Лекции атомная физика

6.МАГНІТНІ ВЛАСТИВОСТІ АТОМІВ. СПІН

6.1.Магнетизм атомів

Хоча подання про орбіти, як і взагалі подання про траєкторії мікрочастинок, є неправомірним, механічний момент, обумовлений рухом електронів в атомі, називають орбітальним. З механічним моментом атома L

зв'язаний його магнітний момент M .

Зв’язок між цими двома моментами розглядався раніше в теорії магнетизму, до введення квантових уявлень. Той же зв’язок зберігається і в квантовій механіці, але його зміст декілька інший, тому що поняття моменту імпульсу не можна автоматично перенести із класичної теорії в квантову. Це робиться через введення відповідного оператора. Так само треба обійтися і з поняттям магнітного моменту.

Згідно електродинаміці, замкнутий виток постійного струму володіє магнітним моментом

M IS ,

де S – вектор площини, натягнутої на контур струму.

S 1 [r,dr],

2

тоді, з огляду на те, що I dq, одержуємо dt

Виберемо елемент контуру dr так, щоб за час dt заряд dq переміщувався б на dr , тоді dr vdt і

При зробленому виборі dr , dq – це заряд, що міститься в розглянутий момент часу на елементі контуру dr і має швидкість v . При такому тлумаченні dq уявлення про виток із струмом випадає й залишається тільки система зарядів із визначеними r і v , що створюють магнітний момент тіла (тому ).

Одержану формулу можна записати у вигляді:

61

тому, що вона, як і попередня, визначає магнітний момент тіла як суперпозицію магнітних моментів рухомих зарядів.

Для одиночного електрона, що рухається по замкнутій орбіті навколо ядра із швидкістю v

L 2me

Тепер перейдемо до квантових уявлень. Як і у випадку моменту імпульсу, для орбітального магнітного моменту запишемо операторне співвідношення

їх властивості сповна аналогічні. Зокрема:

- оператор Мˆ як і Lˆ не залежить від вибору початку координат;

-Мˆ і Lˆ кантуються за однаковими правилами;

-проекції М на будь-які два різних напрямки не можуть одночасно мати визначені значення;

-в стаціонарному стані визначені значення можуть мати М 2 й одна з

Стала Б e 0,9274 10 23 Дж/Тл дістала назву магнетона Бора. Магнетон

2me

Бора можна розглядати як квант магнітного моменту (точніше його проекції на вибраний напрям). Саме тому квантове число m називають магнітним квантовим числом.

62

6.2. Досліди Штерна і Герлаха

Для того, щоб безпосередньо впевнитися в існуванні магнітного моменту у атомів, необхідно, очевидно, спостерігати їх поведінку у зовнішньому магнітному полі. Але, якщо пучок атомів пропустити через однорідне поле, то таким шляхом нічого не з’ясуєш: однорідне поле діє на магнітний диполь тільки парою сил, тобто орієнтує його. Але цю орієнтацію помітити на досліді неможливо.

Для того, щоб викликати розщеплення пучка, поле повинне бути неоднорідним, причому неоднорідність повинна бути помітною на протязі довжини диполя l ~ 10-10 м. Тоді на полюси диполя будуть діяти нерівні сили, внаслідок чого диполь буде зміщуватись у ту, або іншу сторону.

Результуюча сила

F (M )H .

Спрямуємо вісь z за напрямком магнітного поля. Тоді проекція сили в цьому

напрямку

повернути атомні диполі за напрямком поля, виникає прецесія відносно

Внаслідок цього пучок після проходження поля розіб’ється на стільки окремих пучків, яким є число можливих значень Lz . І якщо розташувати перпендикулярно до пучка пластинку, на ній повинно утворитися кілька вузьких смуг.

Такий дослід вперше був спроектований П.Л. Капицею і Н.Н. Семеновим і незалежно від них поставлений Штерном і Герлахом в 1921-1922 р.

Схема досліду приведена на малюнку 6.1. В посудині з високим вакуумом знаходиться нагрівач К, в який кладеться кусочок срібла. При нагріванні срібло випаровується і його атоми вилітають із отвору у нагрівачі у усіляких напрямках з тепловими швидкостями порядку кількох сотень м/с. За

63

допомогою кількох діафрагм В виділяється вузький пучок атомів срібла, який проходить через неоднорідне магнітне

виникають дві смуги, розташовані симетрично відносно смуги, що одержується за відсутністю поля. Але за теорією, якщо орбітальне квантове число атома дорівнює l, то при розщепленні повинно бути 2l + 1 пучків (стільки можливих значень має число m). Таким чином, очікуване число смуг повинне бути завжди непарним. Для інших речовин в дослідах одержувались і більш складні картини розщеплення, ніж розглянуті, але розщеплення пучків було не обов’язково непарним, як того вимагає теорія. Отже в теорію необхідно було вносити корективи.

6.3. Спін

Досліди Штерна і Герлаха доказали квантування проекції магнітного моменту атома Mz . Однак розщеплення пучків в неоднорідному магнітному полі для різних речовин було не обов’язково непарним, як того вимагала теорія, але в багатьох випадках (а для водню, срібла та лужних металів завжди)

парним. До цього слід додати результати дослідів Ейнштейна і де Гааза, а також дослідів Барнета з визначення гіромагнітного відношення. Для заліза,

наприклад, виявилось, що гіромагнітне відношення дорівнює

Г M /L e/me, а не e/2me , тобто удвічі більше, чим того потребує теорія.

Нарешті виявилось, що спектральні терми лужних металів мають дублетну структуру, тобто складаються із двох близько розташованих рівнів.

Так, наприклад, характерна для натрію жовта лінія 3p 3s (головна лінія головної серії) складається із двох ліній із довжинами хвиль 5890 і 5896 Å.

Для опису такої структури термів трьох квантових чисел n, l, m виявилося недостатньо. Це послугувало головним мотивом для введення Уленбеком і Гаудсмітом в 1925 р. гіпотези про спін електрона. Суть гіпотези в тому, що у електрона є не тільки момент імпульсу й магнітний момент, які пов’язані з переміщенням частинки як цілого, а й власний, або внутрішній механічний

64

момент імпульсу, який і назвали спіном (to spin – обертатися). Відповідний йому магнітний момент назвали спіновим магнітним моментом. Ці моменти позначають, відповідно, через Ls і Ms. Спін частіше позначають просто через S.

В дослідах Штерна і Герлаха атоми водню знаходились у s-стані, тобто не володіли орбітальними моментами. Тому Уленбек і Гаудсміт припустили, що розщеплення пучку також зумовлене спіновим магнітним моментом. Те ж саме стосується і дослідів з іншими речовинами.

Самі Уленбек і Гаудсміт спочатку вважали, що спін виникає внаслідок обертання електрона навколо власної осі. Однак одразу ж зрозуміли неслушність такого класичного уявлення про спін. Паулі систематично ввів спін в квантову механіку, але виключив всяку можливість класичного тлумачення цієї величини. В 1928 р. Дірак показав, що спін електрона автоматично міститься в його теорії електрона, побудованій на релятивістському хвильовому рівнянні. В релятивістській теорії Дірака міститься також і спіновий магнітний момент електрона, причому для гіромагнітного відношення виходить значення, узгоджуване з дослідом. При цьому про внутрішню структуру електрона нічого не говорилося, він розглядався як точкова частинка із визначеним зарядом і масою.

Таким чином спін електрона виявився квантово-релятивістським ефектом, що не має класичного тлумачення. Потім концепція спіну була розповсюджена і на інші елементарні й складні частинки і знайшла підтвердження і широке застосування у сучасній фізиці.

В курсі загальної фізики немає можливості вдаватися в сувору теорію спіну. Приймемо як вихідне положення, що спіну S відповідає векторний оператор Sˆ, проекції якого Sˆx , Sˆy , Sˆz задовольняють тим же комутаційним співвідношенням, що й проекції орбітального моменту L:

SˆySˆz SˆzSˆy i Sˆx

SˆzSˆx SˆxSˆz i Sˆy

SˆxSˆy SˆySˆx i Sˆz

Із співвідношень комутації виходить, що визначені значення у одному і тому ж стані можуть мати квадрат повного спіну S2 й одна з його проекцій на визначену вісь, наприклад Sz.

Якщо максимальне значення Sz дорівнює s , то через квантове число s спін виражається формулою

65

де s – спінове квантове число, а проекція спінового механічного моменту на вибрану вісь може мати 2s+1 значення.

