1.2. Расчет настроек регуляторов в одноконтурных аср

При определении настроек регуляторов в качестве показателя оптимальности системы регулирования обычно выбирают интегральный критерий качества (например, интегральный квадратичный критерий) при действии на объект наиболее тяжелого возмущения с учетом добавочного ограничения на запас устойчивости системы. В практических расчетах запас устойчивости удобно характеризовать показателем колебательности системы; его значение для систем, имеющих интегральную составляющую в законе регулирования, определяется максимумом амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы регулирования.

В дальнейшем под оптимальными будем понимать настройки регулятора, обеспечивающие заданную степень колебательности т* процесса регулирования при минимуме интегрального квадратичного критерия J_КВ.

Среди инженерных методов расчета настроек регуляторов одни являются более точными, но трудоемкими для ручного счета, другие — простыми, но приближенными. Подробно эти методы изложены в различных пособиях и монографиях [19,23, 42—49]. Наиболее распространенными способами, отражающими методику точного и приближенного расчета настроек, являются метод расширенных частотных характеристик (РЧХ) и метод незатухающих колебаний (Циглера-Никольса).

Метод РЧХ. По этому методу расчетные формулы для настроек регуляторов получают из условия, аналогичного критерию Найквиста: если разомкнутая система имеет степень колебательности не ниже заданной, то замкнутая система будет обладать заданной степенью колебательности в том случае, когда расширенная амплитудно-фазовая характеристика (РАФХ) разомкнутой системы W_pc(m, iω) проходит (рис. 1.4) через точку (1, i0), т. е.

W_pc(m, iω) =1, (1.5)

где W_pc(m, iω) = W_об (m, iω) R (m, iω, S);

W_o6 (m, iω) = А_об (m, ω) e^iφ_об^{(m, ω)};

R(m, iω, S) = A_p(m, ω, S)e^iφ_р^{(m, ω, S)}.

Уравнение (1.5) равносильно двум уравнениям, записанным относительно расширенных амплитудно-частотных и фазоча-стотных характеристик объекта и регулятора:

А_об (т, ω) А_р (m, ω, S) = 1,

(1.6)

φ_об (т, ω) + φ_р (m, ω, S) = 0.

Для заданных частотных характеристик объекта и выбранного закона регулирования при решении системы уравнений (1.6) находят вектор настроек регулятора S, обеспечивающих заданную степень колебательности на каждой частоте.

Для регуляторов с одним параметром настройки, у которых φ_р (m, ω) не зависит от параметра S, из второго уравнения (1.6) находят рабочую частоту ω_р, а из первого — параметр настройки S*.

Для П-регулятора с передаточной функцией R(p)=-S₁ рабочую частоту ω_р находят из уравнения

φ_об (т, ω) + π = 0, (1.7)

а настройку S₁* — по формуле

S₁* = [А_об (т, ω_р)]^-1. (1.8)

Для И-регулятора с передаточной функцией R(p)=-S₀/p частоту ω_р определяют из уравнения

φ_об (т, ω) + π/2 = 0,

а настройку S₀* — по формуле

S₀* = ω_р [А_об (т, ω_р)]^-1.

Для регуляторов с двумя параметрами настроек по уравнениям (1.6) в плоскости параметров настроек рассчитывают линию равной степени колебательности (рис. 1.5 а, б) для интервала частот, заданного условием

где τ — время чистого запаздывания; T₁,..., Т_п — постоянные времени объекта.

Для ПИ-регулятора с передаточной функцией R(p)=-S₁--S₀/p система уравнений (1.6) приводит к решению в виде:

(1.9)

где γ = arctg m - π - φ_об (т, ω).

Для ПД-регулятора с передаточной функцией R(p)=-S₁--S₂p аналогичные формулы для настроек запишутся в виде:

S₂ = -[ωA_об (т, ω)]^-1 sin φ_об (т, ω),

S₁ = [A_об (т, ω)]^-1 cos φ_об (т, ω) + mωS₂.

