Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Г7.Числовые характеристики случайных величин.doc
Скачиваний:
17
Добавлен:
13.04.2015
Размер:
834.56 Кб
Скачать

Глава седьмая Числовые характеристики случайных величин

§1 Математическое ожидание дискретной случайной величины

п.1.Определение

Для решения многих задач не обязательно знать закон распределения случайной величины, достаточно знать лишь среднее значение случайной величины, которое равно ее математическому ожиданию. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок выбивает в среднем больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше.

Пусть случайная величина Х может принимать только значения , вероятности которых соответственно равны.

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на их вероятности:

Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины - постоянная величина.

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения.

Закон

Вычисления

М(Х)

Х

3

4

5

6

7

р

0,1

0,2

0,4

0,2

0,1

3·0,1+…

5

Х

-4

-2

0

2

4

р

0,1

0,2

0,15

0,25

0,3

Х

3

5

2

р

0,1

0,6

0,3

Условие

Закон распределения

1

Подбрасывается игральный кубик. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, равной числу выпавших очков.

Х

1

2

3

4

5

6

р

2

Подбрасываются два игральных кубика. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, равной сумме выпавших очков.

Х

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

р

3

В билете 3 вопроса. Вероятность ответа на первый вопрос равна 0,9, на второй – 0,8, на третий – 0,7. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, равной числу правильных ответов билета.

*

Х

0

1

2

3

р

…………………………………………………………………………...

…………………………………………………………………………...

п.2.Вероятностный смысл.

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина Х приняла : раз значение,раз значение, ………….,раз значение, причем. Найдем сумму всех значений, принятыхХ: . Найдем среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величинойХ: или. Заметив, что- относительная частота значения,- относительная частота значения, ………,- относительная частота значения, получим. Если числоn испытаний велико, то относительная частота приближенно равна вероятности и тогда: .

- математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

п.3. Свойства.

  1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С

  2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ)=С М(Х)

Закон распределения случайной величины Х задан таблицей. Найти законы распределения случайных величин 3Х; Х/2 и их математическое ожидание.

Х

Х/2

Х

-4

-2

0

2

4

р

0,1

0,2

0,15

0,25

0,3

Х

р

Х

р

М(Х)=

М(Х)=

М(Х)=

  1. Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий: М(Х+Y)=М(Х)+M(Y); М(Х-Y)=М(Х)-M(Y)

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина

  1. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(Х·Y)=М(Х)·M(Y)

Законы распределения случайных величин Х и Y заданы таблицами. Найти математическое ожидание величины XY.

X

M(X)

Y

M(Y)

M(XY)

X

5

2

4

p

0,6

0,1

0,3

X

7

9

p

0,8

0,2

Известны математические ожидания случайных величин Х и Y. Найти математическое ожидание величин: X+Y, X-Y, X·Y, 3Х, Y/2, 2Х+7, 3Х-Y.

M(X+Y)

M(X-Y)

M(X·Y)

M()

M(Y/2)

M(2Х+7)

M(3Х-Y)

M(Х) = 3

M(Y) = 2