Правильные рассуждения

Рассуждения называют правильными, если из конъюнкции посылок следует заключение, т.е. всякий раз, когда все посылки истинны, заключение тоже истинно.

Пусть посылки,заключение. Тогда для определения правильности рассуждения по схеме, т.е. утверждения о том, что из данных посылокследует заключение, требуется установить тождественную истинность формулы.

Распространенными схемами правильных рассуждений являются следующие схемы: .

Рассмотрим условное высказывание вида , гдеконъюнкция посылок,заключение. Иногда удобнее вместо доказательства истинности этого условного высказывания установить логическую истинность некоторого другого высказывания, равносильного исходному. Такие формы доказательства называютсякосвенными методами доказательства. Одним из них является рассмотренный выше способ доказательства от противного.

Перечислим наиболее важные тавтологии (произвольные формулы):

1. (закон исключения третьего);

2. ; 3.;

4. (цепное рассуждение);

5. ;

6. ; 7.;

8. ; 9;

10. (закон Пирса).

Задачи для самостоятельного решения

1. Среди следующих предложений выделить те, которые являются высказываниями и установить, истинны они или ложны:

а) число очень мало ;

б) существует ли в произвольном треугольнике точка равноудаленная от его сторон?

в) около всякого выпуклого четырехугольника можно описать окружность;

г) существуют внеземные цивилизации;

д) каждое целое число является и числом рациональным;

е) для произвольных множеств иверно, что;

ж) ; з); и);

к) сумма углов треугольника равна .

2. Для каких натуральных чисел предикатистинен:

а) ; б)?

3. Для каких действительных предикат{числаявляются сторонами некоторого треугольника} истинен?

4. Записать с помощью кванторов следующие высказывания и указать, если это возможно, какие из этих высказываний истинны, а какие ложны:

а) сумма любых двух натуральных чисел больше первого слагаемого;

б) полугруппа имеет левую единицу;

в) некоторое кратное любого натурального числа делится на сумму двух заданных натуральных чисел;

г) любой элемент полугруппы делится слева и справа на квадрат самого себя;

д) квадрат любого натурального числа делится на 3 или на 5;

е) каждый элемент имеет не более двух левых делителей.

5. Записать символически следующие высказывания, включив в кванторы указание множества значений переменных:

а) в множестве натуральных чисел есть наименьшее;

б) в множестве натуральных чисел нет наибольшего;

в) любые два рациональных числа либо равны друг другу, либо одно из них больше другого.

6. Сформулировать отрицание следующих высказываний:

а) Все люди хорошие.

б) В любом издательстве среди книг, выпущенных им в 2000 году, найдется такая, в которой есть страница, содержащая более двух опечаток.

в) В каждом учебном округе г. Москвы есть школа, в которой есть класс, все ученики которого любят ходить в походы.

7. Построить отрицание высказываний:

а) ; б);

в) ;

г) .

8. Сколько имеется различных коммутативных двуместных логических операций?

9. По мишени произведено три выстрела. Что означает следующее высказывание, записанное в символической форме ({мишень поражена при-м выстреле},):

a); б); в);

г) ?

10. Построить таблицы истинности для следующих формул:

а) ; б);

в) ; г);

д) .

11. Какие из высказываний должны быть истинными и какие ложны, чтобы высказываниебыло истинным?

12. Доказать свойства операций 1-7 (стр. 9).

13. Выразить (т.е. найти равносильные формулы) эквиваленцию и импликацию через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание.

14. Выразить основные операции через

а) конъюнкцию и отрицание; б) дизъюнкцию и отрицание;

в) импликацию и отрицание.

15. Выразить дизъюнкцию через импликацию.

16. На вопрос, кто из трех студентов изучал логику, был получен правильный ответ: если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий. Кто из студентов изучал логику?

17. Определить, кто из четырех студентов сдал экзамен, если известно, что:

1) если первый сдал, то и второй сдал;

2) если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал;

3) если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал;

4) если четвертый сдал, то и первый сдал.

18. Назовем операциями Шеффера следующие операции:

.

Выразить через них отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию.

19. Найти СДНФ и СКНФ импликации и эквивалентности.

20. Построить формулу от трех переменных, которая:

а) принимает истинное значение тогда и только тогда, когда ровно две переменные ложны;

б) принимает такое же значение, как и ее большинство переменных.

21. Один логик попал в плен к дикарям и был заключен в темницу, имеющую два выхода. Вождь дикарей предложил пленнику следующий шанс на спасение: “Один выход ведет на свободу, а другой на верную смерть. Ты можешь избрать любой. Сделать выбор тебе поможет мой стражник. Он останется здесь, чтобы ответить на один твой вопрос – любой, какой ты пожелаешь ему задать. Но я предупреждаю тебя: если у этого стражника хорошее настроение, то он говорит правду, если же у него настроение плохое, то он лжет!” После минутного размышления сообразительный логик задал один вопрос, после чего безошибочно выбрал тот выход, который вел на свободу. Что это был за вопрос?

