1.4.2. Регулирование нестационарных объектов

Многие технологические процессы, (в производстве лаков и красок, в микробиологической и пищевой отраслях промышленности) , проводят в нестационарных условиях. Для некоторых процессов нестационарность обусловлена изменением характеристик аппарата вследствие изменения его нагрузки, образования накипи на трубах, старения катализатора и т. п. Иногда процессы проводят в нестационарных (обычно циклических) режимах с целью повышения их эффективности [54]. Во всех этих случаях линеаризованная математическая модель процесса нестационарна, а правые части дифференциальных уравнений содержат координату времени в явной форме.

В случае нестационарных процессов предъявляют особые требования к построению систем стабилизации их параметров. Например, в процессах биосинтеза температура должна поддерживаться на заданном оптимальном уровне изменением расхода охлаждающей воды. По мере роста концентрации биомассы вязкость среды растет, а от нее сильно зависят коэффициенты теплопередачи. Таким образом, передаточная функция объекта регулирования температуры в начале и в конце процесса существенно различны. Систему регулирования необходимо рассчитать таким образом, чтобы обеспечить удовлетворительное качество переходных процессов для всех возможных значений параметров линеаризованной модели. Рассмотрим некоторые особенности построения таких систем.

Обеспечение рабастности систем регулирования. Термин «ра-бастность» означает малую чувствительность систем регулирования к изменению тех или иных свойств управляемого процесса. Обеспечить рабастность можно различными способами. Одним из них является такой выбор настроечных параметров регуляторов, чтобы при некоторых средних характеристиках процесса степень устойчивости замкнутой системы η (минимальное расстояние корней ее характеристического уравнения от мнимой оси) была максимальна. Поскольку для системы регулирования опасна потеря устойчивости, такой выбор настроек позволяет надеяться на удовлетворительное качество регулирования при колебаниях параметров передаточной функции объекта.

Другим способом обеспечения рабастности — более надежным, но и более трудоемким — является выбор настроек регуляторов, оптимальных по отношению к наиболее неблагоприятному сочетанию параметров процесса. Если процесс можно приближенно охарактеризовать передаточной функцией апериодического или нейтрального объекта с запаздыванием, то, зная диапазон изменения коэффициента усиления, постоянной времени и времени запаздывания, можно выбрать такое сочетание этих параметров, для которого оценка среднеквадратичной ошибки регулирования максимальна.

Для астатического объекта с передаточной функцией

наиболее неблагоприятному сочетанию параметров соответствует максимальное отношение τ/T.

Для статического объекта с передаточной функцией

и П-регулятора наихудшее качество регулирования соответствует максимуму выражения

на множестве возможных значений k, T, τ. Именно для тех параметров, при которых J максимально, нужно выбирать на стройки регуляторов.

Аналогичный подход полезен не только для нестационарных процессов, но и при назначении параметров регуляторов априори для целого класса объектов, характеристики которых сравнительно мало отличаются друг от друга.

Для объектов без существенного запаздывания рабастность можно обеспечить выбором регуляторов с переменной структурой [21]. Такие регуляторы позволяют создать переходный процесс в замкнутой системе, близкий к некоторому желаемому, путем введения так называемого скользящего режима. При переходе фазовой траектории системы через границу, совпадающую с фазовой траекторией желаемой системы, коэффициенты регулятора меняются; при этом возникает движение вдоль границы с постоянно изменяющимися параметрами регулятора (рис. 1.46). При изменении свойств объекта меняются только такие характеристики скользящего режима, как частота переключений. Основная же траектория, вдоль которой проходит скользящее движение, остается неизменной.

Использование параметрической компенсации. Изложенные выше подходы к регулированию нестационарных процессов предполагали, что характеристики регулятора не меняются, несмотря на изменение свойств объекта. Между тем, если возмущение, меняющее динамику объекта, можно измерить, то естественно использование принципа параметрической компенсация. При этом параметры регулятора изменяют таким образом, чтобы, несмотря на изменение динамики объекта, степень устойчивости или степень колебательности системы не менялись. Чаще всего таким измеряемым, параметрическим возмущением является нагрузка объекта (расход материальных и энергетических потоков). Через контур адаптации изменение нагрузки меняет параметры регулятора таким образом, чтобы коэффициент усиления разомкнутой системы остался неизменным (рис. 1.47).

Рис. 1.46. Схема возникновения скользящего режима: B₁ и В₂ — области, соответствующие различным параметрам регулятора; А₁А₂ — линия, вдоль которой происходит скольжение.

Рис. 1.47. Структура системы регулирования с параметрической компенсацией.

Рис. 1.48. Структура замкнутой системы регулирования нелинейного и нестационарного объекта.

Синтез системы управления из условия заданного характера переходного процесса в замкнутой системе. В замкнутой системе регулирования, показанной на рис. 1.48, объект и управляющее устройство нелинейны. Уравнение, характеризующее объект, имеет вил:

(1.41)

Здесь y⁽ⁱ⁾, x⁽ⁱ⁾ – i-тая и j-тая производные регулируемой координаты у и возмущающего воздействия х. Требуемые динамические свойства замкнутой системы можно охарактеризовать дифференциальным уравнением, связывающим задающее воздействие у⁰ с выходом объекта у, вектором возмущений х и вектором параметров регулятора S:

(1.42)

Представленная в виде (1.42) функция F может содержать не только переменные у, х, у⁰, но и их производные. В частности, в условие (1.42) обязательно должна входить высшая производная y⁽ⁿ⁾, причем так, чтобы это условие можно было разрешить относительно нее.

