4. Движение заряженных частиц

В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ

Перемещение заряда под действием электрического поля происходит в сторону убывания потенциальной энергии. Работа по перемещению заряда на основании закона сохранения энергии равна уменьшению потенциальной энергии W_p:

A = W_p = . (52)

С другой стороны, работа электрических сил при перемещении заряда в электростатическом поле равна произведению величины заряда на уменьшение потенциала:

A = q =q(₁  ₂). (53)

Как видно из формулы (53), работа электростатического поля по перемещению заряда между двумя точками не зависит от формы пути, по которому перемещается заряд.

Так как электрические заряды под действием электрических сил двигаются в сторону уменьшения потенциальной энергии, то положительные заряды из состояния покоя перемещаются в сторону уменьшения потенциала, отрицательные – в сторону его возрастания.

Если при своем движении заряд не испытывает сопротивления (движение в вакууме), то сумма его кинетической W_k и потенциальной W_p энергии неизменна во времени:

W_k + W_p = const. (54)

При этом общее изменение энергии равно нулю:

W_k + W_p = 0. (55)

W_k = q; (56)

W_k = q(₁  ₂). (57)

4.1. Примеры решения задач

Задача 9. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобретает скорость 16 Мм/с. Поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора равна 8,8510^8 Кл/м². Найти: 1) разность потенциалов между пластинами; 2) расстояние между ними; 3) ускорение, с которым движется электрон. Электрон вначале покоился (рис. 9).

Дано:  = 8,85108 Кл/м2  = 16 Мм/с =16106 м/с

Найти: , d, a.

Решение.

1) Электрическое поле конденсатора перемещает электрон от одной пластины до другой и совершает над ним работу

A = q_e(₁  ₂), (58)

которая идет на увеличение его кинетической энергии W_k:

A = W_k; (59)

q_e(₁  ₂) = ; (60а)

q_e = ; (60б)

|q_e| = 1,610^19 (Кл).

Из формулы (60а) выражаем разность потенциалов:

 = . (61)

2) Для однородного поля конденсатора разность потенциалов и напряженность связаны соотношением:

 = Ed = .(62)

Отсюда получим расстояние между пластинами:

d = .(63)

3) Под действием электрического поля электрон движется равноускоренно. Запишем кинематические уравнения:

= (64)

. (65)

Перепишем уравнения (64), (65) с учетом начальных условий в проекции на осьOy:



(66)

= at;

d = at²/2.

Из выражений (66) выразим ускорение:

a = ²/(2d). (67)

Подставим данные задачи в формулы (61), (63), (67):

 = 728 В; d = 7,28 см; а = 1,7510¹⁵ м/с².

Ответ:  = 728 В; d = 7,28 см; а = 1,7510¹⁵ м/с².

Задача 10. Электрон влетел со скоростью 20 Мм/с параллельно пластинам плоского конденсатора. Разность потенциалов между пластинами – 3000 В, расстояние между ними – 6 см, длина пластин – 15 мм. Найти: 1) смещение по вертикали электрона от начального положения при вылете его из пластин; 2) скорость электрона в момент вылета и ее направление. Пластины расположены горизонтально (рис. 10).

Дано: U = 3000 в v0 = 20 Мм/с = 20106 м/с d = 6 см = 6102 м = 15 мм = 15103 м

Найти: h, v, .

Решение. Между пластинами конденсатора на электрон действуют две силы: тяжести и электрическая .

Согласно уравнению движения

. (68)

Запишем уравнение (68) в проекции на ось Oy:

mа = F_e  mg. (69)

В данном случае mg << F_e , поэтому силой тяжести можно пренебречь:

mа = F_e = |q_e|E = . (70)

Отсюда выразим ускорение по оси Oy:

a = . (71)

Воспользуемся кинематическими уравнениями для нахождения смещения и скорости электрона:

; (72)

=. (73)

Запишем уравнения (72) и (73) в скалярном виде:

Oх: =v₀t, v_x = v₀; (74)

Oу: h = at²/2, v_y = at. (75)

Найдем время движения электрона внутри конденсатора из уравнения (74) и подставим а из формулы (71) в равенство (75):

; (76)

. (77)

Модуль скорости и ее направление найдем через проекции:

. (78)

Тангенс угла наклона к оси Ох

; (79)

.

Подставим данные задачи в формулы (77), (78) и (79):

h = 2,5 мкм; v = 2,110⁷ м; tg  = 3,3;  = 73.

Ответ:h = 2,5 мкм; v = 2,110⁷ м;  = 73.