Образцы решений заданий контрольной работы № 3

Пример. Найти частные производные следующих функций:

1) ;

2) ;

3) .

1) Пусть .

Считая переменную константой, найдем

.

Считая константой переменную , получим:

.

2) Пусть . Тогда

.

3) Пусть . Тогда

;

;

Убеждаемся, что

Пример. Дана функция , точкаМ₀(2,-3) и вектор . Найтив точкеМ₀ и производную по направлению вектора в этой же точке.

Имеем .

Находим

;

;

;

.

Следовательно .

Далее, — производная по направлению векторав точкеМ₀.

Находим

Имеем: . Значит,Поэтому

Пример. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление стенки бака равна 8 рублей, а на изготовление дна и крышки – 6 руб. Определить размеры бака так, чтобы затраты на покупку материала, идущего на его изготовление, были наименьшими.

Решение. Площадь полной поверхности бака равна S=S_бок.+S_осн.=2 rh+2 r². Объем бака равен V= r²h, где r и h – радиус основания и высота бака соответственно. Стоимость материала, идущего на изготовление бака будет u(r, h)=2 rh8+2 r²6 (руб.). Нужно найти min этой функции, при условии, что r²h=V или r²h-V=0. Составим функцию:

F(r, h)=2 rh8+2r²6+( r²h-V)

Найдем ее производные по переменным r, h,  и приравняем их к нулю.

.

Из второго уравнения системы (при ) находим, откуда, тогда из первого уравнения получимили, т.е.. Подставляем это значение в третье уравнениеед. длины масштаба и тогдаед. длины масштаба.

Из экономического смысла задачи следует, что min функции u(r, h) существует, и будет определяться найденными значениями r и h. Очевидно также

или (руб.)

Пример. Экспериментально получены пять значений искомой функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице:

xi	1	2	3	4	5
yi	0,5	1	1,5	2	3

Методом наименьших квадратов найти искомую функциональную зависимость в виде . Экспериментальные точки и полученную прямую изобразить в системе координатXOY.

Запишем систему уравнений для нахождения коэффициентов k и b.

.

Учитывая, что n=5 и значения x_i и y_i известны, находим

;

;

;

Получаем

или , откуда.

Таким образом, наилучшее приближение к искомой зависимости в линейной форме имеет вид (см. рис.).

Методические указания и образцы решений заданий контрольной работы № 4

Интегральное исчисление

Таблица основных формул интегрирования:

Пример. Вычислить интеграл:

Преобразуем подынтегральное выражение

. Следовательно,

Здесь мы воспользовались свойствами неопределенного интеграла и формулами 2 и 1 таблицы интегралов. Сделаем проверку правильности интегрирования. Найдем .

что совпадает с преобразованным подынтегральным выражением.

Метод подстановки

Примеры. Вычислить интегралы:

1)

Проверка: ,

что совпадает с подынтегральным выражением.

2)

.

Проверка:

что и требовалось доказать.

3)

.

Проверка:— это и есть подынтегральное выражение.

4).

Аналогично находится: .

Замечание. В некоторых случаях подстановку удобнее сделать в виде . Например, (вывод формулы 12 из таблицы интегралов).

Возьмем , тогда. Найдем

.

Перейдем под интегралом к новой переменной . Получим:

.

Если тоЗаменяя в правой части переменнуюее значением получим окончательно: