Предисловие

Дискретная математика лишь в последнее время стала включаться в программу технических вузов, хотя необходимость владения ею современным инженером несомненна. Роль дискретной математики особенно велика для инженеров, работающих в области вычислительных устройств и автоматизированных систем управления.

В МИЭТ дискретную математику изучают студенты нескольких групп факультета МПиТК, а также факультетов ЭКТ, ИМЭ.

Данная книга соответствует курсу дискретной математики, читаемому в 4-м семестре студентам факультета МПиТК, и написана на основе опыта преподавания авторами этого предмета. Авторы считают, что ее использование в полном или частичном виде возможно и на других факультетах.

Книга содержит элементы математической логики (алгебру высказываний, высказывания с кванторами, предикаты), теорию булевых функций, теорию графов (включая потоки в сетях), автоматов, а также машины Тьюринга и рекурсивных функций. Не включены комбинаторика и теория кодирования. Комбинаторика изучается студентами факультета МПиТК в 5-м семестре в курсе теории вероятностей, а теория кодирования – в курсах лекций, читаемых кафедрой ИПОВС.

Авторы старались облегчить усвоение материала, снабжая изложение многочисленными примерами и разбирая типовые задачи. Кроме того, в каждой главе имеется большое количество упражнений для самостоятельного решения, к большинству из которых приведены ответы или указания.

Глава 1. Элементы алгебры высказываний и булевой алгебры §1.1. Высказывания

Высказываниемназывается некоторое повествовательное утверждение, про которое можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например,{число 50 делится на 10} – истина;{50 больше 100} – ложь.

Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (закон исключения третьего).

Никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным (закон противоречия).

Отрицанием высказывания(обозначаетсяили) называется высказывание, утверждающее, что высказываниене выполняется. Отрицание высказывания можно получить, сказав: “утверждениене имеет места” или “не выполняется”. Определяющим словом здесь является частица“НЕ”.

Каково бы ни было высказывание , из двух высказыванийи одно является истинным, а другое ложным.

Высказывание ) (или) называется двойным отрицаниемвысказывания. Имеет место равенство) =(закон двойного отрицания).

Повествовательное утверждение, зависящее от некоторой переменной и становящееся при конкретных значенияхвысказыванием, называетсянеопределенным высказыванием (илипредикатом). Неопределенное высказывание выражает некоторое свойство переменной.

Примеры предикатов. Пусть,,делится на 4},{любой-угольник можно разрезать на треугольники}. Здесьистинно,ложно,ложно,истинно,истинно,не имеет смысла.

Для неопределенного высказывания можно построить таблицу истинности. В таблице для конкретных значений переменнойуказывается, истинно высказывание или ложно при этом. Например,{числоделится на 3} истинно при любом, кратном 3, в

противном случае ложно.

Таблица истинности для предиката

Ложь	Л	Истина	Л	Л	И	Л

Аналогично предикатам от одной переменной определяются предикаты от нескольких переменных: ,и т.д.

Для предиката можно построить высказывания “” и “” (читается: “для любогоимеет место” и “существует такое, что имеет место”). Первое из них считается истинным в том и только том случае, когдаверно при всех, второе – когдаверно хотя бы при одном. Символы “” и “” называютсяквантором всеобщности иквантором существованиясоответственно. Квантор всеобщности заменяется в словесных формулировках словамивсякий, каждый, любой, все.Квантор существования заменяется в словесных формулировках словамисуществует, найдется, какой-нибудь, хотя бы один.

С помощью кванторов можно образовывать также новые предикаты: если – предикат, то, например,

–предикат от ,

–высказывание.

Выражения, содержащие кванторы, можно преобразовывать. Например, перестановка двух рядом стоящих одинаковых кванторов приводит к равносильному высказыванию:

;

.

Изменение же порядка следования кванторов существования и всеобщности друг с другом искажает смысл высказывания и может привести к изменению значения истинности. Так, например, на множестве натуральных чисел высказывания

(1) – истинно,

(2) – ложно.

Во многих вопросах математики возникает необходимость строить отрицание высказывания, выраженного с помощью кванторов.

Отрицания высказываний “” и“”.

Имеет место равенство . Действительно, утверждение“неверно, что для всех” – это то же самое, что “для какого-нибудьне”. Аналогично справедливо равенство, так как утверждение“неверно, что существует, для которого” равносильно следующему: “для всехне”. Таким образом, чтобы построить отрицание высказывания, содержащего кванторы, надо кванторы заменить на, ана, а утверждение, стоящее под знаком кванторов, заменить на противоположное.

Пример. 

.