Глава десятая Закон больших чисел

Введение

Законом больших чисел в ш и р о к о м смысле понимают принцип, согласно которому совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Т.е. при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Законом больших чисел в у з к о м смысле понимают математические теоремы, в каждой из которых для определенных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

§1 Неравенства Чебышева

Справедливы для дискретных и непрерывных случайных величин. Если Х – случайная величина, математическое ожидание которой M(X) = a, а дисперсия D(X) конечна, то для любого числа выполняются неравенства:

Первое неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем единица минус дисперсия, деленная на квадрат числа

Среднее значение длины детали равно 50см, а дисперсия равна 0,1 (0,04). Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не меньше 49,5см и не больше 50,5см.

	D(X)	а			1 -
				….
		а		….

Средний расход воды на ферме составляет 1000 л в день, а среднее квадратическое отклонение этой случайной величины не превышает 200л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л.

		D(X)		1 -

Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, т.к. дает оценку только для малых значений дисперсии (меньших ). В большинстве случаев оно дает грубую, а иногда и тривиальную оценку ( - очевидно).

Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,75. Оценить вероятность того, что из посеянных 1000 семян число взошедших окажется от 700 до 800 включительно.

n	p	q	M(Х) = np	D(Х) = npq	m < X < n			1 -

Вероятность производства нестандартной детали равна 0,1. Оценить вероятность того, что число нестандартных деталей среди 10000 будет заключено в границах от 950 до 1030 включительно.

n	p	q	M(Х) = np	D(Х) = npq	m < X < n			1 -

Второе неравенство Чебышева

Случайная величина Х имеет дисперсию D(X). Какова вероятность того, что Х отличается от математического ожидания а более чем на ?

№	D(X)
1	0,001	0,1	….
	0,004	0,2	….