4.2.2. Анализ и прогнозирование временных рядов с сезонной компонентой

Каким бы видом экономической деятельности Вы не занимались, всегда приходится планировать Вашу деятельность на будущий период. Например, ожидаемые объемы продаж, издержки, ставки процента и т.д. Мы всегда используем опыт, накопленный в прошлом, для прогнозировании (предсказания) будущих (ожидаемых) значений какого-либо экономического показателя. При изучении регрессионных моделей мы вариацию зависимой переменной объясняли на основе изучения значений независимых переменных. Можно использовать тот же подход, когда в качестве независимой переменной будет выступать переменная времени. К примеру, мы хотим объяснить колебания объемов продаж только через изменение значений этого показателя во времени, без учета каких-либо других факторов. Если удается выявить определенную тенденцию изменения фактических значений, то её можно использовать для прогнозирования будущих значений данного показателя.

Множество данных, в которых время является независимой переменной, называется временным рядом.

Значения некоторого показателя (например, объемы продаж) изменяются под воздействием целого ряда факторов. Например, если компания предлагает на рынке новый вид продукции высокого качества, то с течением времени объем продаж этой продукции возрастает (Рис.13). По устаревшей продукции объем продаж убывает (Рис.14)

Объем продаж

Время

Рис. 13. Объемы продаж новой продукции пользующейся спросом.

Объем продаж

Время

Рис. 14. Объемы продаж устаревшей продукции.

Общее изменение значений переменной во времени называется трендом и обозначается через Т.

Рассмотрим следующий пример 4.1. В таблице 4.11 представлено количество продукции, проданной компанией FORA LTD в течение последних 13 кварталов.

Таблица 4.11. Количество продукции, проданной в течение последних 13 кварталов

ДАТА	Количество Проданной продукции, тыс. шт.
Январь – март 1996	239
Апрель – июнь	201
Июль – сентябрь	182
Октябрь – декабрь	297
Январь – март 1997	324
Апрель – июнь	278
Июль – сентябрь	257
Октябрь – декабрь	384
Январь – март 1998	401
Апрель – июнь	360
Июль – сентябрь	335
Октябрь – декабрь	462
Январь – март 1999	481

Построим по данным таблицы график, на оси абсцисс которого отметим временные промежутки, а оси ординат – объемы продаж. Этот график указывает на то, что значения переменных характеризуют не только тренд, они подвержены также и циклическим колебаниям. Если колебания временного ряда повторяются через небольшие промежутки времени, то они называются сезонными колебаниями. График указывает на возможность возрастающего линейного тренда, а так же наличие сезонных колебаний (летом объемы продаж падают, зимой возрастают).

Под сезонной вариацией понимают любую систематическую вариацию, повторяющуюся через относительно небольшие промежутки времени. Например, при изучении недельного товарооборота под “сезоном” понимается один день. Кроме того, графики временных рядов могут содержать еще и циклическую вариацию, связанную, например, с периодичностью кризисов, космических циклов и др. Эту компоненту находят по данным за длительные промежутки времени в 10, 15 или 20 лет. Задача прогнозирования состоит в том, чтобы выделить компоненты временного ряда, характеризующие собственно тренд, сезонную компоненту и циклическую компоненту.

Тренд на рисунке 15 показывает, что в целом объем продаж возрос в среднем примерно с 230 тыс. шт. и 1996 году до 390 тыс. шт. в 1998 году. Из графика так же видно, что сезонная компонента практически не изменилась за три года.

Объем продаж

Рис.15

Мы рассмотрим методы прогнозирования только с учетом сезонной компоненты. Для этого используются модели с аддитивной компонентой и модели с мультипликативной компонентой. Если сезонная вариация постоянна в различных временных периодах, то для анализа временного ряда подходит модель с аддитивной компонентой. Если сезонная вариация не является константой, например, увеличивается с возрастанием значений тренда, то для анализа лучше подходит модель с мультипликативной компонентой, в которой значения сезонной компоненты представляют собой определенную долю трендового значения. Каждой из этих моделей соответствуют различные методы расчета компоненты тренда, использующие сочетание методов скользящего среднего и линейной регрессии.

Следует помнить, что поскольку сезонные колебания характеризуются относительно небольшими временными интервалами, то прогнозирование по моделям с сезонной компонентой – также краткосрочное.

3. Анализ модели с аддитивной компонентой:

A = T + S + E

Моделью с аддитивной компонентой называется такая модель, в которой вариация значений переменной во времени наилучшим образом описывается через сложение отдельных компонент. Предположив, что циклическая вариация не учитывается, модель фактических значений переменной А можно представить следующим образом:

Фактическое значение = Трендовое значение + Сезонная вариация + Ошибка,

то есть A = T + S + E

В моделях как с аддитивной, так и с мультипликативной компонентой общая процедура анализа примерно одинакова:

Шаг 1. Расчет значений сезонной компоненты.

Шаг 2. Вычитание сезонной компоненты из фактических значений. Этот шаг называется десезонализацией данных. Расчет тренда на основе полученных десезонализированных данных.

Шаг 3. Расчет ошибок как разности между фактическими и трендовыми значениями.

Шаг 4. Расчет среднего линейного отклонения или среднеквадратической ошибки для обоснования соответствия модели исходным данным или для выбора из множества моделей наилучшей.

1. Расчет сезонной компоненты в аддитивных моделях

Стабильность сезонной компоненты в примере (таблица 4.1) указывает на то, что модель с аддитивной компонентой подходит для анализа этого временного ряда. То есть фактические объемы продаж можно выразить следующим образом:

A = T + S + E

Для того чтобы элиминировать влияние сезонной компоненты воспользуемся методом скользящей средней, которую рассчитаем с интервалом в три месяца. Этот расчет и все последующие проведем в таблице 4.12.

Таблица 4.12 . Расчет по 4 точкам центрированных скользящих средних значений тренда для модели A – T = S + E

ДАТА	Объем продаж, тыс.шт.	Итого за 4 квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты A-T=S+E
Январь - март 1996	239
Апрель – июнь	201
		919	229,75
Июль – сентябрь	182			240,4	-58,4
		1004	251
Октябрь – декабрь	297			260,6	+36,4
		1081	270,25
Январь - март 1997	324			279,6	+44,4
		1156	289
Апрель – июнь	278			299,9	-21,9
		1243	310,75
Июль – сентябрь	257			320,4	-63,4
		1320	330
Октябрь – декабрь	384			340,3	+43,8
		1402	350,5
Январь - март 1998	401			360,2	+40,8
		1480	370
Апрель – июнь	360			379,8	-19,8
		1558	389,5
Июль – сентябрь	335			399,5	-64,5
		1638	409,5
Октябрь – декабрь	462
Январь - март 1999	481

Просуммировав первые 4 значения, получим общий объем продаж в 1996 году. Поделив эту сумму на 4, найдем средний объем продаж в каждом квартале 1996 года:

(239 + 201 + 182 + 297)/4 = 299,75

Полученное значение уже не содержит сезонной компоненты, так как представляет собой среднюю величину за год. У нас появилась оценка значения тренда для середины года, то есть для точки, лежащей в середине между кварталами II и III. Последовательно продвигаясь вперед с шагом в один квартал, рассчитаем средние квартальные значения для промежутков: апрель 1996 – март 1997 (251), июль 1996 – июнь 1997 (270,25) и т.д. Данная процедура позволяет генерировать скользящие средние по 4 точкам исходного множества данных. Получаемое таким образом множество скользящих средних представляет наилучшую оценку искомого тренда.

Теперь полученные значения тренда можно использовать для нахождения оценок сезонной компоненты. Мы рассчитываем:

A – T = S + E.

К сожалению, оценки значений тренда, получаемые в результате расчета скользящих средних по 4 точкам, относятся к несколько иным моментам времени, чем фактические данные. Первая оценка, равная 229,75, представляет собой точку, совпадающую с серединой 1996 года, то есть лежит в центре промежутка фактических объемов продаж во II и III кварталах. Вторая оценка, равная 251, лежит между фактическими значениями в III и IV кварталах. Нам же необходимы десезонализированные средние значения, соответствующие тем же интервалам времени, что и фактические значения за квартал. Положение десезонализированных средних во времени сдвигается путем дальнейшего расчета средних для каждой пары значений. Найдем среднюю из первой и второй оценок, центрируя их июнь-сентябрь 1996 года, т.е.

