1. Взаимодействие зарядов. Закон кулона

Электростатика изучает электрическое поле, которое создается неподвижными относительно данной системы отсчета электрическими зарядами. Взаимодействие между электрическими зарядами осуществляется за счет электростатического поля. При изучении теоретического материала необходимо разобраться с понятиями «электрический заряд», «точечный заряд», а также усвоить, что закон Кулона применим только к точечным зарядам и сферически-симметричным заряженным телам. При решении задач по электростатике следует иметь в виду, что при взаимодействии нескольких зарядов силы взаимодействия каждой пары зарядов не зависят от наличия остальных зарядов, поэтому сила , действующая на каждый заряд, равна вектор-

ной сумме сил , действующих на него со стороны всех других зарядов (принцип суперпозиции сил):

. (1)

В задачах, в которых заряды находятся в равновесии, результирующая сила , действующая на каждый заряд, равна нулю.

1.1. Примеры решения задач

Задача 1. В вершинах квадрата ABCD (рис. 1) находятся точечные заряды q_B = q_D = 20 нКл, q_A = = 50 нКл. Найти величину и направление силы, действующей на заряд q_C = 40 нКл. Сторона квадрата равна 4 см.

Дано: а = 4 см = 4102 м qB = qD = 20 нКл = 2108 Кл qA = 50 нКл = 5108 Кл qc = 40 нКл = 4108 Кл

Найти: F, .

Решение. Расставим на рисунке силы, действующие на заряд q_c со стороны зарядов q_A, q_B, q_D.

Согласно принципу суперпозиции

. (2)

Выберем оси координат Ох и Oу и запишем уравнения в проекциях на них:

O

(3)

х: F_x = F_A cos  – F_D;

Oу: F_у = F_A sin  + F_B,

где  = 45°.

По закону Кулона

(4)

Подставим формулы (4) в уравнения (3) и рассчитаем проекции сил по формулам:

(5)

Так как заряды q_B и q_D одинаковые, то и сила F_В = F_D. Кроме того, cos 45° = sin 45°. Следовательно, проекции результирующей силы равны: F_х = = F_у = 5610^4 Н.

Модуль силы

F = 7910^4 (Н).

Для определения направления результирующей силы необходимо найти угол , который она составляет с осью Ох:

tg  = ;tg  = 1;  = 45°.

Ответ:F = 7910^4 Н,  = 45°.

Задача 2. Два точечных заряда (180 и 720 нКл) находятся на расстоянии 60 см друг от друга и жестко закреплены (рис. 2). Какого знака и в какой точке должен находиться третий заряд, чтобы он был в равновесии?

Дано: ql = 180 нКл = 18108 Кл q2 = 720 нКл = 72108 Кл r = 60 см = 0,6 м

Найти: .

Решение. Заряд q₃ будет находиться в равновесии в том случае, если результирующая сила, действующая на него, равна нулю. Это значит, что на заряд q₃ (см. рис. 2) должны действовать две силы, равные по величине и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков (I, II, III) может быть выполнено это условие. Для определенности предположим, что заряд q₃ – положительный. На участке I обе силы (и) направлены влево, на участкеIII – вправо, значит, условие равновесия может выполняться только на участке II.

Условие равновесия в векторной форме имеет вид:

+ = 0. (6а)

Запишем уравнение (6а) в проекции на ось Оx:

 = 0; =. (6б)

Найдем выражение для сил по закону Кулона:

; (7)

(8)

Приравняем правые части уравнений (7) и (8) и выполним алгебраические действия, в результате которых получим:

. (9)

По условию задачи выберем положительный корень. Выразим из формулы (9) и подставим данные задачи:

; (10)

= 0,2 м.

Предположим, что заряд q₃ может двигаться только вдоль линии, соединяющей заряды q₁ и q₂. Определим знак заряда q₃, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в исходное положение. Если положительный заряд q₃ слегка отклонить влево от положения равновесия, то обе силы изменятся: F₁₃ будет возрастать, F₂₃ – убывать. Значит, результирующая сила будет направлена вправо, т. е. к положению равновесия. Если заряд q₃ отклонить вправо, то F₁₃ будет убывать, F₂₃ – возрастать. Значит, результирующая сила будет направлена влево, т. е. к положению равновесия. Условие, что заряд q₃ может двигаться только вдоль прямой, очень важно, так как направления вверх и вниз неустойчивы. Для отрицательного заряда q₃ положение равновесия будет неустойчивым.

Ответ: = 0,2 м.

Задача3. Два одинаковых маленьких металлических шарика массой 1 г каждый подвешены в одной точке на непроводящих нитях длиной 1 м каждая (рис. 3). Какой заряд необходимо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол 60°?

Дано:  = 60° m1 = m2 = m = 1 г = 103 кг = 1 м

Найти: q.

Решение. После сообщения шарикам заряда q, он распределится поровну между ними, поскольку они одинаковые. На каждом шарике окажется заряд q/2, в результате чего между шариками возникает электрическая сила отталкивания. Рассмотрим силы, действующие на один из шариков:  сила тяжести,  натяжения,  электрическая. Шарик будет находиться в равновесии, если результирующая этих сил равна нулю:

0 = + +. (11)

Выберем оси координат Оx и Oy и запишем уравнение (11) в проекциях на них:

O

(12)

х: 0 = F_K – F sin ;

Oу: 0 = F cos  mg.

Решив систему уравнений (12), выразим силу F_K:

F_K = mg tg . (13)

С другой стороны, F_K можно выразить по закону Кулона:

(14)

Расстояние между шариками найдем по чертежу, приведенному на рис. 3:

r = 2sin. (15)

Приравнивая формулы (13) и (14) с учетом уравнения (15), определим величину заряда q:

mg tg = ; (16)

q=. (17)

Подставив данные задачи в расчетную формулу (16), получим: q = 2 мкКл.

Ответ: q = 2 мкКл.