Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владивостокский государственный университет экономики и сервиса

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс лекций по высшей математике. 2 часть

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

4.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Тогда

4x 3 x2

20 x 1 52 x 3

4x 5

x 3

4x 15

x 1

130

Вычислим

последний

интеграл,

введя

новую

переменную:

x 2

x z

dz;

4x 15

4z 7

dz 2

d z 2

2ln z 2 1

x 2 2

z 2

7 arctg z

2 ln

7 arctg x

x 3

Следовательно,

4x 3 x2

4x 5

ln x2 4x

arctg x

130

§4. Интегрирование тригонометрических функций

1.Интегралы

вида

sin kx sin mxdx,

sin kx cos mxdx,

cos kxcos mxdx вычисляются преобразованием произведения триго-

нометрических функций в сумму по формулам:

	sin kx sin mx					1				cos k				m x	cos k	m x			,
	sin kx sin mx					2				cos k				m x	cos k	m x			,
						2
	sin kx cos mx						1				sin k			m x	sin k	m x			,
	sin kx cos mx					2					sin k			m x	sin k	m x			,
						2
	cos kx cos mx							1			cos k			m x	cos k		m x .
	cos kx cos mx					2					cos k			m x	cos k		m x .
						2
Например,
sin 3x				cos 5xdx	1				sin				2x sin 8x dx					1	sin 2xdx				1	sin 8xdx
sin 3x				cos 5xdx	2				sin				2x sin 8x dx			2			sin 2xdx				2	sin 8xdx
					2											2							2
	1		1	sin 2xd 2x							1	1		sin8xd 8x		1	cos 2x				1	cos 8x		C.
2		2		sin 2xd 2x					2			8		sin8xd 8x		4	cos 2x			16		cos 8x		C.
2		2							2			8				4				16

2.Интегралы вида cos m x sinn xdx , где m или n– нечетное положи-

тельное число, вычисляются подведением под знак дифференциала. Например,

cos3 x

sin 2 x

cos 2 x

cos xdx

d sin x; cos 2 x 1 sin2 x

sin x

sin2 x

sin

2 x 1

d sin x

sin 2

xd sin x

sin 2 xd sin x

2 sin 2 x

sin 2

sin5 x C.

x C

sin x

3.Интегралы вида cos m x sinn xdx , где m и n–четные положи-

тельные числа, вычисляются с помощью формул понижения степени:

	sin	2	1	1		cos 2					; cos 2								1			1			cos 2				; sin						cos				1		sin 2 .
	sin		2	1		cos 2					; cos 2							2				1			cos 2				; sin						cos			2			sin 2 .
			2															2																				2
	Например,
								1							2						1											1			1
sin2 3x cos 2 3xdx								1		sin 6x						dx					1				sin2 6xdx							1			1	1		cos12x dx
sin2 3x cos 2 3xdx								2		sin 6x						dx		4							sin2 6xdx					4				2		1		cos12x dx
								2										4												4				2
1	dx	1	cos12dx						1	x	1				1		sin12x									C		x		sin12x							C.
	dx		cos12dx							x							sin12x									C											C.
8		8						8			8				12												8			96
	4.Интегралы						tg m xdx, сtg m xdx, где m N, вычисляются заменой
переменной: tg x						z, x				arctg z, dx														dz			или сtg x							z,

																		1							z	2
																		1							z
	x	arcctg z, dx								dz			.

								1			z	2
								1			z
	Например,
	tg 3 xdx				z3dz					неправильн ая дробь																			z3					z		z	dz			z z 2		1	dz
	tg 3 xdx						z 2			неправильн ая дробь																								z 2			dz						dz
					1		z 2																							1				z 2				1				z 2
							zdz				zdz					1		d 1							z 2			z 2			1		ln 1				z 2	C
					1		z 2				zdz				2			1							z 2		2			2			ln 1				z 2	C
					1		z 2								2			1							z 2		2			2
												1		tg 2 x						1			ln 1				tg 2 x				C.
												2		tg 2 x				2					ln 1				tg 2 x				C.
												2						2

5.Интегралы вида R sin x,cos x dx сводятся к интегралам от ра-

циональных дробей с помощью универсальной тригонометрической

подстановки tg 2x

		cos x					1	z2
		cos x				1		z2
						1		z2
ля
						2 tg		x
			x
cos	2		x	]=				2
cos		2		]=	1		tg 2		x
					1		tg 2
								2

Например,

z , тогда x

2arctg z, dx

2dz

, sin x

1 z 2

1 z2

2 sin

cos

(т.к. sin x

=[после деления числите-

cos 2

sin2

знаменателя

на

cos 2

sin2

tg 2

; cos x

cos 2

sin2

tg 2

2dz


			dx								1		z	2					2		dz
											1		z
8		4 sin x 7 cos x					8			4	2z			7	1		z 2			8	8z 2 8z		7	7z 2
8		4 sin x 7 cos x									2z				1		z 2			8	8z 2 8z		7	7z 2
												z 2					z 2
										1		z 2			1		z 2
			dz						d z 4						1			z 4		1		tg	x	5
																							x
																							2