Закон изменения управления и выбирают из условия, чтобы фактическое изменение у в замкнутой системе совпадало с желаемым [8]; для этого должны совпадать и их производные. Обозначим желаемый закон изменения координаты у через и потребуем выполнения равенства

(1.43)

Высшую производную желаемого движения находят, разрешив уравнение (1.42) для желаемой системы относительно y⁽ⁿ⁾:

(1.44)

Управление, обеспечивающее выполнение равенства (1.43), можно найти, подставив в уравнение объекта (1.41) вместо производной y⁽ⁿ⁾ ее желаемое значение. Получим

(1.45)

При этом управление становится функцией переменных у, ..., у^(п-1), ..., х, ..., x^(k), S, у⁰, ..., y^(n-1)0. Все эти переменные рассматривают как измеряемые. В этом случае получают алгоритм управления в форме синтеза. Далеко не всегда производные выходной координаты (а также возмущающие воздействия и их производные) можно измерить; однако при невысоком порядке объекта подобный подход оказывается эффективным, а зачастую позволяет найти удовлетворительный приближенный алгоритм управления, не использующий измеренных значений всех переменных, входящих в уравнение (1.45). Методика использования изложенного подхода показана ниже на примере.

Пример. Управление реактором идеального смешения. Уравнение, характеризующее динамику изотермического реактора смешения, имеет вид:

(1.46)

где у — концентрация в объеме аппарата и на выходе его; х — концентрация во входном потоке; G и V — соответственно расход через реактор и объем реактора; К(у)—скорость реакции, зависящая от концентрации.

Пусть управляющим воздействием является расход G через аппарат. Уравнение (1.46) нелинейно, так как в него входят нелинейная функция К (у) и произведение G(x—у). Зададим характер желаемого переходного процесса в замкнутой системе уравнением

Согласно этому уравнению, желаемый переходный процесс представляет собой экспоненту, имеющую декремент затухания а.\ и стремящуюся к значению a₂y⁰/a₁. Отметим, что порядок высшей производной как в уравнении объекта, так и в уравнении желаемой системы одинаков, что является необходимым условием применимости изложенного подхода.

Желаемое значение высшей производной

подставляем в уравнение объекта (1.46). Получим

откуда управляющее воздействие

Таким образом, для выработки управления необходимо вводить в вычислительное устройство все переменные, фигурирующие в правой части равенства (1.47), знать уравнение кинетики процесса, т. е. функцию К (у). При этом объект может быть и нестационарным, например рабочий объем V может медленно меняться; функция /((</) может содержать зависящие от времени коэффициенты и т. д. Если же скорость изменения V соизмерима

с у, это надо учесть при записи уравнения (1.47), что приведет к изменению закона управления, синтезированного с помощью изложенного подхода.

На первый взгляд, желаемое уравнение системы можно задать произвольно, и найденный закон управления обеспечит сколь угодно высокое качество переходных процессов. Подобное представление создается вследствие того, что при синтезе не учитывались ограничения на множество возможных значений управления. Так, в примере с химическим реактором G не может быть отрицательным и не может превышать некоторого предельного значения. Эти ограничения можно учесть путем выбора а₍ и а₂ в желаемом уравнении с учетом диапазона изменения х и у⁰.

В ряде случаев множество допустимых управлений может состоять из отдельных фиксированных значений и. В этом случае полезно учесть, что для выполнения равенства между фактической и желаемой кривыми изменения у равенство между их высшими производными может быть выполнено лишь в среднем на каждом достаточно малом (по сравнению с длительностью переходного процесса) отрезке времени. Это значит, что управление может меняться, принимая, например, лишь два фиксированных значения, одно из которых больше, а другое меньше рассчитанного по формуле (1.47), но так, чтобы среднее значение совпало с расчетным. Формально это будет означать замену управления и выражением

(1.48)

в котором функция y удовлетворяет неравенству O^y^l. Равенство (1.48) нужно подставить в условие (1.45) и разрешить его относительно Y- Найденная функция покажет, в течение какого времени в окрестности момента t управляющее воздействие должно принимать максимально возможное значение.

В системах с переменной структурой управляющим воздействием нужно считать параметры регулирующего устройства, которые обычно принимают два значения, переключаясь между ними так, чтобы поведение системы было ближе к желаемому. Такие системы близки к системам, синтезированным на основе изложенного выше подхода. Режим с быстрыми переключениями (скользящий) является для них типовым. Регулирование циклического режима. При циклическом режиме работы переменные, характеризующие состояние процесса, периодически изменяются. Простейшим примером циклического процесса может служить регенеративный теплообмен, когда насадка поочередно контактирует с горячим и холодным потоками, передавая тепло от одного потока к другому.

Система регулирования таких процессов должна стабилизировать фазу и амплитуду колебаний переменных. Регулятор (обычно импульсный) получает информацию периодически с интервалом, равным периоду колебаний, и меняет форму или интенсивность управляющих воздействий, представляющих собой периодические функции.

В регенеративном теплообменнике, например, регулируемой величиной является средняя за цикл температура нагреваемого потока. Ее значение поступает на вход регулятора периодически, с интервалом Т₀, равным продолжительности цикла. При этом регулятор изменяет средний расход греющего потока.