Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет природообустройства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТМ задания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Пример Д2. Груз массой , прикрепленный к двум последовательно соединенным пружинам с коэффициентами жесткости c1 и c2 , перемещается относительно лифта. Лифт движется вертикально по закону x1 = f1 (t) (рис. Д2, а). Начальное удлинение пружины с эквивалентной жесткостью равноλ0 , а начальная скорость груза по отношению к лифту .

Дано:	= 0,5 кг,			= 240 Н/м, = 120 Н/м, λ0 =0,12 м, = 0,8 м/с.
= 2	+ 0,4			.
Определить:		x	= (2f (t)- закон движения груза по отношению к лифту.
		x		)

	C1
	C 2	Fy
	λu	Fy
	λu
	O	Fy x
		P
		Fпери
		x
		P
	a)	б)

Рис. Д.2

Решение. Заменим прикрепленные к грузу пружины одной эквивалентной пружиной с коэффициентом жесткости эк = . При последовательном соединении пружин

жесткость эквивалентной пружины

c =	c1 × c2			= 80 Н/м (2)
	c	+ c	2

	1

Составим дифференциальное уравнение относительного движения груза.

В положении статического равновесия груза эквивалентная пружина под действием силы тяжести P будет растянута на величину λСТ . Из условия равновесия следует, что åFix = 0 , P - Fy = 0 , mg - cλСТ = 0

λСТ = mgc = 0,06 м (3)

Начало координат поместим в положении статического равновесия груза, а ось направим в сторону удлинения пружины. Рассмотрим груз в произвольном положении, определяемом координатой >0 и изобразим действующие на него силы: силу тяжести , силу упругости Fy . Присоединим к этим силам переносную силу

инерции Fпери = −maпер . Тогда уравнение относительного движения в векторной форме будет иметь вид:

maотн = P + Fy + Fпери

Проектируя обе его части на ось

, получим:

m&x& = P − F

+ F и

(4)

пер

Найдем значения

пер

= c(x + λ

СТ

) ,

F и

= ma

пер

= m&x& ,

пер

где &x&1 - ускорение лифта. Из равенства (1) находим, что &x&1

= 4 −1,6cos(2t) . Подставляя

все эти величины в уравнение (4), получим:

m&x& = mg − c(x + λСТ ) + m[4 −1,6cos(2t)]

Т. к. mg − cλСТ = 0

&x&+

x = 4 −1,6cos(2t) .

−

Обозначим k 2 =

= 160 с-2,

= 4 м/с2,

1,6 м/с2.

Тогда &x&+ k 2 x = a + bcos(2t) (5)

Проинтегрируем уравнение (5). Его общим решением будет

x = x1 + x2

(6)

где x1 - решение однородного уравнения

(

)

(

)

(7)

а x2 - частное решение уравнения (5)

x2 = A + Bcos2t (8)

Для определения постоянных

находим

. Подставляем

значения x

&x&

в уравнение (5)

в его обеих частях свободные

и приравниваем ̈

−

члены и коэффициенты при cos2t. В результате, принимая во внимание соответствующие обозначения, получим:

A =	a	= 0,02 м, B =	b	= −0,01 м.
	k 2		k 2 − 4

Тогда из равенств (6), (7) и (8), учитывая k = 12,6 с-1, получим следующее общее решение уравнения (5)

x = c1 sin(12,6t) + c2 cos(12,6t) − 0,01cos(2t) + 0,02 (9)

Для определения постоянных интегрирования c1 и c2 найдем еще vx = x&

vx = 12,6c1 cos(12,6t) −12,6c2 sin(12,6t) + 0,02sin(2t) (10)

Из условия задачи при = 0. v0 = 0,8 м/с, x0 = λ0 − λСТ = 0,06 м.

