1.3.2. Каскадные аср

Каскадные системы применяют для автоматизации объектов, обладающих большой инерционностью по каналу регулирования, если можно выбрать менее инерционную по отношению к наиболее опасным возмущениям промежуточную координату и использовать для нее то же регулирующее воздействие, что и для основного выхода объекта.

В этом случаев систему регулирования (рис. 1.19) включают два регулятора – основной (внешний) регулятор, служащий для стабилизации основного выхода объекта у, и вспомогательный (внутренний) регулятор, предназначенный для регулирования вспомогательной координаты у₁. Заданием для вспомогательного регулятора служит выходной сигнал основнога регулятора.

Выбор законов регулирования определяется назначением регуляторов:

• для поддержания основной выходной координаты на заданном значении без статической ошибки закон регулирования основного регулятора должен включать интегральную составляющую;

• от вспомогательного регулятора требуется прежде всего-быстродействие, поэтому он может иметь любой закон регулирования (в частности пропорциональный как наиболее простой и достаточно быстродействующий).

Рис. 1.19. Структурная схема каскадной АСР

Сравнение одноконтурных и каскадных АСР показывает, что вследствие более высокого быстродействия внутреннега контура в каскадной АСР повышается качество переходного процесса, особенно при компенсации возмущений, поступающих по каналу регулирования (как будет показано ниже, при этом инерционность эквивалентного объекта благодаря внутреннему контуру снижается по сравнению с инерционностью основного канала регулирования).

Рис. 1.20. Каскадная система регулирования температуры (2) с коррекцией задания регулятору расхода пара (1)

Если по условию ведения процесса на вспомогательную переменную накладывается ограничение (например, температура не должна превышать предельно допустимого значения или соотношение расходов должно лежать в определенных пределах), то на выходной сигнал основного регулятора, который является заданием для вспомогательного регулятора, также накладывается ограничение. Для этого между регуляторами устанавливается устройство с характеристиками усилительного звена с насыщением.

Примеры каскадных АСР технологических объектов. На рис. 1.20 приведен пример каскадной системы стабилизации температуры жидкости на выходе из теплообменника, в которой вспомогательным контуром является АСР расхода греющего пара. При возмущении по давлению пара регулятор 1 изменяет степень открытия регулирующего клапана таким образом, чтобы поддержать заданный расход. При нарушении теплового баланса в аппарате (вызванном, например, изменением входной температуры или расхода жидкости, энтальпии пара, потерь тепла в окружающую среду), приводящем к отклонению выходной температуры от заданного значения, регулятор температуры 2 корректирует задание регулятору расхода 1.

В химико-технологических процессах часто основная и вспомогательная координаты имеют одинаковую физическую природу и характеризуют значения одного и того же технологического параметра в разных точках системы (рис. 1.21).

Рис. 1.21. Структурная схема каскадной АСР с измерением вспомогательной координаты в промежуточной точке

На рис. 1.22 показаны фрагмент технологической схемы, включающий подогреватель реакционной смеси и реактор, и система стабилизации температуры в реакторе. Регулирующее воздействие – расход пара – подается на вход теплообменника. Канал регулирования, включающий два аппарата и трубопроводы, является сложной динамической системой с большой инерционностью. На объект действует ряд возмущений, поступающих в разные точки системы, — давление и энтальпия пара, температура и расход реакционной смеси, потери тепла в реакторе и т. п. Для повышения быстродействия системы регулирования применяют каскадную АСР, в которой основной регулируемой переменной является температура в реакторе, а в качестве вспомогательной выбрана температура смеси между теплообменником и реактором.

Рис. 1.22. Каскадная система регулирования температуры (4) в реакторе (7) с коррекцией задания регулятору температуры (3) на выходе теплообменника (2)

Расчет каскадных АСР. Расчет каскадной АСР предполагает определение настроек основного и вспомогательного регуляторов при заданных динамических характеристиках объекта по основному и вспомогательному каналам. Поскольку настройки основного и вспомогательного регуляторов взаимозависимы, расчет их проводят методом итераций.

Рис. 1.23. Структурные схемы эквивалентной одноконтурной системы регулирования с основным (а) и вспомогательным (б) регулятором: вверху – эквивалентная одноконтурная схема; внизу – преобразование каскадной АСР к одноконтурной.

На каждом шаге итерации рассчитывают приведенную одноконтурную АСР, в которой один из регуляторов условно относится к эквивалентному объекту. Как видно из структурных схем на рис. 1.23, эквивалентный объект для основного регулятора 1 (рис. 1.23а) представляет собой последовательное соединение замкнутого вспомогательного контура и основного канала регулирования; передаточная функция его равна

. (1.31)

Эквивалентный объект для вспомогательного регулятора 2 (рис. 1.23,б) является параллельным соединением вспомогательного канала и основной разомкнутой системы. Его передаточная функция имеет вид:

. (1.32)

В зависимости от первого шага итерации различают два метода расчета каскадных АСР.

1-й метод. Расчет начинают с основного регулятора. Метод используют в тех случаях, когда инерционность вспомогательного канала намного меньше, чем основного.

На первом шаге принимают допущение о том, что рабочая частота основного контура (ω_р) намного меньше, чем вспомогательного (ω_p1), и при ω = ω_р

. (1.33)

Тогда

. (1.34)

Таким образом, в первом приближении настройки S⁰ основного регулятора 1 не зависят от R₁(р) и находятся по W^Э0(p).

На втором шаге рассчитывают настройки вспомогательного регулятора S₁¹ для эквивалентного объекта (1.32) с передаточной функцией W₁^Э(p), в которую подставляют R(p,S⁰).

