1.6. Оптимальная фильтрация и прогнозирование случайных процессов. Оптимальное оценивание состояния объекта

Один из способов формирования требуемого управляющего воздействия— синтез такой линейной системы (формирующего устройства), реакция которой на заданный входной сигнал совпадает с желаемым сигналом m(t) или мало от него отличается. Способ решения такой задачи позволяет понять существо методов оптимальной фильтрации и прогнозирования стационарных •случайных процессов.

Обозначим импульсную характеристику формирующего устройства w(t). Для физически реализуемой системы эта характеристика удовлетворяет требованию

(1.59)

Рис. 1.56. Расщепление желаемого сигнала m(t) на m+(t) и m-{t)

Первоначально предположим, что сигналом на входе формирующего устройства является б-функция. Тогда его выходом является характеристика w(t); она должна минимизировать-квадр этичное отклонение

(1.60)

Если функция m(t) равна нулю при t<.0, то решение задачи очевидно: w*(t)=m(t).

Если m(t) отлична от нуля при t<C.O, то импульсная характеристика, минимизирующая (1.60), должна быть равна m{t) лишь при f>0 и обращаться в нуль при отрицательных значениях t. На рис. 1.56 показаны такая функция m(t) и оптимальная импульсная характеристика.

Таким образом, во временной области решение задачи очевидно. Несколько сложнее решить ее, если условия заданы в частотной области. Например, задано преобразование па Фурье М(ш) функции m(t) и требуется найти амплитудно-фазовую частотную характеристику W(m) формирующего устройства. Для определения W*{ia>) нужно представить М(т) в виде суммы двух слагаемых:

(1.61>

Первому слагаемому соответствует оригинал m+{t), равный-нулю при отрицательных значениях t, а второму — при положительных. Разложение (1.61) называют расщеплением. Равенство w(t)=m+(t) в частотной области запишется следующим образом:

(1.62)

Если функция М(ш) дробно-рациональная, то разложение (1.61) можно выполнять, не переходя к оригиналам, а воспользовавшись тем, что для функции f(t), равной нулю при t<C0 и стремящейся к нулю при /->-оо, преобразование Лапласа F(p) имеет все полюсы в левой полуплоскости комплексного переменного. Наоборот, функция, равная нулю при />0, имеет преобразование Лапласа с полюсами в правой полуплоскости.

Пример. Пусть

Преобразование Лапласа получим из преобразования Фурье заменой to на р-

^М{р>- (p+i)(p_i) =7+T+"F^rT-

В первом из этих слагаемых полюс р°=—1,так что это М+, во втором полюс равен +1, это Af_. Коэффициенты А и В определим, приведя последнее равенство к общему знаменателю и учитывая, что числитель полученного выражения должен равняться р:

Ар + А + Вр — В = р.

Из условий равенства коэффициентов при одинаковых степенях р получим: А+В=\; А—В=0. Отсюда Л = В = 0,5. Таким образом

*Mto)= 2(to+l) ^=Г*('^Ю>-

Обобщим задачу синтеза формирующего устройства, предполагая, что на его вход подается сигнал g(t) и требуется так подобрать импульсную характеристику w(t), чтобы выход устройства y(t) минимально отличался от желаемого сигнала m{t).

Если g(t)=0 при ^<0, задача сводится к предыдущей, так как при t<ZQ y(t)=0; при ^>0 нужно сформировать y(t) равным m₊(t). В частотной области

7* (to) = G (to) W* (to) = М₊ (to),

откуда

W* (((о) = М+ (to)/G (гсо).

Если #(£) =5^0 при /^,<0, поступим следующим образом. Отбросим условие физической реализуемости и запишем в частотной области условие равенства желаемого сигнала и сигнала на выводе формирующего устройства:

G (to) W (to) = М (to). (1.63)

Преобразуем это равенство к такой форме, чтобы оригинал слагаемого, зависящего от W(ia>), обращался в нуль при /<0. Для этого представим G(ico) в виде

G(to) = G+(to)G-(to).

Здесь первому сомножителю соответствует оригинал, равный нулю при КО, второму — при />0. Такое представление называют факторизацией. Поделим обе части равенства (1.63) на С~(ш). Получим:

G+ (to) W ((со) = М ((co)/G- (to). (1.64)

Согласно условию физической реализуемости, оригинал функции W(ia>) и, следовательно, произведения G+(i<B)W(ico), должен обращаться в нуль при ^<0; при t^O выбором W(i(a) можем добиться равенства функций времени, соответствующих левой и правой частям выражения (1.64). Таким образом, наи-

Рис. 1.57. Схема, иллюстрирующая постановку задачи оптимальной фильтрации

лучшему выбору соответствует условие

Индекс «плюс» в нижней части квадратной скобки соответствует расщеплению дроби MfG~ на два слагаемых:

Оригинал первого равен нулю при t<CQ, второго — при f>0. Окончательно получим:

Таким образом, учет требований физической реализуемости формирующего устройства осуществляют в частотной области с помощью двух операций — факторизации и расщепления. Факторизацию используют для того, чтобы множителем при W(i(u) оказалась функция, которой во временной области соответствует оригинал, равный нулю при t<0. Операция расщепления соответствует во временной области разбиению оригинала на два слагаемых, одно из которых определено для t^O, другое — для t<.0.

Оптимальная фильтрация и прогнозирование случайных процессов. Пусть на вход линейной системы (фильтра) подается случайный сигнал g(t), равный сумме полезного сигнала y(t) и помехи e(t). Для y(t) и e(t) известно, что это случайные стационарные процессы со спектральными плотностями S_y((o) и S_e((a). Требуется найти такую характеристику фильтра W(m), чтобы сигнал у (t) на его выходе минимально в среднеквадратичном смысле отличался от желаемого сигнала (рис. 1.57). В свою очередь, желаемый сигнал тем или иным способом связан с полезным сигналом. Если, например, m(t)=y(t), то задача фильтра заключается в выделении сигнала из его смеси с помехой. Если m(t)=dy/dt, фильтр реализует помехоустойчивое дифференцирование y(t). Если m(t)=y(t+x), осуществляется помехоустойчивый прогноз полезного сигнала. В общем случае связь между y(t) и m(t) удобно задать в частотной области в виде

При этом частотная характеристика оператора связи далеко не

всегда физически реализуема. Для задачи выделения полезного сигнала W_9r(ia) — l; для задачи дифференцирования №_Эт(ио) =«о; для задачи прогноза W₃i(m) =e'^MT. Физически реализуема характеристика эталонного оператора только в первом из этих трех примеров.

Критерием оптимальности поставленной задачи является среднеквадратичная величина ошибки е между желаемым сигналом и сигналом у на выходе фильтра. Обозначая для краткости чертой операцию усреднения, запишем:

В частотной области среднеквадратичная ошибка запишется в форме

Здесь S_e(<»)—спектральная плотность ошибки, которая выражается через спектральную плотность сигнала g(t) на входе фильтра, его частотную характеристику и взаимную спектральную плотность входного и желаемого сигналов:

Условие минимума этого выражения по №(<ш) с учетом того, что ]W(i(o) \²=W(m)W(—ia), а производная dW(—ш)/ /dW(m) =—1, приводят к равенству

(1.65)

При этом требование физической реализуемости фильтра никак не учитывалось. Произведение S_g(a))W(m) равно, как известно, взаимной спектральной плотности сигналов на входе и выходе фильтра S_gy(m).

Таким образом, амплитудно-фазовую характеристику фильтра без учета физической реализуемости следует выбирать так, чтобы взаимная спектральная плотность сигнала на входе и выходе фильтра была равна взаимной спектральной плотности входного и желаемого сигналов. Для некоррелированных сигнала y(t) и помехи e(t) спектральная плотность входного сигнала

Взаимная спектральная плотность g(t) и m(t) может быть выражена через характеристику эталонного оператора ^этМ:

Таким образом, АФХ оптимального фильтра, найденная беа

учета физической реализуемости, имеет'вид:

(1.66)

Если оказывается, что найденная таким образом характеристика реализуема, она дает оптимальное решение. Однако знать эту характеристику полезно и тогда, когда она не реализуема, так как при подстановке ее в 5_е (со) вычисленное значение среднеквадратичной ошибки дает тот нижний предел, меньше которого эта ошибка заведомо быть не может.

Перейдем к учету условий физической реализуемости. Аналогично задаче синтеза формирующего устройства преобразуем равенство (1.66) так, чтобы зависящее от W слагаемое имело оригинал, равный нулю при i^<0. Для этого проведем факторизацию Sg(co):

Оригинал первого сомножителя отличен от нуля при /^0, а второго — при ^<;0. В силу симметрии S_g(co) функции S_g⁺ и 5_Й~ удовлетворяют равенству

Разделив обе части этого равенства на S_g~, получим:

(1.67)

Левая часть этого равенства для физически реализуемой функции W(m) имеет оригинал, равный нулю при /<0, а при f^tO выбором W можем сформировать нужную функцию. Наилучшему выбору W соответствует совпадение оригиналов от левой и правой частей равенства (1.67) при t^O. После расщепления правой части равенства (1.67).

где знак «плюс» соответствует функции, оригинал которой отличен от нуля лишь при t^Q, получим для выбора W условие

Отсюда

(1.68)

Пример. Решить задачу об оптимальном выделении сигнала у из смеси с помехой е, если спектральные платности S_y и S_e имеют вид

а корреляция полезного сигнала и помехи отсутствует.

Рис. 1.58. Импульсная характеристика физически нереализуемого фильтра

Без учета физической реализуемости фильтра его частотная характеристика примет форму

Соответствующая импульсная характеристика показана на рис. 1.58. Чтобы учесть физическую реализуемость, проведем факторизацию S_g:

и расщепление S_gm/S_a-:

Для определения А и В имеем урав!

Откуда

Теперь получим

Оптимальным физически реализуемым фильтром оказалось апериодическое звено с оптимально найденными коэффициентом усиления и постоянной времени (экспоненциальный фильтр, см. разд. 3.3).

Обобщение задачи оптимальной фильтрации. Рассмотренная выше задача оптимальной фильтрации была обобщена в самых разных направлениях. Остановимся на одном из таких обобщений, связанным с тем, что ошибка системы для разных частот имеет различный вес. Этот фактор можно учесть, введя в критерий оптимальности весовую функцию, в результате чего он примет вид:

(1.69)

Чем больше весовая функция #(©) на некоторой частоте, тем меньше ордината спектральной плотности ошибки, соответствующая оптимальному решению. Примером критерия, имеюще-

го вид (1.69), служат обобщенные интегральные критерии, где наряду с дисперсией ошибки е учитывается дисперсия ее производных. Так, минимизация выражения

эквивалентна минимизации интеграла

Весовая функция Ц-^²©² на высоких частотах возрастает, поэтому спектр ошибки для оптимального фильтра окажется низкочастотным.

Полученную выше формулу для расчета АФХ оптимального фильтра нетрудно распространить на случай функционала (1.69). Для этого нужно записать условие стационарности функционала /я по W. Очевидно, это условие будет отличаться от равенства (1.65) только тем, что левая и правая его части будут содержать в качестве множителя функцию Н_ш. Получим:

(1.70)

Для расчета оптимальной физически реализуемой АФХ фильтра проведем, как и выше, факторизацию S_g и Н, после чего поделим левую и правую части равенства (1.70) на произведение S_g~H~. Получим:

Для оптимального физически реализуемого фильтра оригиналы левой и правой частей этого условия должны совпадать при t^O. После расщепления правой части равенства придем к оптимальному решению в форме

(1.71)

Оптимальнее оценивание состояния объекта. В задаче оптимальной фильтрации предполагались известными спектральные плотности полезного сигнала и помехи, которые могут быть найдены посредством статистической обработки реализаций этих стационарных и эргодических процессов. При этом мы не предполагали известным механизм генерации этих сигналов. Между тем, если полезный сигнал представляет собой вектор-функцию у, характеризующую состояние технологического процесса, то приближенно известна его математическая модель; часть составляющих вектора состояния или некоторые зависящие от него переменные можно измерять и по результатам текущих измерений уточнять оценку у; сигнал, а в некоторых случаях и помехи, нельзя считать стационарными процессами.

Рис. 1.59. Структура системы оценивания

Расчет функции у (t) при таких предположениях называют оцениванием состояния; если же в момент t нужно рассчитать у(/+т), то имеем задачу оценивания с прогнозом состояния. Схема, иллюстрирующая постановку задачи оценивания, приведена на рис. 1.59. Предполагаются известными модель объекта: статистические характеристики сигналов е, | и г\, характеризующие ошибки и случайные возмущения в модели, ошибки при измерении входных воздействий и при измерении переменных состояния соответственно; функция z (t) и вектор Потребуется оценить вектор у в момент t или (t+x). Основы теории оценивания развиты в работах Калмана и Бьюси [23].

Для систем регулирования модель объекта можно линеаризовать. Поэтому рассмотрим синтез алгоритма оценивания для линейных систем. Модель системы в векторно-матричной форме записи имеет вид (1.72), а модель измерений — вид (1.73):

(1.73)

Начальные условия уравнения (1.72) случайны:

(1.74)

В уравнениях (1.72) — (1.74) y(t)—n-мерный вектор состояния; z(t) — /-мерный вектор измеряемых выходов; e(t)—«-мерный вектор случайных возмущений; t\(t)—/-мерный вектор случайных ошибок измерений; g — случайная составляющая начальных условий; А — квадратная матрица (пУ<.п); С — прямоугольная матрица (1Хп).

Требуется по наблюдениям за процессом z(t) найти такую оценку состояния процесса y(t), при которой достигает минимума критерий

(1.75)

Здесь Т — интервал, в течение которого проводят наблюдения. Первое слагаемое в (1.75) представляет собой квадратичную

форму разности между начальным значением оценки г/(0) и начальным состоянием процесса г/о- Подобные же квадратичные формы, оценивающие погрешность модели и измерений, содержатся в подынтегральном выражении функционала. Матрицы Лг¹, i? и Q определяют весовые коэффициенты, оценивающие важность той или иной составляющей ошибки. Пусть e(t), т)(0—случайные процессы типа белого шума, не коррелированные друг с другом и со случайным вектором |, а их средние значения равны нулю. В качестве матрицы Р₀ берут матрицу ковариаций случайной помехи £ оценки начального состояния:

Здесь черта, как и ранее, соответствует операции взятия математического ожидания. В этом частном случае, когда составляющие вектора £ не коррелированы друг с другом, матрица Ро диагональная, и ее элементами являются дисперсии отдельных составляющих вектора |. Аналогично матрицы весовых коэффициентов R(t) и Q(t) обратны матрицам ковариаций процессов e(t) и x\(t):

(1.76)

По диагоналям этих матриц стоят корреляционные функции отдельных составляющих процессов e(t) и r\(t),a на остальных местах — взаимнокорреляционные функции двух разных составляющих этих процессов. Элементы ковариационных матриц случайных ошибок отражают неопределенность наших знаний. Чем больше эта неопределенность, тем с меньшим весом входит соответствующее слагаемое в критерий I.

Для решения задачи о минимуме / удобно ввести новую переменную

(1.77)

и переписать критерий / в форме

(1.78)

При этом необходимо учесть связь (1.77) между у я и:

(1.79)

Функцию z(t) можно наблюдать; минимум ищется по у(0) иг/. Поставленная задача выпукла, поэтому ее решение существует и является единственным. В соответствии с процедурой принци-

па максимума [40] запишем для задачи (1.78), (1.79) функцию Гамильтона

и потребуем ее стационарности по и (для выпуклой дифференцируемой функции максимум достигается в точке стационарности) :

(1.80)

Уравнения для сопряженных переменных

или

(1.81)

Краевые условия для уравнения (1.81)—нулевые: г|з(7')=0. Начальное значение i|)(0) определяется [53] в виде

(1.82)

откуда

(1.83)

Подставляя (1.80) в уравнение (1.79), получим:

(1.84)

Таким образом, для вычисления оптимальной оценки y*(t) состояния процесса необходимо решить совместно уравнения (1.81) и (1.84), причем для уравнения (1.81) заданы условия в конце интервала наблюдения при t = T, а для уравнения (1.84) начальные условия определены через г|)(0). Так как граничные условия для у и г|) заданы на разных концах интервала наблюдения, то одно из уравнений нужно решать в прямом времени, а другое — в обратном. Однако поскольку у входит в правую часть уравнений (1.81), а ^ — в правую часть уравнений (1.84), подобная процедура затруднена. Чтобы «развязать» систему (1.81), (1.84), удобно перейти к вспомогательным переменным Ъ и ввести вспомогательную матрицу Р, так что

