3. Аналитическое моделирование. Случайные процессы. Марковские модели случайных процессов.

В теории СМО к наиболее изученным и исследованным относятся мо­дели, у которых случайный процесс функционирования относится к классу марковских процессов, т.е. марковские модели. Случайный процесс называется марковским, если вероятность любого состояния системы Е в будущем зависит только от состояния в настоящем и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние. Описывающий поведение системы процесс Z(t) называется цепью Маркова. Описать процесс - значит определить вероятность того, что в момент времени t система находится в том или ином состоянии. Для случайных процессов с дискретным временем изменения состоя­ний происходят только в определенные моменты времени t0,t1,…tk. Перехо­ды описывают вероятностями переходов. Для марковских процессов с непрерывным временем промежуток вре­мени между переходами из одного состояния в другое случайно.

Среди классов марковских процессов с непрерывным временем выделяют частный класс процессов размножения и гибели, в которых состояние системы за любой бесконечно малый промежуток времени изменяется не больше, чем на единицу. Некоторый процесс представляет собой процесс размножения и гибели, если он является однородной цепью Маркова с множеством состояний, если рождение и гибель являются независимыми событиями и если выполняются следующие условия:1- вероятность того, что в промежутке времени (t, t + t) поступит толь­ко 1 заявка, в состоянии ек равна k*t+0(t); k-интенсивность размножения. 2- вероятность того, что в промежутки времени (t, t +t) закончит об­служивание только 1 заявка, в состоянии Ек равна: k*t+0(t) k-интенсивность гибели. 3- вероятность того, что в промежутке времени (t, t + t) не поступит ни одной заявки, в состоянии Ек равна: 1-k*t+0(t); 4- вероятность того, что в промежутке времени (t, t + t) ни одна заявка не­ закончит обслуживание в состоянии Ек равна: 1-k*t+0(t).

Согласно этим условиям можно ввести предположение кратных собы­тий: кратные рождения, кратные гибели и одновременные рождения и гибе­ли в течении малого промежутка времени имеют вероятность бесконечно малую, порядка 0(t).

Рассмотрим возможные изменения количества заявок в системе в про­межутке времени (/, t + Д/). В момент / + д/ система будет находится в состо­янии Ек, если произошло одно из трех (взаимно исключающих и исчерпыва­ющих все возможности) событий:1-в момент времени t количество заявок было равно k и в течении времени (t, t + At) не произошло изменения состояния;2 - в момент времени t количество заявок было равно k- 1 и в течении времени (/, t + At) поступила еще одна заявка (рождение);3-в момент времени t количество заявок было равно k+ 1 и в течении време­ни (/,/ + At) закончила обслуживание одна заявка (гибель).

Граф состояний модели размножения и гибели позволяет наглядно описать процесс перехода системы из одного состояния в другое. Ребра указывают возможные переходы, а приписанные им числа соответствуют интенсивностям размножения и гибели.

Распределение вероятностей, задаваемое формулой , k0, t0 ; носит назва­ние закона распределения Пуассона, а случайный процесс, управляемый этим распределением - процессом Пуассона. Процесс чистого размножения с постоянной интен­сивностью  приводит к последовательности рождений, образующих Пуассоновский процесс. Для Пуассоновского потока интер­валы времени между соседними заявками распределены по экспоненциальному закону: обычно говорят, что пуассоновский поток заявок характеризуется экс­поненциальным распределением интервалов времени между заявками.