В случае приближенных расчетов ограничиваются первыми двумя шагами. При точных расчетах их продолжают до тех пор, пока настройки регуляторов, найденные в двух последовательных итерациях, не совпадут с заданной точностью. Блок-схема алгоритма расчета приведена на рис. 1.24, а.

2-й метод. Расчет начинают со вспомогательного регулятора. На первом шаге предполагают, что внешний регулятор отключен, т. е.

R(p) = 0 и W₁^Э0(p) = W₁(p).

Таким образом, в первом приближении настройки вспомогательного регулятора S₁⁰ находят по одноконтурной АСР для вспомогательного канала регулирования. На втором шаге рассчитывают настройки основного регулятора по передаточной функции эквивалентного объекта W^Э1(p) с учетом R₁(p,S₁⁰). Для уточнения настроек вспомогательного регулятора S₁¹ расчет проводят по передаточной функции (1.32) W₁^Э1(p), в которую подставляют R(p,S¹). Расчеты проводят до тех пор, пока настройки вспомогательного регулятора, найденные в двух последовательных итерациях, не совпадут с заданной точностью (рис. 1.24,б).

Рис. 1.24. Блок-схемы алгоритмов расчета каскадных АСР:

а – при условии высокого быстродействия внутреннего контура по сравнению с внешним; б – при условии отключения внешнего регулятора в начальном приближении.

Пример. Рассчитать настройки регуляторов в каскадной АСР, если передаточные функции объекта по основному и вспомогательному каналам и передаточные функции регуляторов соответственно равны:

Для расчета одноконтурных АСР используем метод Циглера-Никольса.

Из сравнения W(p) и W₁(p) видно, что инерционность вспомогательного канала намного меньше, чем основного (τ₁<τ), поэтому расчет каскадной АСР проводим по 1-му методу.

Рис. 1.25. Определение частотных характеристик эквивалентного объекта для основного регулятора в начальном приближении: а — амплитудно-частотных; б — фазо-частотных; в — амплитудно-фазовых.

1. Расчет настроек основного регулятора (S₁⁰, S₀°, ω_р°). Следуя выражению (1.34), находим передаточную функцию эквивалентного объекта:

и его частотные характеристики (рис. 1.25):

,

где

.

Критическую настройку П-регулятора S⁰_1кр и критическую частоту ω_0кр находим из системы уравнений

,

откуда S⁰_1кp = 4,64; ω⁰_кр = 0,73.

Рабочие настройки ПИ-регулятора принимаем равными:

ω _р⁰ = 0,73; S₁⁰ = 2,23; S₀⁰ = 0,31.

2. Расчет настроек вспомогательного регулятора (S¹₁₁ S¹₀₁, ω¹_p1). Передаточная функция эквивалентного объекта (1.32) имеет вид:

.

Рис. 1.26. Определение амплитудно-фазовой характеристики эквивалентного объекта для вспомогательного регулятора

Частотные характеристики W₁^Э1(iω); A₁¹(ω); φ₁¹(ω) находим графическим способом (рис.1.26) путем сложения годографов W₁(iω) и W⁰_paз(iω), где

W⁰_раз(iω) = W(iω)R(iω, S⁰). Критические настройки регулятора S¹_11кр и ω¹_1кр находим из системы уравнений:

Рабочие настройки принимаем равными: S¹₁₁=2,82; S¹₀₁ = 2,05; ω¹_1P=3,8.

Рис. 1.27. Определение амплитудно-фазовой характеристики эквивалентного объекта для основного регулятора

3. Уточнение настроек основного регулятора (S₁¹, S₀¹, ω_р¹). Необходимость уточнения настроек регулятора S¹ возникает в том случае, если допущение (1.33) не выполняется с заданной точностью. Проверка этого условия в данном примере показывает, что

т.е. l/|R₁¹(ω_p)| соизмерима с A₁(ω_p) (если принять допустимую погрешность при выполнении условия (1.33), равную 5%) и требуется дальнейшее уточнение настроек. Поэтому по формуле передаточной функции эквивалентного объекта W^Э1(p) находим его частотные характеристики в окрестности ω = 0,73 (рис. 1.27) с учетом того, что

,

где ;

А¹_зн(ω) и φ_зн(ω) определяем по графику W¹_зн(iω).

Критические и рабочие настройки регулятора 1 находим из условий

Сравнение S¹ (S₁¹,S₀¹) и S⁰(S₁⁰,S₀⁰) показывает, что

и

т. е. начиная с п. 2 необходимо повторить расчет.

Результаты расчетов по итерациям сведены в таблицу. Их анализ показывает, что в рассмотренном примере рабочие частоты регуляторов в каскадной АСР незначительно отличаются от соответствующих частот в одноконтурных системах регулирования. При этом включение регуляторов в каскадную систему приводит к повышению рабочей частоты основного регулятора и снижению рабочей частоты вспомогательного (см. рис. 1.28, а, б). Эта особенность каскадных АСР учитывается при выборе частотного диапазона, что позволяет сократить объем вычислений при расчетах частотных характеристик эквивалентных объектов.

Рис. 1.28. Графики процессов регулирования: а — вспомогательной координаты (основной регулятор отключен); б — основной координаты в одноконтурной АСР (1) и в каскадной АСР (2)

Окончательный вывод об эффективности применения каскадной АСР по сравнению с одноконтурной делают на основе сравнительного анализа результатов моделирования переходных процессов. Для рассмотренного примера на рис. 1.28 приведены графики процессов регулирования в одноконтурной и каскадной АСР при единичном ступенчатом возмущении по каналу регулирования. Как видно из сравнения кривых / и 2, динамическая ошибка регулирования в каскадной АСР снизилась почти в пять, а интегральный квадратичный критерий — почти в девять раз.