П.2. Сущность теоремы Чебышева и ее значение для практики

Хотя отдельные случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значение, близкое к константе . Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое значение примет каждая случайная величина, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины.

На теореме Чебышева основан применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят обо всей совокупности исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка судят по небольшому пучку, состоящему из волокон, отобранных наудачу из разных мест кипы; о качестве зерна судят по небольшой его пробе и т.д.

§3 Теорема Бернулли

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события А постоянна, то вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по модулю будет меньше , больше, чем разность , т.е.

1. В условиях теоремы

2. Из теоремы не вытекает, что с ростом числа испытаний относительная частота стремится к вероятности, т.е. не вытекает равенство :. В ней говорится лишь о вероятности того, что при большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

	Условие	р	q		n
1	Найти вероятность того, что частота появления шестерки в 10000 независимых подбрасываниях игрального кубика отклоняется от вероятности появления шестерки по модулю меньше, чем на 0,01.					Р >
2	При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверке партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1%.
3	Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Найти вероятность того, что при посеве 10000 семян выявится отклонение доли взошедших семян от вероятности того, что взойдет каждое из них, не превзойдет по модулю 0,01.
4	Вероятность положительного исхода отдельного испытания р = 0,8. Оцените вероятность того, что при 1000 независимых повторных испытаний отклонение частоты положительных исходов от вероятности при отдельном испытании по модулю будет меньше 0,05.

№	Условие	р	q		n
1	Начиная с какого числа n независимых испытаний выполняется неравенство , если в отдельном испытании р = 0,8?				?	, n >534
2	Начиная с какого числа n независимых испытаний выполняется неравенство , если в отдельном испытании р = 0,7?				?
3	При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства превысит 0,96, если вероятность появления события в отдельном испытании р = 0,7?				?

58