Рис. 1.5. Линии равной степени колебательности в плоскости параметров настроек ПИ-регулятора (а), ПД-регулятора (б) и графики процессов регулирования при различных настройках ПИ-регулятора (в) и ПД-регулятора (г)

Разным точкам на кривой равной степени колебательности соответствуют различные процессы регулирования (рис. 1.5 в, г).

Рабочую частоту (см. рис. 1.5 а) выбирают из условий

ω_p = l,2ω_max или ω_р = 0,8ω_п (1.10)

соответствующих минимуму J_кв.

Для ПИД-регулятора с тремя параметрами настройки и передаточной функцией R(p)=-S₁-S₀/p-S₂p из системы уравнений (1.6) можно найти настройки S₁ и S₀ как функции S₂:

(1.11)

Оптимальные настройки регулятора рассчитывают следующим образом. Задаваясь различными значениями S₂, по формулам (1.11) находят линии равной степени колебательности в плоскости параметров S₁S₀ (рис. 1.6 а). Затем рассчитывают переходные процессы и по минимуму J_кв выбирают оптимальные S₁*(S₂), S₀*(S₂) при каждом значении S₂ (обычно они соответствуют точке вблизи вершины кривой равной степени колебательности). Далее моделируют переходные процессы для каждого варианта настроек S₂, S₁*(S₂), S₀*(S₂) и по минимуму J_кв выбирают оптимальное значение S₂* и соответствующие ему S₁*, S₀*. На рис. 1.6 б приведены примеры процессов регулирования при различных значениях настроек ПИД-регулятора.

Рис. 1.6. Линии равной степени колебательности в плоскости S₁S₀ для ПИД-регулятора (а) и графики процессов регулирования при различных настройках регулятора (б)

Метод незатухающих колебаний. В соответствии с этим методом расчет настроек ПИ- или ПИД-регуляторов проводят в два этапа: 1 — расчет критической настройки пропорциональной составляющей S₁^кр(S₀ = S₂ = 0), при которой АСР будет находиться на границе устойчивости, и соответствующей ей ω_кр; 2 — определение по S₁^кp и ω_кр оптимальных настроек S₁*, S₀o*, S₂*, обеспечивающих степень затухания ψ ≈ 0,8—0,9.

Уравнения для расчета S₁^кp и соответствующей ей частоты ω_кр получают из уравнений (1.7), (1.8) при т = 0:

φ_об(ω) + π = 0; S₁^кр = А_oб(ω_кр)]^-1. (1.12)

Оптимальные настройки ПИ- и ПИД-регуляторов находят по следующим формулам: для П-регулятора

S₁* = 0,5S₁^кp; (1.13)

для ПИ-регулятора

S₁* = 0,45S₁^кp;

(1.14)

S₀*/S₁* = 0,19ω_кр или S₀* = 0,0865S₁^крω_кр;

для ПИД-регулятора

S₁* = 0,6S₁^кр;

S₀*/S₁* = 0,32ω_кр или S₀* = 0,192S₁^крω_кр; (1.15)

S₂*/S₁* = 0,785/ω_кр или S₂* = 0,471S₁^кр/ω_кр

Метод Циглера-Никольса лежит в основе многих методов настройки дискретных ПИД-регуляторов. В частности, если рекуррентный алгоритм управления, соответствующий аналоговому ПИД-закону, имеет вид

,

то для больших значений периода квантования t₀ параметры настройки К₁*, К₀*, К₂* могут быть найдены по следующим формулам [23]:

для П-регулятора

К₁* = 0,5К₁^кр (1.16)

для ПИ-регулятора

К₁* = 0,45К₁^кр-0,5К₀^*;

(1.17)

для ПИД-регулятора

К₁* = 0,6К₁^кр — 0,5К₀*;

(1.18)

В уравнениях (1.16) — (1.18) К₁^кр и Т_кр — коэффициент при П-составляющей закона управления и период колебаний выходной координаты, соответствующие режиму незатухающих колебаний АСР.