(229,75 + 251)/2 = 240,4

Это и есть десезонализированная средняя за июль-сентябрь 1996 г. Эту десезонализированную величину, которая называется центрированной скользящей средней, можно непосредственно сравнивать с фактическим значением за июль-сентябрь 1996 года, равным 182. Отметим, что это означает отсутствие оценок тренда за первые два или последние два квартала временного ряда.

После расчетов в таблице 4.12. мы имеем оценки сезонной компоненты, которые включают в себя ошибку или остаток. Прежде чем мы сможем использовать сезонную компоненту, нужно пройти два следующих этапа. Вновь перейдем к расчетам с использованием таблицы 4.13. Найдем средние значения сезонных оценок для каждого сезона года

Таблица 4.13. Расчет средних значений сезонной компоненты

		Номер квартала
	ГОД	1	2	3	4
	1996 1997 1998	- +44,4 +40,8	- -21,9 -19,8	-58,4 -63,4 -64,5	+36,4 +43,8 -
Итого		+85,2	-41,7	-186,3	+80,2
Среднее значение		85,2  2	-41,7  2	-186,3  3	80,2  2
Оценка сезонной Компоненты		+42,6	-20,8	-62,1	+40,1	Сумма=- 0,2
Скорректированная сезонная компонента		+42,6	-20,7	-62,0	+40,1	Сумма = 0

Эта процедура позволяет уменьшить некоторые значения ошибок. Наконец, скорректируем средние значения, увеличивая или уменьшая их на одно и то же число таким образом, чтобы их общая сумма была равна нулю. Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной компоненты в целом за год. Обычно корректирующий фактор рассчитывается путем деления суммы оценок сезонных компонент на число сезонов. В нашем же примере мы оценки второго и третьего кварталов округлили до ближайшего большего числа.

Значения скорректированной сезонной компоненты подтверждают наши выводы, сделанные на основе диаграммы. Объемы продаж за два зимних месяца превышают среднее трендовое значение приблизительно на 40 тыс. шт., а объемы продаж за два летних месяца ниже средних на 21 и 62 тыс. шт. соответственно.

Аналогичная процедура применима при определении сезонной вариации за любой промежуток времени. Если, например, в качестве сезона выступают дни недели, для элиминирования влияния ежедневной “сезонной компоненты” также рассчитывают скользящую среднюю, но уже не по четырем, а по семи точкам. Эта скользящая средняя представляет собой значение тренда в середине недели, то есть в четверг, таким образом, необходимость в центрировании отпадает.

2. Десезонализация данных при расчете тренда

Шаг 2 состоит в десезонализации исходных данных. Она заключается в вычитании соответствующих значений сезонной компоненты из фактических значений данных за каждый квартал, то есть A – S = T + E, что показано в таблице 4.14.

Таблица 4.14. Расчет десезонализированных данных

ДАТА	Номер квартала	Объем продаж, тыс.шт.	Сезонная компонента	Десезонализированный объем продаж, тыс. шт. A – S = T + E
Январь – март 1996	1	239	+42,6	196,4
Апрель – июнь	2	201	-20,7	221,7
Июль – сентябрь	3	182	-62,0	244,0
Октябрь – декабрь	4	297	+40,1	256,9
Январь - март 1997	5	324	+42,6	281,4
Апрель – июнь	6	278	-20,7	298,7
Июль – сентябрь	7	257	-62,0	319,0
Октябрь – декабрь	8	384	+40,1	343,9
Январь - март 1998	9	401	+42,6	358,6
Апрель – июнь	10	360	-20,7	380,7
Июль – сентябрь	11	335	-62,0	397,1
Октябрь – декабрь	12	462	+40,1	421,9
Январь - март 1999	13	481	+42,6	438,4

Новые оценки тренда, которые все еще содержат ошибку, можно использовать для построения модели основного тренда. Если нанести эти значения на исходную диаграмму, то можно сделать вывод о существовании явного линейного тренда (См. рис. 16).

Объем продаж

Рис.16

Уравнение линии тренда имеет вид:

,

где х – порядковый номер квартала,

а и b – параметры уравнения парной регрессии.