2						2								2			ln				C ln				C.
2		z2 8 z 15				2		z 4 2			1			2		2	ln	z 4 1			C ln	tg	x	3	C.
																						tg	2	3
	Следует заметить, что использование универсальной подстановки
нередко приводит к громоздким выкладкам.
	§5. Интегрирование простейших иррациональностей
	Рассмотрим методы интегрирования простейших видов иррацио-
нальностей.
	1.			ax	b dx			.Функции такого вида интегрируются так же, как


				mx2
				mx2	nx		p

простейшие рациональные дроби 3–го типа: в знаменателе из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат и вводится новая переменная.

Пример.

1 dx

3 2x x2

2x 3

x 1 2

4 4 x 1 2 ; x 1 z,

x z 1, 2x 1 2z 2 1 2z 3, dx dz

3 dz

2zdz

2 d 4

3 arcsin

x, n

dx (под знаком интеграла–рациональная функция

аргументов

). Интегралы такого вида вычисляются с помо-

щью

замены

z n .

частности,

интегралах

вида

z n . Если подынтегральная функ-

R x, n ax

b dx обозначают ax

ция содержит корни разных степеней:

R x, m ax

b, k ax

b dx , то

обозначают ax

z n , где n– наименьшее общее кратное чисел m,k.

Пример 1.

z 2 , x

z 2

2zdz

9, dx

2zdz,

z 2

9 z

x x

z 3

x 9 3

2 3

z 3

x 9 3

Пример 2.

6 x

6 ,dx

6z5dz,6 x

z,3 x

z 2 , x

1 z 6z5dz

z 2 dz

z 2

–неправильная рациональная дробь, выделим целую часть:

–

z 3

z 2

z 3

–

z 2

– z

Получим

6 zdz

zdz

6 z

z 2

ln z2

6 arctg z

3 ln 3

6 arctg 6 x

3.Интегралы

вида

R x,

x2 dx,

R x,

dx,

R x,

вычисляются с помощью тригонометрических под-

становок:

a 2

dx; x

a sin z; dx

a сos zdz;

a2 sin2 z

1 sin2 z

a cos z.

adz

;

dx;

a tg z; dx

cos 2 z

a2 tg 2 z a 1 tg

2 z

cos z

a sin zdz

;

dx; x

; dx

cos z

cos

cos 2 z

a sin z

a tg z.

cos z

cos

Пример 1.

tg z,dx

, 1

cos 2 z

cos z

cos 4 zdz

cos zdz

sin

4 zd sin z

cos z

tg 4 z

cos 2 z

sin4 z cos3 z

sin4

sin

3 z

3 sin3 z

tg 3 x

cos3 x

x2 3

1 x2

3x3

Пример 2.

x2 dx

2 sin z,dx

2 cos zdz,

2 cos z

4 sin2 z 2 cos z

2 cos zdz

sin2 z

cos2 zdz

sin2 2zdz

cos 4z dz

2 cos 4zdz

sin 4z

sin 2z

cos 2z

2z 2 sin z

cos z 1 2 sin2 z

2 arcsin

4 x2 2

ГЛАВА 3

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть	y f x –	непрерывная положительная функция,								заданная
на отрезке	a,b . Фигура, ограниченная кривой						y	f x , прямыми x=a
и x=b и осью ОХ, называется криволинейной трапецией (рис.1).
					Поставим перед собой задачу вы-
y	y	f	x	числить площадь криволинейной тра-
				пеции. Для этого разобьем отрезок
				a,b произвольным образом на n час-
				тей. Абсциссы точек деления обозна-
				чим	a	x0	x1	x2	xn 1 xn		b .
				Получим		n		малых		отрезков
				x0;x1 , x1;x2 , ,				xn 1;xn . Обозначим их
0 a		b	x	длины соответственно					x1 ,	x2 ,...,	xn
	Рис. 1			xi	xi	xi-1 .

Проведя через точки деления прямые, параллельные оси OY, мы разобьем криволинейную трапецию на n малых криволинейных трапеций. Площадь всей криволинейной трапеции S равна сумме площадей всех малых криволинейных трапеций

(рис.2):

	n
S ΓS1 ΓS2 ΓSn , или S	ΓSi
	i 1

y f x

0 x0=a ξ1 x1 ξ2 x2

xn-1 ξn b=xn

Но вычислить площади малых криволинейных трапеций не проще, чем площадь большой. Поэтому поступим следующим образом. В каждом из от-

резков	xi 1; xi	выберем
произвольную		точку
ξi xi 1	ξi xi	и каждую

	Рис. 2	малую	криволинейную
		трапецию заменим прямо-
угольником с тем же основанием xi 1; xi		и высотой,	равной f ξi .
Получим Si	f ξi xi – площадь каждой малой		криволинейной