(1.85)

Подставляя это выражение в (1.84), получим:

(1.86)

С учетом (1.81) имеем:

(1.87)

Подберем теперь вспомогательную матрицу Р так, чтобы в (1.87) сумма слагаемых, содержащих ty, обратилась в нуль. Эта сумма равна

Условие ее равенства нулю приводит к дифференциальному уравнению для матрицы Р:

(1.88>

Если матрица Р удовлетворяет уравнению (1.88), то из равенства (1.87) вытекает уравнение для расчета вектора b(t):

(1.89)

Начальные условия для уравнений (1.88), (1.89) следует из начальных условий (1.82) для ib. Действительно, требование

окажется выполненным, если

(1.90)

Уравнения (1.88) и (1.89) не содержат в правых частях никаких других переменных, кроме Р, Ь и наблюдаемого вектора г. Они могут быть проинтегрированы в прямом времеви от £=0 до t=T. Это позволяет выразить ty(t) через y(t) в соответствии с (1.85), найти y{T)=b{t) и переписать уравнение (1.86)ввиде

Решение этого уравнения в обратном времени определит искомую оценку у (t).

Однако полученная оценка может быть найдена лишь для тех моментов t, которые лежат внутри интервала наблюдения (О, Т). Часто требуется оценить вектор состояния в момент Т или даже прогнозировать его значение на х вперед. В первом случае оценка вытекает непосредственно из условия яр (7") = О, т. е. y(t) (где t — текущий момент времени, совпадающий с концом интервала наблюдения) получается из решения уравнения (1.89.) заменой в нем b(t) на y(t):

(1.91)

Здесь матрица Р определяется уравнением (1.88).

Прогнозирующую оценку у (t+x) получают из уравнения (1.91) интегрированием его до момента t+x. При этом начиная с момента t до t+x матрицу Q(t), определяющую веса погрешностей измерения, полагают равной нулю (измерения отсутствуют, их неопределенность сколь угодно велика), т. е. на участке

:Рис. 1.60. Изменение во времени элементов матрицы Р(а), истинных составляющих вектора у и составляющих его оценки у (б)

от / до t+x уравнение (1.91) упрощается и принимает вид: у= =Ау. Аналогично на интервале {t, t+x) упрощается уравнение (1.88) для подсчета элементов матрицы Р.

Пример {43]. Процесс в проточном химическом реакторе с непрерывным

перемешиванием характеризуется системой дифференциальных уравнений

Измеряется с ошибкой г\ только концентрация у г:

Случайные возмущения £/, обусловленные неконтролируемыми изменениями расходов, температур, состава сырья и т. п., имеют среднее значение, равное нулю, являются белыми шумами (т. е. их автокорреляционные функции представляют собой б-функции). Матрица ковариаций их известна:

где pti=\i²{t); pu=\iJ[t)\j{t), т. е. диагональные элементы представляют собой дисперсии случайных возмущений, a pi2=P2i — коэффициенты их взаимной корреляции. Процессы %i(t) не обязательно стационарны, и матрица R~^l может зависеть от t.

Аналогичные предположения сделаем о случайной функции r\(t) и векторе 1о:

Здесь

Уравнение для оценки вектора y(t) по результатам текущих измерений на интервале (0,0 примет вид уравнения (1.89), в котором p(t)=b(t):

Элементы матрицы Р вычисляются согласно уравнению (1.88):

Начальные условия для этой системы определены матрицей Ро. Решение уравнений (1.92) не зависит от текущих измерений z(t), поэтому к моменту t в уравнениях для оценки у матрица Р известна; при получении очередного значения z эти уравнения интегрируются в реальном времени.

На рис. 1.60 показаны изменения во времени элементов матрицы Р, а также оценки вектора концентраций у в системе для следующих исходных, данных:

дисперсия погрешностей измерения Q~' = 0,05.