Решение задачи анализа в нелинейных цепях методом математического моделирования

Метод основан на аналоговом или цифровом моделировании процессов во временной области. Решение осуществляется с помощью решающих блоков, представляющих собой законченные электронные блоки, выполняющие одну или несколько математических функций.

Для решения задачи анализа необходимы такие функции, как суммирование (), умножение () (блоки, осуществляющие перемножения), дифференцирование (), интегрирование ()и нелинейные функции (функционалы).

Главным решающим элементом является операционный усилитель (рис.4.35), у которого коэффициент усиления составляет (10⁴- 10⁶ )Если входное сопротивление, то такой усилитель является инвертором. Он изменяет знак входного напряжения: илиk=1.

Если сопротивление , то приr_ос>r₁ коэффициент усиленияk>1, а приr_ос<r₁коэффициент усиленияk<1. Такой усилитель выполняет функцию умножения на постоянное число (рис.4.36)

Если вместо сопротивления обратной связи включить емкость: то коэффициент усиления равен:. Этот решающий блок будет выполнять функцию интегрирования (рис.4.37).

Если на вход подать несколько сигналов (U₁,U₂ ,U₃), то такой усилитель будет выполнять функцию суммирования-(U₁+U₂+U₃) (рис.4.38).

Составим блок-схему решения задачи с нелинейной индуктивностью (рис.4.28). Воспользуемся уравнением нелинейной индуктивности:

+ ri=u. Нелинейность заложена в функции (i). Приведем это уравнение к форме Коши: =u – ri. Если просуммировать правую часть и проинтегрировать ее с помощью блока 1, то можно получить функцию потокосцепления, а через нелинейность получить ток в цепи (рис.4.39). С помощью блока 2 можно умножить токi на сопротивление r и замкнуть его с блоком 1. Полученная блок-схема решает поставленную задачу.

Расчет нелинейных цепей с ключевыми (вентильными) элементами

Большой класс нелинейных цепей составляют цепи с вентильными элементами, примеров которых является схема (рис.4.40). Диоды имеют вольтамперные характеристики (рис.4.41). Такие цепи рассчитываются обычно методом кусочно – линейной аппроксимации. Аппроксимируем характеристику диода двумя отрезками (0-1) и

(0-2). Такая аппроксимация позволяет значительно упростить расчеты. Если диод работает в первом квадранте, то его сопротивление равно нулю: r_д = 0, если же он работает в третьем квадранте, то его сопротивление равно бесконечности:r_д=. Это равносильно ключу (первый квадрант- ключ замкнут, второй квадрант- ключ разомкнут).

Определим возможные пути протекания токов.

Найдем временные интервалы выделенных путей токов. Если будет протекатьi_r2и диоды (1 и 4) будут открыты. Запишем второй закон Кирхгофа для этого контура:. Это соотношение справедливо от момента времениt₁до моментаt_2. Отсюда:. На временных диаграммах (рис.4.42) интервал (t₁t₂) определяется из условия: .

В отрицательном полупериоде аналогично могут быть найдены моменты (t₃t₄), а интервале времени между этими моментами будут открытыми диоды (2 и 3). В остальное время токи не протекают.

Метод расчета нелинейных цепей переменного тока по эквивалентным

действующим значениям

Рассмотрим нелинейную цепь (рис.4.43). Нелинейное сопротивление НС обладает характеристикой (рис.4.44). Требуется найти зависимость U₂(U₁) - ? Выбираем на нелинейной характеристике точку (U_нс=10 В, I₁=3 А). Расчет ведем в комплексных числах по эквивалентным действующим значениям токов и напряжений. Для выбранной точки найдем U₁и U₂. Напряжение Uс равно: Uс= I₁X_cи направлено перпендикулярно току I₁(рис.4.45, отрезок 2-3). Суммируем напряжение U_нсс напряжением Uс (отрезок 1-3). Рассчитываем напряжение U₂= U_r2: . Находим ток I₂: . Суммируем токи I₁и I₂. По теореме косинусов найдем токI: . Отсюда:, где. Найдем напряжение на индуктивности: . Откладываем это напряжение под углом 90⁰к токуI.. Суммируем напряжение на индуктивности с напряжением U₂. Получаем напряжение U₁. Откладываем напряжения U₁и U₂в систему координат U₂(U₁) (рис.4.46). Для другого тока нелинейного элемента повторяем расчеты и получаем вторую пару напряжений. Сделав несколько аналогичных расчетов, получаем искомую зависимость (рис.4.46)