Подставив эти начальные данные в уравнение (9) и (10), найдем из них, что c1 = 0,06 , c2 = 0,05 . В результате уравнение (9) примет вид:

x = 0,06 sin(12,6t) + 0,05 cos(12,6t) − 0,01cos( 2t) + 0,02

Это уравнение и определяет искомый закон относительного движения груза, т. е. закон совершаемых им колебаний.

Задача Д3

Тонкий гладкий стержень, расположенный в вертикальной плоскости, изогнут так, что состоит из прямолинейного участка и двух дуг окружностей радиуса R = 0,5 м, r = 0,6R, сопряженных в точке (рис. ДЗ.0 - Д3.9, табл. ДЗ). На стержень

нанизан шар весом P, прикрепленный к пружине с коэффициентом жесткости c = k PR ,

другой конец пружины закреплен в точке О. Длина пружины в недеформированном состоянии равна l0 . Шар начинает двигаться без начальной скорости из положения

B0 , определяемого углом α (при α = 90° считать шар чуть смещенным от равновесного положения); достигнув точки B1 , указанной на рисунке, шар

освобождается от пружины и дальше движется под действием только силы тяжести. Считая шар материальной точкой, определить, какую скорость он будет иметь, придя в точку D, и с какой силой будет давить на стержень в этой точке (силу давления выразить через вес Р шара). Положение точки D, когда она находится на дуге радиуса R, определяется углом β , а на дуге радиуса r - углом . На рис. 0 и 3 B1 произвольная

точка дуги ED.

Указания. Задача ДЗ - на применение теоремы об изменении кинетической энергии точки. Решая задачу, учесть, что теорему можно применить сразу на всем перемещении, совершаемом шаром от начального положения до положения, в котором надо определить его скорость. Когда скорость будет найдена, для определения силы давления шара на стержень изобразить шар в том положении, в котором эту силу надо определить, и составить уравнение движения в проекции на нормаль к траектории, направленную к центру соответствующей окружности, т. е.

уравнение mv2 / ρ = åFkn .

Таблица Д3

№			Для рис. 0-3						Для рис. 4-9
усл.
усл.	l0	k		α 0	β 0	γ 0	l0	k		α 0	β 0	γ 0
0	0,8R	8		30	45	-	2,8R	8		45	60	-

1	0,8R	36		45	-	60	2,4R	6		90	-	60

2	0,4R	15		60	90	-	2,2R	12		60	30	-

3	0,7R	6		30	-	0	2,8R	4		90	-	30

4	0,6R	12		45	90	-	2,4R	6		60	90	-

5	0,4R	10		45	-	30	2,6R	10		45	-	0

6	0,7R	50		60	30	-	2,2R	10		90	45	-

7	0,9R	12		30	-	90	2,5R	8		60	-	45

8	0,7R	20		45	60	-	2,6R	5		90	60	-

9	0,6R	30		60	-	45	3R	5		45	-	90

						33

B0	E				B1	D
α		B1			O	D
		B1			O
C	O	R	/ 2	C	β C1	γ	K
C	O			C	β C1		K
	β R	α			r
r	C1	D					D
	γ	D					D
	γ	B0
D		B0
D	K
	K
Рис. Д3.0				Рис. Д3.1
Рис. Д3.0

		K			D
	D		γ		D					B0
	D	C1	γ	r			D			B0
	R	C1		r			D
B1	O β		C			K	γ r	O	α	E
							C1		C
	R / 2						R	β		B1
				α	B0		D			B1
				α	B0		D

Рис. Д3.2

Рис. Д3.3

	B					B0
	1		D	B1
			D	B1
	β	R			30 0	α O
		C1	K		C	α O
B0	C	r	γ	β	C
B0			D	R	1
α			D	R	γ	r
α	O			D	γ	r
	O					D
					K	R