Поскольку мы нашли, что тренд имеет линейный характер, то значения параметров линии, аппроксимирующей тренд, найдем методом наименьших квадратов.

где y = T + E,

,

.

Подставив значения из последних колонок таблицы 4.14 в соответствующие формулы, получим: , .

Следовательно, уравнение модели тренда имеет следующий вид (с округлением значений коэффициентов регрессии до ближайших целых значений):

Трендовое значение объема продаж, тыс. шт. = 180,0 + 20,0 * номер квартала

3. Расчет ошибок

Шаг 3 нашего алгоритма, предшествующий составлению прогноза состоит в расчете ошибок или остатка. Наша модель имеет следующий вид:

A = T + S + E.

Значение S было найдено в таблице 4.12, а значение T в таблице 4.13. Вычитая каждое значение из фактических объемов продаж, получим значения ошибок.

Таблица 4.15. Расчет ошибок для модели с аддитивной компонентой

Дата	Номер квартала	Объем продаж, тыс. шт.	Сезонная компонента	Трендовое значение, тыс, шт	Ошибка, тыс. шт.
Январь - март 1996	1	239	+42,6	200	-3,6
Апрель – июнь	2	201	-20,7	220	+1,7
Июль – сентябрь	3	182	-62,0	240	+4,0
Октябрь – декабрь	4	297	+40,1	260	-3,1
Январь - март 1997	5	324	+42,6	280	+1,4
Апрель – июнь	6	278	-20,7	300	-1,3
Июль – сентябрь	7	257	-62,0	320	-1,0
Октябрь – декабрь	8	384	+40,1	340	+3,9
Январь – март 1998	9	401	+42,6	360	-1,6
Апрель – июнь	10	360	-20,7	380	+0,7
Июль – сентябрь	11	335	-62,0	400	-3,0
Октябрь – декабрь	12	462	+40,1	420	+1,9
Январь – март 1999	13	481	+42,6	440	-1,6

Как и в случае линейной регрессии для того, чтобы найти меру соответствия модели исходным данным, необходимо вычислить значения ошибок (остатков) модели, то есть той части значения наблюдения, которую невозможно объяснить с помощью построенной модели. Для этого применяют среднее абсолютное отклонение (mean absolute deviation MAD) и среднеквадратическую ошибку (mean square error MCE).

Целесообразно использовать обе меры, так как последняя из этих мер резко возрастает при наличии высоких ошибок.

Мы можем использовать в шаге 4 последний столбец таблицы 4.15 для расчета MAD и MSE.

В нашем случае ошибки достаточно малы и составляют от 1 до 2%. Тенденция, выявленная по фактическим данным, достаточно устойчива и позволяет получить хорошие краткосрочные прогнозы.

4. Прогнозирование по аддитивной модели

Прогнозные значения по модели с аддитивной компонентой рассчитывают как:

F=T+S (тыс. шт. за квартал),

где трендовое значение Т=180+20номер квартала, а сезонная компонента S составляет +42,6 в январе-марте, -20,7 в апреле-июне, 62,0 в июле-сентябре и +40,1 в октябре-декабре.

Порядковый номер квартала, охватывающего ближайшие три месяца с апреля по июль 1999 г., равен 14, таким образом, прогнозное трендовое значение составит:

Т₁₄=180+2014=460 (тыс. шт. за квартал).

Соответствующая сезонная компонента равна –20,7 тыс. шт. Следовательно, прогноз на этот квартал определяется как:

F (апрель-июнь 1999г.)=460-20,7=439,3 тыс. шт.

Не следует забывать: чем более отдаленным является период упреждения, тем меньшей оказывается обоснованность прогноза. В данном случае мы предполагаем, что тенденция, обнаруженная по ретроспективным данным, распространяется и на будущий период. Для сравнительно небольших периодов упреждения такая предпосылка может действительно иметь место, однако ее выполнение становится менее вероятным по мере сопоставления прогнозов на более отдаленную перспективу.

4. Анализ модели с мультипликативной компонентной: А=TSE

В некоторых временных рядах значение сезонной компоненты не является константой, а представляет собой определенную долю трендового значения. Таким образом, значения сезонной компоненты увеличиваются с возрастанием значений тренда.

Пример 4.2. Компания LORA Ltd осуществляет реализацию нескольких видов продукции. Объемы продаж одного из продуктов за последние 13 кварталов представлены в таблице 4.16.

Таблица 4.16. Квартальные объемы продаж компании LORA Ltd

Дата	Номер квартала	Количество проданной продукции, тыс. шт.
Январь-март 1996	1	70
Апрель-июнь	2	66
Июль-сентябрь	3	65
Октябрь-декабрь	4	71
Январь-март 1997	5	79
Апрель-июнь	6	66
Июль-сентябрь	7	67
Октябрь-декабрь	8	82
Январь-март 1998	9	84
Апрель-июнь	10	69
Июль-сентябрь	11	72
Октябрь-декабрь	12	87
Январь-март 1999	13	94

Построим по этим данным диаграмму (Рис.17)

Рис.17

Объем продаж этого продукта так же, как и в предыдущем примере 4.1, подвержен сезонным колебаниям, и значения его в зимний период выше, чем в летний. Однако размах вариации фактических значений относительно линии тренда постоянно возрастает. К таким данным следует применять модель с мультипликативной компонентной:

Фактическое значение = Трендовое значение Сезонная вариацияОшибка,

т.е.

А = T S E

В нашем примере 4.2 есть все основания предположить существование линейного тренда, но чтобы полностью в этом убедиться, проведем процедуру сглаживания временного ряда.

1. Расчет значений сезонной компоненты

В сущности, эта процедура ничем не отличается от той, которая применялась для аддитивной модели. Так же вычисляются центрированные скользящие средние для трендовых значений, однако оценки сезонной компоненты представляют собой коэффициенты, полученные по формуле А/Т= S E. Результаты расчетов приведены в таблице 4.17.

Таблица 4.17. Расчет значений сезонной компоненты для LORA Ltd

Дата	Номер квартала	Объем продаж, тыс. шт. А	Скользящая средняя за четыре квартала	Центриро-ванная скользящая средняя	Коэффициент сезонности А/Т= S E.
1	2	3	4	5	6
Январь-март 1996	1	70
Апрель-июнь	2	66	68
Июль-сентябрь	3	65	70,25	69,13	0,940
Октябрь-декабрь	4	71	70.25	70,25	1,011
Январь-март 1997	5	79	70,75	70,50	1,121
Апрель-июнь	6	66	73,50	72,13	0,915
Июль-сентябрь	7	67	74,75	74,13	0,904
Октябрь-декабрь	8	82	75,50	75,13	1,092
Январь-март 1998	9	84	76,75	76,13	1,103
Апрель-июнь	10	69	78	77,38	0,892
Июль-сентябрь	11	72	80,50	79,25	0,909
Октябрь-декабрь	12	87		-	-
Январь-март 1999	13	94		-	-

Значения сезонных коэффициентов получены на основе квартальных оценок по аналогии с алгоритмом, который применялся для аддитивной модели. Так как значения сезонной компоненты - это доли, а число сезонов равно четырем, необходимо, чтобы их сумма была равна четырем, а не нулю, как в предыдущем случае. (Если бы в исходных данных предполагалось семь сезонов в течение недели по одному дню каждый, то общая сумма значений сезонной компоненты должна была бы равняться семи). Если эта сумма не равна четырем, производится корректировка значений сезонной компоненты точно таким же образом, как это уже делалось ранее. В таблице оценки, рассчитанные в последнем столбце предшествующей табл. 4.18, расположены под соответствующим номером квартала.

Таблица 4.18. Расчет значений сезонной компоненты для LORA Ltd

	Год	Номер квартала
		1	2	3	4
	1996	-	-	0,940	1,011
	1997	1,121	0,915	0,904	1,092
	1998	1,103	0,892	0,909	-
Итого		2,224	1,807	2,77753	2,103
Среднее значение		2,2242	1,8072	2,7532	2,1032
Оценка сезонной компоненты		1,112	0,903	0,918	1,051	Сумма=3,984
Скорректи-рованная сезонная компонента		1,116	0,907	0,922	1,055	Сумма=0

Как показывают оценки, в результате воздействий объемы продаж в январе-марте увеличиваются на 11,6 % соответствующего значения тренда (1,116). Аналогично сезонные воздействия в октябре-декабре приводят к увеличению объема продаж на 5,5 % от соответствующего значения тренда. В двух других кварталах сезонные воздействия состоят в снижении объемов продаж, которое составляет 90,7 и 92,2 % от соответствующих трендовых значений.

2. Десезонализация данных и расчет уравнения тренда

После того, как оценки сезонной компоненты определены, можем приступить к процедуре десезонализации по формуле А/S= T E. Результаты расчетов этих оценок значений тренда приведены в таблице 4.19.

Таблица 4.19. Расчет уравнения тренда для компании LORA Ltd

Дата	Номер квартала	Объем продаж, тыс. шт., А	Коэффициент сезонности, S	Десезонализированный объем продаж, тыс. шт. А/T= S E
Январь-март 1996	1	70	1,116	62,7
Апрель-июнь	2	66	0,907	72,8
Июль-сентябрь	3	65	0,922	70,6
Октябрь-декабрь	4	71	1,055	67,3
Январь-март 1997	5	79	1,116	70,8
Апрель-июнь	6	66	0,907	72,8
Июль-сентябрь	7	67	0,922	72,7
Октябрь-декабрь	8	82	1,055	77,7
Январь-март 1998	9	84	1,116	75,2
Апрель-июнь	10	69	0,907	76,1
Июль-сентябрь	11	72	0,922	78,2
Октябрь-декабрь	12	87	1,055	82,4
Январь-март 1999	13	94	1,116	84,2

Полученные трендовые значения наносятся на исходную точечную диаграмму (Рис.18).

Рис 18.

Точки, образующие представленный на графике тренд, достаточно сильно разбросаны. Объемы продаж в данном случае не образуют такой строгой последовательности, как в предыдущем примере с компанией FORA Ltd. Скорее всего, пример с LORA Ltd более близок к реальной действительности.

Теперь нужно принять решение о том, какой вид будет иметь уравнение тренда. Очевидно, что линия тренда - не кривая, наоборот, она несколько больше напоминает прямую, хотя отдельные точки, особенно значения за 1996 г, расположены хаотически. Предположим для простоты, что тренд линейный, и для расчета параметров прямой, наилучшим образом его аппроксимирующей, будем применять метод наименьших квадратов, который дает следующий результат:

Т = 64,6 + 1,36 номер квартала (тыс. шт. в квартал).

Это уравнение будем использовать в дальнейшем для расчета оценок трендовых объемов продаж на каждый момент времени.

3. Расчет ошибок: А/(Т S) = Е или А - (Т S) = Е

Итак, мы нашли значения тренда и сезонной компоненты. Теперь мы можем использовать их для того, чтобы рассчитать ошибки в прогнозируемых по модели объемах продаж ТS по сравнению с фактическими значениями А. В таблице 4.20. эти ошибки рассчитаны как отношение Е = А/(Т S).

Для каждого года ошибки достаточно велики, что видно из графика десезонализированных значений. Однако, начиная и первого квартала 1997 г., величина ошибки составляет в среднем 2-3 % от фактического значения, и можно сделать вывод о соответствии построенной модели фактическим данным.

Таблица 4.20. Расчет ошибок для компоненты LORA Ltd.

Дата	№ квар-тала	Объем продаж, тыс. шт. А	Сезонная компо-нента, S	Трендовое значение, тыс. шт., Т	Ошибка
					ТS	А/(ТS).	А-(ТS).
Январь-март 1996	1	70	1,116	66,0	73,7	0,95	-3,7
Апрель-июнь	2	66	0,907	67,3	61,0	1,08	+5,0
Июль-сентябрь	3	65	0,922	68,7	63,3	1,03	+1,7
Октябрь-декабрь	4	71	1,055	70,0	73,9	0,96	-2,9
Январь-март 1997	5	79	1,116	71,4	79,7	0,99	-0,7
Апрель-июнь	6	66	0,907	72,8	66,0	1,00	0
Июль-сентябрь	7	67	0,922	74,1	68,3	0,98	-1,3
Октябрь-декабрь	8	82	1,055	755,5	79,7	1,03	+2,3
Январь-март 1998	9	84	1,116	76,8	85,7	0,98	-1,7
Апрель-июнь	10	69	0,907	78,8	70,9	0,97	-1,9
Июль-сентябрь	11	72	0,922	79,6	73,3	0,98	-1,3
Октябрь-декабрь	12	87	1,055	80,9	85,4	1,02	+1,6
Январь-март 1999	13	94	1,116	82,3	91,9	1,02	+2,1

4. Прогнозирование по модели с мультипликативной компонентой.

