (LˆyLˆz ) Lˆ3z ,

або в силу співвідношень комутації (4.23):

Lˆ2Lˆz Lˆx (Lˆz Lˆx i Lˆy ) Lˆy (LˆzLˆy i Lˆx ) Lˆ3z .

Аналогічно

LˆzLˆ2 Lˆz (Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z ) (LˆzLˆx )Lˆx ) (LˆzLˆy )Lˆy ) Lˆ3z(Lˆx Lˆz i Lˆy )Lˆx (LˆyLˆz i Lˆx)Lˆy Lˆ3z .

Почленним відніманням знаходимо

Lˆ2Lˆz LˆzLˆ2 0,

що і треба було доказати. Звичайно, таке ж співвідношення комутації справедливе і для операторів Lˆx, Lˆy .

49

Таким чином, оператор квадрату моменту імпульсу має спільні власні

значення з операторами кожної із його проекцій.

4.7. Власні функції і власні значення оператора проекції

моменту імпульсу

Розглянемо задачу на знаходження власних функцій і власних значень оператора проекції моменту імпульсу частинки на певний напрям. Внаслідок ізотропії простору вектор напряму може бути довільним.

Задачу зручно вирішувати у сферичній системі координат. В ній найбільш простою формулою виражається оператор Lˆz . Тому виділений напрям звичайно сполучають з віссю z.

Для вирішення поставленої задачі слугує рівняння

В декартових координатах

Lˆz i x y y x .

З полярними декартові координати пов’язані співвідношеннями (мал.4.7):

x rsin cos

y rsin sin

z rcos

Знайдемо , де (x,y,z):

50