Рис. Д3.4	Рис. Д3.5

r γ C1 R D

O	R	β	B1
		C

α B0

Рис. Д3.6

βR

C	C1	γ r	K
B0		γ r
B0		D
		D
α	3R / 2	O	=	3	R
O		O	=	3	R
O		C		2

Рис. Д3.8

		O
		α	B0
D			B0
D	R
K γ r	R
K γ r		C
C1		300
R β			B1

Рис. Д3.7

	O	OC =	3	R
		OC =	3	R
	α	3R / 2	2
B0	α
B0		D
B1	C	rγ	K
	β	C1
	β	R

Рис. Д3.9

Пример Д3. Шар весом Р нанизан на расположенный в вертикальной плоскости гладкий стержень, который изогнут так, что состоит из прямолинейного участка и окружности радиуса R = 0,6 м. Шар прикреплен к пружине с коэффициентом

жесткости c = k PR . Другой конец пружины закреплен в точке О. Длина пружины в

недеформированном состоянии равна l0 . Шар начинает двигаться без начальной

скорости из положения В0, определяемого углом α ; достигнув точки В1, указанной на рисунке, шар освобождается от пружины и дальше движется под действием только силы тяжести. Считая шар материальной точкой, определить, какую скорость он будет иметь, придя в точку D, и с какой силой будет давить на стержень в этой точке (силу давления выразить через вес Р шара) .

Дано: Р, R = 0,6 м, l0 = 1,2R , c = k		P	, = 10, v0 = 0 ,	α = 60 0	, β = 300 .

Определить: 1.		R
	vD - скорость шара в точке D;
2.	ND - силу давления шара на стержень в точке D.

Решение.

Для

определения

рассмотрим

шар в произвольном положении.

Изобразим действующие на него силы:

(сила тяжести),

(реакция стержня),

(сила упругости пружины, действующая на участке

B0 B1 )

и применим теорему об

изменении кинетической энергии точки на участке B0 D .

mv2

mvB2

(1)

= A(P ) + A(N ) + A(F )

) = 0 ,

т.

к. сила

перпендикулярна

перемещению. A(

) = P × h ,

где

h = R × tgα + R cos β и A(

) = 1,56P .

B 0

Рис. Д3

Работа силы упругости F на перемещении B0 B1 определяется по формуле:

) =

(λ2

− λ2 ) =

(λ2

− λ2 ) ,

(2)

где λ0 и λ1 - начальное и конечное удлинение пружины:

= O

1,2R = 0,8R;

λ1

= OB1 − l0

= R −1,2R = −0,2R .

=10 равенство (2) дает результат – A(F ) = 1,8P

При

−

Подставляя найденные значения работ в уравнение (1), и учитывая, что v0 = 0 , а m = Pg , определим из него искомую скорость vD : vD = 65,8 = 8,1 м/с.

Для определения искомой силы давления рассмотрим шар в точке D и приложим

к нему силу тяжести

и реакцию

. Основное уравнение динамики ma =

спроектируем на нормальную ось, проведенную из точки D к центру О.

man = ND - P cos β , an =

vD2

= ND - P cos β

Откуда

N D =

mvD2

+ P cos β , ND = 12P Н

Сила давления

шара на стержень численно равна ND , но направлена в

противоположную сторону. Ответ: vD = 8,1 м/с, ND = 12P Н.

Задача Д 4		1		2
Механическая система состоит из грузов			и		(коэффициент трения грузов о
плоскость = 0,1), цилиндрического сплошного							ступенчатых
		однородного катка 3 и
шкивов 4 и 5 с радиусами ступеней	= 0,3 м,	= 0,1 м,				= 0,2 м, = 0,1 м (массу
каждого шкива считать равномерно	распределенной					по его внешнему ободу)

(рисунки Д4.0 – Д4.9, таблица Д4). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

Под действием силы = (s), зависящей от перемещения точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 4 и 5 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные

соответственно	и	.	Определить значение искомой величины в тот момент
времени, когда перемещение точки приложения силы						равно . Искомая величина

указана в столбце “ Найти “ таблицы, где обозначено:						- скорость груза 1,	-
скорость центра масс катка				,	- угловая скорость тела 4 и т. д.
Указания.	Задача Д		4 - на применение теоремы об изменении кинетической
			3