При составлении прогнозов по любой модели предполагается, что можно найти уравнение, удовлетворительно описывающее значение тренда. В обоих изложенных выше примерах эти предпосылка была успешно выполнена. Тренда, который нами рассматривался, был очевидно линейный. Если бы исследуемый тренд представлял собой кривую, мы были бы вынуждены моделировать эту связь с помощью одного из методов формализации нелинейных взаимосвязей, рассмотренных в предыдущей главе. После того, как параметры уравнения тренда определены, процедура составления прогнозов становится совершенно очевидной. Прогнозные значения определяются по формуле:

F= ТS,

где

Т=64,6+1,36номер квартала (тыс. шт. за квартал),

а сезонные компоненты составляют 1,116 в первом квартале, 1,097 - во втором, 0,922 - в третьем и 1,055 в четвертом квартале. Ближайший следующий квартал - это второй квартал 1999., охватывающий период с апреля по июнь и имеющий во временном ряду порядковый номер 14. Прогноз объема продаж в этом квартале составляет:

F= Т S = (64 + 1,36 14)0,907 = 83,640,907 = 75,9 (тыс. шт. за квартал).

С учетом величины ошибки прогноза мы можем сделать вывод, что данная оценка будет отклоняться от фактического значения не более, чем на 2 - 3 %. Аналогично, прогноз на октябрь-декабрь 1999 г., рассчитывается для квартала с порядковым номером 16 с использованием значения сезонной компоненты для IV квартала года:

F = Т S = (64 + 1,36 16)1,055 = 83,361,055 = 91,1(тыс. шт. за квартал).

Разумно предположить, что величина ошибки данного прогноза будет несколько выше, чем предыдущего, поскольку этот прогноз рассчитан на более длительную перспективу.

Резюме

Под временным рядом понимается любое множество данных, относящихся к определенным моментам времени. Это могут быть, скажем, годы, кварталы, месяцы или недели. В моделях временного ряда ретроспективная тенденция используется для прогнозирования поведения переменной в будущем. Краткосрочные прогнозы являются более точными, чем долгосрочные. Если прогноз составлялся на более длительный период времени при условии, что существующая тенденция сохранится в будущем, то тем больше величина ошибки.

Для моделирования временных рядов используются два типа моделей - аддитивная и мультипликативная. В обоих случаях предполагается, что значение переменной и включает в себя ряд компонент. Временной ряд может состоять из собственно тренда - общей тенденции изменения значений переменной; сезонной вариации - краткосрочных периодических колебаний значений переменной; циклической вариации - долгосрочных периодических колебаний значений переменной; ошибки или остатка. В данном учебном пособии не рассматривались массивы данных за длительные промежутки времени, содержащие циклическую вариацию.

Рассмотренные нами модели имеют следующий вид:

Аддитивная А = Т + S + Е

Мультипликативная А = Т S Е.

В обоих видах моделей для десезонализации данных применяется метод скользящего среднего. Затем десезонализированные данные используются при построении модели тренда. По этой модели составляют прогнозы будущих значений тренда. В случае линейной модели для нахождения параметров прямой, наилучшим образом аппроксимирующей фактические значения, используется метод наложения квадратов. Процесс построения нелинейных моделей гораздо более сложен.

В отличие от линейных регрессионных моделей для оценки обоснованности или точности прогнозных моделей статистические методы, как правило, не используются. Наилучшую среди нескольких моделей выбирает специалист, составляющий прогноз. Чтобы определить, насколько точно рассматриваемая модель аппроксимирует прошлые данные, применяются два показателя:

Среднее абсолютное отклонение (МАD)=.

Среднеквадратическая ошибка (МSE)=.