22. В уставе одного клуба записаны следующие правила: 1) финансовый комитет должен быть избран из состава общего комитета; 2) никто не может быть одновременно членом и общего, и библиотечного комитетов, если он не входит при этом в финансовый комитет; 3) никто из членов библиотечного комитета не может быть в финансовом комитете. Упростите эти правила.

23. Брауну, Джонcу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники были на синем «Бьюике»; Джонс сказал, что это был черный «Крайслер», а Смит утверждал, что это был «Форд Мустанг» и ни в коем случае не синий. Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них правильно указал либо только марку машины, либо ее цвет. Какого цвета был автомобиль и какой марки?

24. На вопрос, кто из трех учащихся изучал логику, был получен правильный ответ: если изучал первый, то изучал и второй, но неверно, что если изучал третий, то изучал и второй. Кто из учащихся изучал логику?

25. Разбирается дело Иванова, Петрова и Сидорова. Один из них совершил преступление. На следствии каждый из них сделал два заявления. Иванов: «Я не делал этого. Сидоров сделал это». Петров: «Сидоров не виновен. Иванов сделал это». Сидоров: «Я не делал этого. Петров не делал этого». Суд установил, что один из них солгал дважды, другой – дважды сказал правду, третий – один раз солгал, один раз сказал правду. Кто совершил преступление?

26. Доказать приведенные выше тавтологии 1-10.

27. В каждом из пунктов сформулировать теорему и обратную к ней теорему; укажите, в каких случаях обратная теорема верна:

а) {четырехугольникявляется ромбом },{диагонали четырехугольникаделят его углы пополам};

б) {натуральное числоделится на 9},{сумма цифр числаделится на 3}.

28. Записать, приведенные ниже теоремы в символической форме и сформулировать для них обратные, противоположные и обратные противоположным. Для этих теорем построить отрицания. Указать, какие из теорем истинны.

а) Если четырехугольник – параллелограмм, то его диагонали делят друг друга пополам.

б) Если сумма цифр десятичной записи натурального числа делится на 5, то это число делится на 5.

в) Если прямая параллельна прямой, а прямаяпараллельна прямой, то прямаяпараллельна прямой.

29. Являются ли правильными следующие рассуждения?

а) Если число простое, то оно нечетное. Число 5 нечетное. Следовательно оно простое.

б) Если человек занимается спортом, то он никогда не болеет. Петр занимается спортом. Следовательно, Петр никогда не болеет.

в) Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал Смита этой ночью, и убийство имело место после полуночи. Если убийство было совершено после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Следовательно Смит был убийцей.

30. Пусть формула не содержит никаких логических символов, кроме. Доказать, чтоявляется тождественно истинной тогда и только тогда, когда каждая переменная входит вчетное число раз.

31. Пусть формула не содержит никаких логических символов, кромеи ¬. Доказать, чтоявляется тождественно истинной тогда и только тогда, когда каждая переменная и символ ¬ входят в нее четное число раз.

Ответы

1. а)Не является;б)не является;в)ложно;г)не является;д)истинно;е)истинно;ж)не является;з)не является;и)ложно;к)считается истинным в геометрии Евклида и ложным в геометрии Лобачевского.

2. а);б) .3. 4. а)истинно;б);в)истинно;г);д) ложно;е).5. а) ;б) ;в).6. а)Существует хотя бы один плохой человек.

б)Существует издательство такое, что во всех книгах, выпущенных в нем в 2000 году, на каждой странице имеется не более двух опечаток.

в)Существует учебный округ такой, что во всех его школах и всех классах есть хотя бы один ученик, который не любит ходить в походы.7. а);б) ;

в);г).8.8.9. а)мишень поражена по крайней мере одним выстрелом;б)все выстрелы поразили мишень;в)из первых двух выстрелов хотя бы один не поразил мишень, а третий поразил мишень;г)мишень поражена одним и только одним выстрелом.11.Высказывание тождественно истинно.13.,.14. а);б),в).

15..16.Второй студент.17.Все сдали.18.;.19.СДНФ:,СКНФ:,.20.а);

б).21.“Верно ли, что первый выход ведет на свободу и у тебя сейчас хорошее настроение или первый выход ведет к смерти и у тебя сейчас плохое настроение?”Указание.Построить СДНФ искомого высказывания.22.1) Финансовый комитет должен быть избран из состава общего; 2) никто из библиотечного комитета не должен входить в общий. 23.Черный «Бьюик».24.Третий учащийся изучал логику.25.Сидоров.29.а)нет;б)да;в)нет.

9