Операции над высказываниями
Выше были рассмотрены простейшие высказывания. Из простых высказываний при помощи так называемых логических связок (союзов “и”, “или”, слов “если ...,то”, “тогда и только тогда, когда...”, и других) можно образовывать новые сложные высказывания.
1. Дизъюнкцией(илилогической суммой) двух высказыванийиназывается высказывание (обозначается), истинное в случае, если хотя бы одно из высказыванийиистинно. Дизъюнкция читается “или” и соответствует союзу “ИЛИ”.
2.Конъюнкцией(илилогическим произведением) двух высказыванийиназывается высказывание (обозначаетсяили), истинное тогда и только тогда, когда оба высказыванияиистинны. Конъюнкция читается “и” и соответствует союзу “И”.
3.Эквиваленциейдвух высказыванийиназывается высказывание (обозначаетсяили), истинное тогда и только тогда, когда оба высказыванияиодновременно истинны или ложны. Читается “эквивалентно” и выражается словом “ЭКВИВА-ЛЕНТНО”.
4.Импликациейдвух высказыванийиназывается высказывание (обозначаетсяили, или;называетсяпосылкой,заключением), ложное в том и только том случае, когда посылка истинна, а заключение ложно. Читается “изследует”, соответствует слову “СЛЕДУЕТ”.
Символы, обозначающие логические операции, называются логическими связками.
Для любых высказываний истинность или ложность их суммы, произведения, эквивалентности и импликации определяется в соответствии с таблицей, называемой таблицей истинности логических операций, в которой приведены значения сложного высказывания, в зависимости от значений высказыванийи.
Таблица истинности логических операций.
| ||||||||
И |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
Л | |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
И | |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
И |
| ||
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
|
Из таблицы истинности для импликации видно, что если посылка и импликацияистинны, то истинно и заключение. В этом случае пишути говорят, что изследует. Если же изследует, а изследует, то высказыванияиназываютравносильнымии обозначают.
Два высказывания равносильны,если их таблицы истинности совпадают. Например, высказыванияиравносильны. Убедимся в этом, построив их таблицы истинности:
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
И |
Л |
Л |
И |
И |
С помощью введенных операций из элементарных высказываний строятся сложные высказывания, например:
.
Такие выражения называются логическими формулами. Каждая из них может принимать определенное значение истинности и, будучи обозначена одной буквой, может быть рассмотрена как элементарное высказывание.
Тождественно истинные высказывания – высказывания истинные всегда, независимо от того, истинны или ложны составляющие их высказывания. Тождественно истинное высказывание иначе называюттавтологией.Тождественно ложные высказывания – высказывания ложные всегда, независимо от истинности или ложности составляющих их высказываний. Тождественно ложное высказывание иначе называютпротиворечием. Тождественно истинные и тождественно ложные высказывания обозначаются буквами(true) и(false) (по-русски: И и Л) соответственно (или цифрами 1 и 0).
Истинность или ложность сложного высказывания, образованного при помощи нескольких логических операций, можно установить, построив таблицу истинности сложного высказывания, последовательно используя таблицы истинности логических операций.