Метод интегрирования по частям

Пусть и- две дифференцируемые в некоторой области функции. Тогда справедлива следующая формула:

, (1)

которая называется формулой интегрирования по частям и которая позволяет вычислить один из двух симметричных по форме интегралов, через другой.

Пример. Вычислить: .

Все необходимые вычисления будем проводить одновременно с применением приведенной выше формулы (1)

Здесь мы, кроме формулы (1), использовали уже разобранные примеры для вычисления интегралов от и.

Интегрирование рациональных дробей

1. Вычислить интеграл: .

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби по схеме:

.

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю. Тогда:

, откуда

4x+2≡A(x-1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-1)

при x=0 2=-2A , A=-1

при x=1 6=3B , B=2

при x=-2 -6=6C , C=-1

Итак

2. Вычислить интеграл: .

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби:

.

Следовательно х + 15  (А + В)х² + (С – 3В)х + 9А – 3С.

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях:

.

Итак:

.

Определенный интеграл

Определенные интегралы вычисляются по формуле Ньютона-Лейбница

,

где F(x) одна из первообразных функций для функции f(x).

Например,

;

.

Если для вычисления определенного интеграла требуется сделать подстановку u=(x) или x=(u), то перейдя под интегралом к новой переменной u, найдем пределы изменения этой переменной и вычисляем новый интеграл с новыми пределами: , где  и  определяются из уравнений ()=a; ()=b.

Примеры.

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна при а х <. По определению:

, называется несобственным интегралом.

Если предел справа равен конечному числу, то несобственный интеграл наывается сходящимся. Если предел равен бесконечности или не существует вообще, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Примеры.

.

Это значит, что несобственный интеграл расходится.

Таким образом, данный несобственный интеграл сходится.

Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Эти уравнения можно представить в виде:

y^/=f₁(x)f₂(y) или P₁(x)Q₁(y)dx+P₂(x)Q₂(y)dy=0.

Решения этих уравнений поясним на примерах.

Пусть y^/=ycosx; тогда ,dy=yсosxdx; . Интегрируя обе части полученного равенства, найдем ln=sinx+c, откуда y=e^sinx+c — общее решение данного уравнения.

Рассмотрим уравнение .

Разделим обе части полученного уравнения на .

Получим: .

Переменные х и у разделились в этом равенстве. Интегрируя его, найдем:.

Вычислим первый интеграл :

Пусть тогда,

.

Второй интеграл вычисляется аналогично: .

Следовательно,

—это общий интеграл данного уравнения.

Выражая из общего интеграла функцию у, можно найти общее решение дифференциального уравнения.

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение первого порядка называетсяоднородным, если f(x, y) является однородной функцией нулевого порядка, т.е. f(tx,ty)=t⁰f(x,y)=f(x,y).

Подстановкой , или, это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Находим ,. Делаем подстановку:. Тогда

Интегрируя, получим

.

Следовательно — общее решение данного уравнения.

3. Линейные дифференциальные уравнения.

Уравнение вида: гденепрерывные в некоторой области функции, называетсялинейным. Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой , действие которой покажем на примере.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Делаем подстановку , где u и v неизвестные пока функции аргумента х. Находим и подставляем значенияив данное уравнениеили. Выберем функциютак, чтобы. Тогда функциябудет находиться из уравнения. Таким образом, нахождение неизвестной функциисводится к последовательному нахождению функцийииз указанных уравнений:

Подставим это значение в уравнение . ПолучимилиИнтегрируя это равенство найдеми окончательно,— общее решение данного уравнения.