Досліди Штерна і Герлаха показали, що для будь-якого електрона

2s 1 2, звідси виходить, що для електрона s = 1/2.

Спін частинки може бути цілим або напівцілим. Для електрона квадрат

6.4. Тонка структура спектральних термів як результат

спін-орбітальної взаємодії

6.4.1. Атоми з одним зовнішнім електроном

Основною взаємодією між електроном атома і ядром є електростатична взаємодія їх зарядів. Але за рахунок руху електрона відносно ядра виникає додаткова взаємодія, зумовлена спіном електрона й зарядом ядра. Її називають

спін-орбітальною взаємодією. В існуванні такої взаємодії можна впевнитися наглядно, скористувавшись напівкласичною теорією атома водню Бора.

Перейдемо в ній в систему відліку, пов’язану з електроном. В такій системі ядро рухається й створює магнітне поле, що діє на спіновий магнітний момент Ms електрона. Оскільки заряди протона й електрона чисельно рівні і протилежні за знаком, ядро в рухомій системі відліку створює таке ж магнітне поле, як і електрон, що обертається навколо ядра в рухомій системі відліку в місці знаходження ядра. Тому спін-орбітальну взаємодію можна формально розглядати як взаємодію між спіновим і орбітальним моментами електрона.

Спіновий магнітний момент електрона Ms може орієнтуватися або вздовж орбітального моменту або протилежно. В першому випадку потенціальна енергія взаємодії електрона і ядра зменшується, у другому збільшується. Тому внаслідок спін-орбітальної взаємодії кожний енергетичний рівень атома розщеплюється на два підрівня. Виключенням є s-стан атома, коли

L 0 і спін-орбітальна взаємодія зникає.

66

Розщеплення енергетичного рівня внаслідок спін-орбітальної взаємодії називається тонкою структурою рівня. Сукупність підрівнів, на які розщеплюється рівень, називається мультиплетом. В залежності від числа підрівнів, із яких складається мультиплет, розрізняють дублети, триплети, квартети, квінтети. Прості рівні, які не розщеплюються на підрівні,

називаються синглетами. Такі ж терміни застосовуються і для сукупності спектральних ліній, що утворюються шляхом розщеплення однієї лінії.

Таким чином мультиплетність рівня визначається кількістю можливих орієнтацій спіну відносно орбітального моменту L. Проекції вектора S на виділений напрямок визначаються числом ms. Воно може приймати 2s + 1

значення (- s, …0, …s).

В атомах з одним валентним електроном спін S може бути орієнтованим або по L або проти. Отже проекція S на напрямок L для електрона може

імпульсу атома чисто спіновий.

Орбітальний і спіновий моменти є складовими повного моменту імпульсу електрона в атомі:

J L S .

Проекція повного моменту на вибраний напрям може приймати значення

Оператори проекцій повного моменту задовольняють тим же комутаційним співвідношенням, що й проекції орбітального моменту. Звідси виходить, що визначені значення в одному й тому ж стані можуть мати J2 і

одна з його проекцій на координатні вісі. А це означає, що

При заданому j можливі 2j+1 квантові стани, що відрізняються значеннями mj: mj = 0, ±1, ±2, …, ±j... (6.8)

Таким чином, стан зовнішнього електрона у водневоподібних атомах, а також взагалі у багатоелектронних атомах або іонах з одним валетним

67

електроном в квантовій механіці описується чотирма квантовими числами: n, l, ml, ms.

В спектроскопії для характеристики стану одноелектронного атома прийнято користуватись числами n, l, j, 2s + 1 і заміняти число l літерою у відповідності із таблицею 5.1. Спочатку пишуть чисельне значення числа n, за ним букву, що заміняє число l, число j пишуть праворуч від цієї букви у вигляді нижнього індексу, а в якості верхнього індексу ліворуч від тієї ж букви пишуть

число æ = 2s + 1, яке називається мультиплетністю рівня: næ(L)j.

У випадку атома з одним валентним електроном æ = 2.

