5. Имитационное моделирование. Принципы построения моделирующих алгоритмов. Оценка точности и достоверности результатов моделирования.

Способ имитационного моделирования заключается в создании логико-аналитической (математической) модели системы и внешних воздействий, в имитации функционирования системы, т.е. в определении временных изме­нении состояния системы под влиянием внешних воздействий, и в получении: выборок значений выходных параметров, по которым определяются их ос­новные вероятностные характеристики. При исследовании детерминирован­ных систем: необходимость в последнем отпадает. Научно построенная имитационная модель не только адекватна словесному (содержательному) представлению реальной системы, но и обладает ря­дом преимуществ. К примеру, такая модель в процессе своего "жизненного " цикла в рамках модельного времени способна "развиваться", т. е. видоизме­няться, как в целом, так и во взаимосвязях элементов ее составляющих. В этом смысле имитационная модель в определенной степени способна отобразить не только специфическую, но и органическую сущность системы. Модель системы на уровне структуры представляет собой совокупность моделей элементов и их функциональные взаимосвязи. Модель внешних воздействий - это правила определения моментов поступления входных сигналов (заявок) в систему, маршрута заявок в системе по каждому из потоков в соответствии с алгоритмами обработки, приоритетов обслуживания, трудоемкости обслуживания, допустимого времени пре­бывания заявок в системе. В процессе имитации функционирования системы измеряют re выход­ные характеристики, которые интересуют исследователя. При изучения сто­хастических систем измерения производятся многократно, чтобы с достаточ­ной точностью определить вероятностные характеристики. Это такие харак­теристики системы как время ожидания заявок в очереди, число заявок в си­стеме, длина очередей к устройствам, требуемая емкость памяти. Имитационное моделирование дает возможность учесть надежностные ха­рактеристики ВС: моменты возникновения отказов устройств в период мо­делирования и моменты их восстановления. Имитационная модель позволяет исследовать поведение различных систем с учетом влияния случайных факторов. Эти факторы в зависимо­сти от их природы могут быть отражены в модели как случайные собы­тия, случайные величины (дискретные или непрерывные), или как слу­чайные функции (процессы).

Имитационный эксперимент представляет собой наблюдение за пове­дением системы в течение некоторого промежутка времени. В практике су­ществует больше таких задач, в которых оценка эффективности моделируе­мой системы напрямую связана с временными характеристиками ее функци­онирования. К ним относятся - задачи по оценке производительности, неко­торые задачи по оценке надежности, качества распределения ресурсов, а также все задачи, связанные с исследованием эффективности процессов обслужи­вания. Характерной особенностью большинства практических задач явля­ется то, что скорость протекания рассматриваемых в них процессов значи­тельно ниже скорости реализации модельного эксперимента. С другой стороны, даже те имитационные эксперименты, в которых временные параметры работы системы не учитываются, требуют для своей реализации определенных затрат времени работы компьютера.

В связи с этим при разработке практически любой имитационной мо­дели и планировании проведения модельных экспериментов необходимо со­относить между собой три представления времени:

реальное время, в котором происходит функционирование имитируе­мой системы;

модельное время, в масштабе которого организуется работа модели;

машинное время, отражающее затраты времени ЭВМ на проведение имитации.

Функционирование модели М должно протекать в искусственном же в реальном и не в машинном) времени, обеспечивая появление событий ч тре­буемом логикой работы исследуемой системы порядке и с надлежащими вре­менными интервалами между ними. Нужно учитывать, что элементы реаль­ной системы S могут функционировать одновременно, а компоненты машин­ной модели М - последовательно. Для сохранения адекватности причинно-следственных временных связей для одновременно возникших событий, не­обходимо создать "механизм" задания времени для синхронизации действий элементов модели системы. Известны два подхода к заданию времени: с помощью постоянных и переменных интервалов времени, которым соответствуют два принципа ре­ализации моделирующих алгоритмов.

При использовании метода постоянного шага отсчет системного вре­мени ведется через фиксированные, выбранные исследователем интервалы времени. События в модели считаются наступившими в момент окончания этого интервала. Погрешность в измерении временных характеристик сис­темы в этом случае зависит от величины шага моделирования. При моделировании по особым состояниям системное время каждый раз изменяется на величину, строго соответствующую интервалу времени до момента наступления очередного события. В этом случае события обраба­тываются в порядке их наступления, а одновременно наступившими счита­ются только те, которые являются одновременными в действительности.

Оценка точности и достоверности результатов моделирования.

Обработка результатов имитационных экспериментов принципиально не может дать точных значений (т.к. моделируются случайные процессы, и мы можем их только как-то оценить). Существует некая степень точности результатов - приближение к какому-то истинному значению. И эта степень точности в значительной мере определяется размером выборки (количеством реализаций).

Задача определения такого размера выборки, который позволяет обеспечить желаемый уровень точности и в то же время минимальную стоимость моделирования, весьма трудна, но и весьма важна.

Число испытаний N определяет точность получаемых результатов моделирования. Если необходимо оценить величину случайного параметра Х по результатам моделирования x_{1, x2, … xn,} то за оценку следует брать величину хср. Но из-за случайности хср будет отличаться от истинного значения параметра Х

а если мы зададимся какой-то точностью оценки (назовем ее - e ), то должно выполняться неравенство:

|Х-хср|<e

e - точность оценки величины случайного параметра Х; (половина ширины доверительного интервала)

хср - среднее значение результатов моделирования x1, x2, … xn.

Вероятность того, что данное неравенство выполняется, называют уровнем значимости или доверительной вероятностью:

P(|Х-xср|<e)=a

a - уровень значимости, доверительная вероятность, (1-a) - достоверность.

Это выражение и берется за основу при определении точности результатов статистических испытаний, т.е. результатов имитационных экспериментов.

α и ε - задаем сами.

Определение количества реализаций для оценки вероятности наступления события.

Отклики моделей обычно одно из двух состояний, например успех - неудача. Такие отклики называют переменными Бернулли. Они характеризуются биномиальным распределением.

Пусть целью моделирования будет определение вероятности наступления некоторого события А, определяющего какое-то состояние моделируемой системы. В любой из реализаций процесс наступления события А является случайной величиной, которая может приобретать значение x1=1 с вероятностью р (т.е. событие наступило) и x2=0 с вероятностью 1-р.

На основе центральной предельной теоремы, можно найти количество реализаций для оценки вероятности наступления события с заданным уровнем значимости и точностью.

Центральная предельная теорема: распределение суммы независимых наблюдений n различных СВ стремится к нормальному, при n®Ґ, независимо от характера распределения СВ.

ta - квантиль нормального распределения вероятностей. Находится из специальных таблиц распределения Стьюдента (t-распределение) на основе заданного уровня значимости и определенных степеней свободы.

Число степеней свободы: ν = k - 1 - m, (k - число значений или интервалов СВ; т - число определяемых параметров).

Для определения вероятности р делают пробные испытания (N=50…100) и получают частоту m/N, после чего определяют конечное количество испытаний.

р=m/N

Определение количества реализаций для оценки среднего значения случайной величины.

Случайная величина имеет математическое ожидание m и дисперсию s².

На основе центральной предельной теоремы количество реализаций N для оценки среднего значения случайной величины будет

Величину σ нужно либо знать, либо для ее определения нужно провести пробный эксперимент и найти ее оценку.

Если мы имеем представление о пределах, в которых может изменяться отклик системы, то грубую оценку величины σ можно получить из условия, что размах переменной отклика равен примерно 4σ: Если известен разумный размах переменной отклика - d, то σ=d/4.

Для определения оценки 2 проводят 50…100 испытаний и определяют по формуле: