2. Напряженность электрического поля.

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ. Поток вектора напряженности

электрического поля. теорема гаусса

Основной силовой характеристикой электрического поля является вектор напряженности электрического поля , который в каждой точке направлен так же, как и сила, действующая со стороны поля на положительный пробный заряд, помещенный в эту точку.

Если поле создано несколькими точечными зарядами, то согласно принципу суперпозиции полей напряженность в каждой точке поля равна векторной сумме напряженностей полей , создаваемых каждым зарядом в отдельности:

. (18)

В случае, когда поле создано не точечными зарядами, а распределенными симметрично по сферическим, цилиндрическим и плоским поверхностям, напряженность поля рассчитывают с помощью теоремы Гаусса. При решении задач на расчет потока вектора напряженности электрического поля через заданную поверхность необходимо понимать, что однородное электрическое поле – это частный случай. Поток в таком поле, проходящий через плоскую поверхность,

. (19)

В случае неоднородного электрического поля для поверхности произвольной формы необходимо вычислить поверхностный интеграл:

. (20)

где S – площадь поверхности;

 – угол между нормалью к элементу поверхности и вектором .

Из формул (19) и (20) видно, что поток является алгебраической величиной, зависящей от ориентации элемента площади, и может иметь положительный и отрицательный знак. Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, это утверждение называется теоремой Гаусса:

Ф

S

_е =∮Е. (21)

где ₀  электрическая постоянная;

q_i – заряды, находящиеся внутри поверхности.

2.1. Примеры решения задач

Задача4. В вершинах прямоугольника ABCD (рис. 4) со сторонами АВ = 6 см, ВС = 4 см находятся точечные заряды: q_A = 20 мкКл и q_c = 30 мкКл. Найти величину и направление напряженности электрического поля в точке, расположенной в середине стороны CD.

Дано: qA = 20 мкКл = 20106 Кл qc = 30 мкКл = 30106 Кл а = АВ = 6 см = 6102 м b = ВС = 4 см = 4102 м

Найти: Е, .

Решение. Вектор напряженности в каждой точке поля совпадает по направлению с силой, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку. Исходя из этого расставим направление векторов и (см. рис. 4) в искомой точке. Согласно принципу суперпозиции

= + . (22)

Модуль вектора можно найти, если известны его проекции на оси:

O

(23)

х: Е_x = Е_С + Е_A cos ;

Oу: Е_у = Е_A sin .

Напряженность электрических полей точечных зарядов q_A и q_С найдем по формулам:

; (24)

, (25)

а тригонометрические функции определим из чертежа (см. рис. 4):

cos  = (26)

; sin  = .

Подставим правые части уравнений (24), (25) и (26) в формулу (23) и рассчитаем проекции Е_x и Е_у:

; (27)

Е_x = 3410⁷ В/м;

; (28)

Е_у = 5,810⁷ В/м.

Модуль результирующей напряженности

(29)

Е = 3,4510⁶ В/м.

Направление результирующей напряженности определим через ее компоненты: tg  = ;tg  = 0,17;  = 9,7.

Ответ:Е = 3,4510⁶ В/м;  = 9,7.

Задача5. Круг радиусом 15 см помещен в однородное электрическое поле напряженностью 0,36 мВ/м (рис. 5). Чему равен поток вектора напряженности, проходящий через площадку, ограниченную кругом, если она: 1) перпендикулярна силовым линиям; 2) составляет угол 45° с ними; 3) параллельна им?

Дано: R = 15 см = 0,15 м Е = 0,36 мВ/м = 3,6104 В/м

Найти: Фе.

Решение. Согласно формуле (19) поток вектора напряженности

Ф_е = ES cos  = ER² cos , (30)

где  – угол между нормалью к поверхности круга и вектором напряжен-ности электрического поля ;

R – радиус окружности.

Вычисляем: 1)  = 0°; Ф_е = 25 мкВм; 2)  = 45°; Ф_е = 18 мкВм; 3)  = 90°; Ф_е = 0.

Ответ: 1)  = 0°; Ф_е = 25 мкВм; 2)  = 45°; Ф_е = 18 мкВм; 3)  = 90°; Ф_е = 0.

Задача6. Бесконечно длинная нить, заряженная с линейной плот-ностью 6 нКл/м, находится на расстоянии 20 см от центра шара радиусом 1 см, заряженного с поверхностной плотностью 0,5 мкКл/м². Перпендикулярно нити расположена бесконечная плоскость, заряженная с поверхностной плот-ностью 18 пКл/м² и расположенная снизу шара. Найти величину и направление напряженности создаваемого ими электрического поля в точке А, расположенной на расстоянии 25 см от нити и 10 см от центра шара. Центр шара, нить и точка А лежат в одной плоскости (рис. 6).

Дано: d = 20 см = 0,2 м  = 6 нКл/м = 6109 Кл/м R = 1 см = 102 м 1 = 0,5 мкКл/м2 = 5107 Кл/м2 2 = 18 пКл/м2 = 181012 Кл/м2 r1 = 2,5 см = 0,25 м r2 = 10 см = 0,1 м

Найти: Е, .

Решение. Укажем направление векторов напряженностей электрических полей, создаваемых каждым заряженным телом, в точке А. Согласно принципу суперпозиции напряженность результирующего поля

= + + .(31)

Выберем оси координат Ох и Oу и запишем уравнение (31) в проекциях на них:

(32)

Oх: Е_x = Е_ш cos  + Е_н;

Oу: Е_у = Е_ш sin  + Е_п.

Напряженность поля заряженной нити Е_н, заряженной плоскости Е_п и заряженного шара Е_ш равна соответственно:

Е_н = ; (33)

Е_п = ; (34)

Е_ш = . (35)

Заряд шара можно найти через поверхностную плотность заряда и площадь поверхности шара S:

q = ₁S = ₁4R². (36)

Подставим выражение (36) для заряда в формулу (35):

Е_ш = . (37)

Как видно из рис. 6,

cos  = (38)

 = 60.

Подставим уравнения (33), (34), (35) и (28) в формулы (32):

Е_x = ; (39)

Е_у = . (40)

Подставив данные задачи, рассчитаем проекции Е_х и Е_у, величину и направление результирующей напряженности:

Е_х = 72 В/м; Е_у = 40 В/м; = 82 (В/м); = arctg = 29.

Ответ: Е_х  =  72 В/м; Е_у = 40 В/м; = 82 (В/м);  = arctg = 29.