Системы и методы принятия решений_зачет

Вариант 13

4 МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ (МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОЙ ИЕРАРХИИ)

4.1 Теоретические положения

Одним из эффективных решений многокритериальных задач в сложной обстановке с иерархическими структурами, включающими как осязаемые, так и неосязаемые факторы, является метод анализа иерархий (МАИ, англ. Analytic Hierarchy Process, AHP), разработанный Т. Саати.

Для задач, решаемых МАИ, обычно дано: общая цель (или цели) решения задачи; критерии, по которым оцениваются альтернативы; альтернативы. Как правило, требуется выбрать наилучшую альтернативу или произвести их упорядочивание.

Использование МАИ предполагает реализацию совокупности этапов.

1.Структуризация задачи в виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – критерии – альтернативы.

2.Формирование матриц попарных сравнений и вычисление оценочных коэффициентов для элементов каждого уровня. При этом проверяется согласованность суждений ЛПР.

3.Подсчитывается количественный индикатор качества каждой из альтернатив и определяется наилучшая альтернатива или проводится их сортировка по этому значению.

«5» – A значительно важнее B; «7» – A явно важнее B;

«9» – A по своей значительности абсолютно превосходит B.

Значения «2», «4», «6», «8» используются для облегчения компромиссов между слегка отличающимися от основных чисел суждениями.

Матрица попарных сравнений является обратно-симметричной, то есть если в позиции (ячейке матрицы) с номерами ij расположено значение pij, то в ячейке матрицы с номером ji должна располагаться обратная величина равная 1/pij.

По соглашению матрица сравнения формируется путем сравнения объекта, расположенного в строке, по отношению к объекту, расположенному в столбце. То есть для примера, приведённого в табл. 4.1, объект А значительно важнее объекта В, соответственно значение ячейки таблицы парных сравнений 1-ой строки и 2-ого столбца равно «5».

При сравнении элемента с самим собой имеем равную значительность, так что на пересечении строки A со столбцом A в позиции (А, А) заносим 1.

Заносим соответствующие обратные величины: 1, 1/3, ..., или 1/9 на пересечениях столбца A и строки B, т. е. в позицию (В, A) для обратного сравнения B с A.

Вычисление вектора приоритетов по матрице попарных сравнений в математических терминах – это вычисление главного собственного вектора, который после нормализации становится вектором приоритетов.

Грубые оценки значения главного собственного вектора можно получить следующими четырьмя способами:

величин (пример расчета в табл. 4.3).

Способ 3. «Обратные величины». Разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца (т. е. нормализовать столбец), затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на чи-

34 СМПР (методические указания)

индексы согласованности. Для его расчета умножим матрицу сравнений справа на полученную оценку вектора решения, получим новый вектор (табл. 4.6). Разделив первую компоненту этого вектора на первую компоненту оценки вектора решения, вторую компоненту нового вектора на вторую компоненту оценки вектора решения и т. д., определим еще один вектор.

Таблица 4.6

Пример расчетов для индекса согласованности

Разделив сумму компонент этого вектора на число компонент, найдем приближение к числу max , называемому максимальным или главным собственным значением и используемому для оценки согласованности, отра-

жающей пропорциональность предпочтений. Чем ближе max к n (числу объектов в матрице), тем более согласован результат.

Индексом согласованности (ИС) назовем величину ( – n) / (n–1).

Случайным индексом (СИ) назовем индекс согласованности, рассчитанный по данным оценок, которые сгенерированы случайным образом по шкале от 1 до 9.

В школе Уортона сгенерировали средние случайные индексы для матриц порядка от 1 до 15. Использовались 500 величин случайной выборки в матрицах порядка до 11х11, а для n=12, 13, 14, 15 на базе 100 случайных выборок.

Отношение согласованности (ОС) – это отношение индекса согласованности (ИС) к среднему случайному индексу (СИ) для матрицы того же порядка: ОС=ИС/СИ.

В табл. 4.6 приведен пример расчета max , проведем расчет приближенного значения индекса согласованности и его анализ по отношению согласованности.

ИС=( max – n) / (n–1)=(4.39–4)/(4–1)=0,130088 СИ=0,9, ОС= ИС/СИ =0,130088/0,9=0,144542

Значение ОС ≤ 0,1, считается приемлемым.

4.2 Варианты индивидуальных заданий

З А Д А Н И Е . Пусть дано (в виде таблиц попарного сравнения) критерии оценки дома и варианты (альтернативы) доступные для покупки. Используя метод анализа иерархий, упорядочить альтернативы от наилучшей к наихудшей.

В ходе решения необходимо применить два способа грубой оценки значения главного собственного вектора:

одно решение с применение Способа 4. «Среднегеометрическое значение по строке»;

другое решение с применением: или Способа 1. «Суммы по строкам»

или Способа 2. «Суммы по столбцам» или Способа 3. «Обратные величины».

36 СМПР (методические указания)

Вариант 1

Задание «Покупка дома»: матрица парных сравнений по критериям

Задание «Покупка дома»: матрица парных сравнений оценки альтернатив: А, Б, В