трапеции приближенно равна площади прямоугольника, а площадь всей криволинейной трапеции приближенно равна площади получившейся

	n
ступенчатой фигуры: S	f ξi xi
i	1

Очевидно, чем меньше длины отрезков xi , тем меньше погреш-

ность этого приближенного равенства, поэтому естественно за точное значение площади криволинейной трапеции принять предел площадей ступенчатых фигур при условии, что наибольшая из длин отрезков разбиения стремится к нулю (следовательно, число отрезков разбиения n стремится к бесконечности):

		n
S	lim	f i xi	(1)
	n	0 i 1
	max x	0 i 1
	i

§2. Определение определенного интеграла

К нахождению предела сумм, аналогичных сумме (1), приводит целый ряд задач естествознания. Поэтому вполне естественно изучить этот процесс независимо от конкретного содержания задачи.

Пусть на отрезке

a,b

задана функция y f

. Выполним сле-

дующие действия.

1.С помощью точек деления

...

xn 1

разобьем отрезок

a,b

на

“малых”

отрезков

x0;x1 ,

x1;x2 , , xn 1;xn ,

где

a, xn

b .

2.В каждом из малых отрезков

xi 1; xi

1, 2, ..., n выберем

произвольную точку

ξi ,

xi 1

ξi

xi ,

и умножим значение функции

в точке

i на длину

xi 1

соответствующего отрезка:

ξi

xi .

3.Составим

сумму

ζn

всех

таких

произведений:

ζn

ξ1

f ξ2 x2

ξn

xn , или

ζn

ξi

(2)

i 1

Сумма вида (2) называется интегральной суммой для функции

на отрезке

a,b .

4.Наибольшую

из

длин

малых

отрезков

обозначим

max

x1, x2 , ,

и назовем ее шагом разбиения. Пусть число

отрезков разбиения неограниченно растет									n	и	0 . Если при
этом интегральная сумма ζ n						имеет конечный предел, который не зави-
сит ни от способа разбиения отрезка							a,b		на малые отрезки, ни от вы-
бора точек	i	в каждом из них, то этот предел называется определенным
	i
											b
интегралом от функции					f x	на отрезке		a,b и обозначается f x dx.
											a
			b			n
Таким образом,				f	x dx	lim	f	ξi	xi.
			a			λ 0 i 1
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним преде-
лами интегрирования,				f	x – подынтегральной функцией, x – перемен-
ной интегрирования,				a,b – отрезком интегрирования (или областью
интегрирования).
Функция f x ,			для которой на отрезке						a,b	существует определен-
		b
ный интеграл		f	x dx,		называется интегрируемой на этом отрезке.

Имеет место теорема существования определенного интеграла. Всякая непрерывная на отрезке a,b функция интегрируема на

этом отрезке.

Возвращаясь к §1, отметим факт, выражающий геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции численно равен площади криволинейной

трапеции, ограниченной кривой y		f x ,		прямыми x a и x b и
	b
осью OX.	f	x dx		Sкр.тр.
	a
Замечания.
1.Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной
b	b	b
интегрирования: f x dx	f z dz	f	t dt и т.д.
a	a	a
		a
2.Будем полагать по определению:			f	x dx 0

3.При введении понятия определенного интеграла мы полагали

				b		a
a b . В случае b	a примем по определению: f				x dx	f	x dx
				a		b
§3. Свойства определенного интеграла
b		b	b
1. f x g x	dx	f x dx	g x dx
a		a	a
					b		b
		y	f	2.	kf x dx	k	f x dx,
		y	f		a		a
					a		a

где k=const.

0	a	c	b	x
		Рис. 3
3.Если отрезок интегрирования				a,b разбит на две части a,с и
	b	c	b
c,b , то	f x dx	f x dx	f x dx	– свойство аддитивности.
	a	a	c

y f

Рис. 4

f x g x , то

Геометрически это значит, что площадь криволинейной трапеции с основанием a,b равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями a,с и c,b (рис.3).

4.Если	на	отрезке	a,b
	b
f x 0, то	f	x dx 0.
	a
5.Если	на	отрезке	a,b

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.2015116.32 Кб14кречмер.docx
#
15.03.2016121.86 Кб49КСЕ Тезаурус 2009 г..doc
#
15.03.2016614.4 Кб136КСЕ. Конспект лекций.Часть_1.doc
#
15.03.2016334.85 Кб46КСЕ. Конспект лекций.Часть_2.doc
#
13.04.20153.69 Mб175Курс лекций по высшей математике. 1 часть.pdf
#
13.04.20154.24 Mб76Курс лекций по высшей математике. 2 часть.pdf
#
01.07.2025626.69 Кб1курсач 3курс - копия.docx
#
13.09.2019254.49 Кб42Курсач.rtf
#
17.09.20192.13 Mб30КУРСОВАЯ ВАСИЛЬЕВА.doc
#
13.04.201576.55 Кб105курсовая живопись Ямаева.docx
#
01.07.20254.16 Mб0Курсовая квартира2.docx