Розглянемо, наприклад, стан 32S1/2 (три, дублет S1/2). В цьому стані n = 3, l = 0, s = 1/2, j = 1/2. Повний момент чисто спіновий. У формулі j l 1/2 знак

«-» необхідно виключити, оскільки тоді j < 0, отже стан чисто формально називають дублетом, тому що при l = 0 всі напрямки для орієнтації спіну відносно орбітального моменту рівноправні. По суті це синглет. Це стосується усіх s-станів.

Як другий приклад візьмемо стан 42d3/2 (чотири дублет d3/2). В цьому стані

чином, стан d дійсно є дублетом. Те ж саме справедливе для всіх інших станів: p, f, g (крім s).

Для квантового числа j діє правило відбору, відповідно до якого можливі

Величина тонкого розщеплення енергетичних рівнів для легких атомів не перебільшує 10-5 еВ і сильно зростає із збільшенням ядра. Для важких атомів вона може досягати десятих частин еВ, так що в цих випадках немає сенсу називати розщеплення «тонким» (нагадаємо для порівняння, що енергія іонізації атома водню становить 13,6 еВ).

Для повноти треба зауважити, що крім тонкої структури в спектрі водню і багатьох інших атомів спостерігається ще так звана «зверхтонка» структура.

Вона виникає внаслідок взаємодії магнітних моментів електронів із слабкими магнітними полями атомних ядер.

68

6.4.2.Багатоелектронні атоми

Увипадку багатоелектронних атомів кожний і-й електрон електронної оболонки атома можна було б характеризувати орбітальним Li і спіновим Si

векторами моменту імпульсу. Енергетична структура атома визначається попарною взаємодією усіх цих моментів. Однак дослід показує, що при розгляданні найбільш важливіших питань можна обійтися значно менш детальною характеристикою, об’єднуючи за визначеними правилами орбітальні й спінові моменти окремих електронів у групи. Які саме групи необхідно

зв’язок Саундерса-Рассела, запропонований американськими астрофізиками в

1925 р. Він здійснюється, коли електростатична взаємодія електронів велика порівняно із спін-орбітальною взаємодією. Це, як правило, має місце в не дуже важких атомах.

Нормальний зв’язок полягає в тому, що орбітальні моменти електронів додаються в результуючий орбітальний момент L, а спінові – у результуючий

Стан атома тоді характеризується векторами L, S і повним моментом імпульсу J , який залежить від кута між L і S :

J L S .

Векторам L,S,J відповідають квантові числа L, S, J, що визначають квадрати довжин цих векторів:

69

можуть приймати значення, що визначаються квантовими числами mL = 0, ± 1, ± 2, …, ± L.

mS = 0, ± 1, ± 2, …, ± S. (6.14) mJ = 0, ± 1, ± 2, …, ± J.

При визначенні L,S,J достатньо, звичайно, обмежитися тільки зовнішніми електронами, якщо внутрішні оболонки атомів цілком заповнені електронами, тому що повні моменти внутрішніх оболонок тоді дорівнюють нулю.

Для багатоелектронних атомів у випадку нормального зв'язку спектральні терми прийнято позначати символами, подібними до символів,

використовуваним для опису стану електрона у атомі:

æ(L)J .

Тут æ = 2S + 1– мультиплетність рівня, J – квантове число повного моменту, L –

символ стану, обумовленого квантовим числом результуючого орбітального моменту відповідно до таблиці 5.1, тільки застосовують великі латинські літери: S, P, D та ін. Наприклад, у стані 3Р1 L = 1, æ = 2S + 1 = 3, J = 1.

Для одноелектронних атомів, не зважаючи на те, що енергетичні стани електрона й атома збігаються, терми прийнято позначати, як і для багатоелектронних атомів, великими літерами.

У випадку, коли S ≤ L, число æ дає величину розщеплення рівня. Коли

S L, число компонент у розщепленому рівні визначається числом можливих проекцій L на більш довгий вектор S , тобто дорівнює 2L + 1. Правда, хоч і чисто формально, число 2S + 1 і в цьому випадку називають мультиплетністю рівня.

Наприклад, коли зовнішня оболонка атома складається із двох електронів, можливі два випадки:

1)спіни електронів спрямовані протилежно, тоді S = 0;

2)спіни електронів паралельні, тоді S =1.

Впершому випадку J = L, 2S + 1 = 1, тобто всі рівні синглетні. Відповідно різним значенням L утворюються рівні:

70