энергии системы. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел, входящих в систему: эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую3 ), которую нужно определить. При вычислении кинетической энергии катка , который совершает плоское движение, для установления зависимости между его угловой скоростью и скоростью

центра масс катка нужно воспользоваться понятием о мгновенном центре скоростей (кинематика). При определении работы сил все перемещения следует выразить через заданное перемещение , учтя, что зависимость между перемещениями будет такой

же, как между соответствующими скоростями. Когда по данным таблицы											= 0, груз
2 на чертеже не изображать; шкивы 4 и 5 всегда входят в систему.
Таблица Д4

Номер	,	,	,	,	,		,	,	F = (s),	,		Найти
услов.	кг	кг	кг	кг	кг	Н м		Н м	Н	м		Найти
услов.	кг	кг	кг	кг	кг	Н м		Н м	Н	м
0	2	0	4	6	0	0∙		0,8∙	50 (2 + 3s)	1,0
1	6	0	2	0	8	0,6		0	20 (5 + 2s)	1,2
2	0	4	6	8	0	0		0,4	80 (3 + 4s)	0,8
3	0	2	4	0	10	0,3		0	40 (4 + 5s)	0,6
4	8	0	2	6	0	0		0,6	30 (3 + 2s)	1,4
5	8	0	4	0	6	0,9		0	40 (3 + 5s)	1,6
6	0	6	2	8	0	0		0,8	60 (2 + 5s)	1,0
7	0	4	6	0	10	0,6		0	30 (8 + 3s)	0,8
8	6	0	4	0	8	0,3		0	40 (2 + 5s)	1,6
9	0	4	6	10	0	0		0,4	50 (3 + 2s)	1,4

5	2	4			4	3	5	1
					4	3

1
1			3					F
				2				F
								30


45		6 0			60
	Рис. Д4.0					Рис. Д4.1
			4			4
	3		4
	3				1		3
					1
5			1
5	30		1	F		30		5
	30				4 5			5
		60	F		4 5			2
2			F					2
2
45	Рис. Д4.2					Рис. Д4.3		60
	Рис. Д4.2					Рис. Д4.3

2	5		4	2	5
4	Рис.
3		1
	Д4.5				1

30	45	F	3	F
30	45		3	45
			60	45
Рис. Д4.4			Рис. Д4.5
4			4
2			2	1
			2	1
1	5		5	F
1	5		30
30
30	3	3		45
F
60	45		60
Рис. Д4.6			Рис.Д4.7

5	2	4	1		5	3	4
3				F	1
			3 0		F		2
45			3 0		30
	Рис.Д4.8				30	Рис.Д4.9
	Рис.Д4.8					Рис.Д4.9	60
							60

Пример Д4. Механическая система (рис. Д 4) состоит из груза 1, (коэффициент
трения груза о плоскость равен ), ступенчатого шкива 2 с радиусами ступеней											и
(масса шкива равномерно распределена по его внешнему ободу) и сплошного
цилиндрического катка 3. Тела системы соединены друг с другом нитями,
намотанными на шкив 2. Под действием силы						=		, зависящей от перемещения
точки ее приложения, система приходит в						движение из состояния покоя. При
точки ее приложения, система приходит в							( )
движении на шкив 2 действует постоянный момент							сил сопротивления.
Дано:	= 6 кг,	= 8 кг,	= 4 кг,		= 0,2 м,		= 0,1 м,		= 0,2,	= 0,6 H·м,
= 4 (2 + 3 ) H, = 2 м.
Определить: скорость груза 1, когда				= .
				N2		М2
				2		М2	3
		s1	1				3
		s1	1		Р2
		F		F1тр	Р2		Р3
		F		N1		N3
			45 Р1	N1		N3		30
								30

				Рис. Д4

Решение. 1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, соединённых нитями. Изобразим все действующие на систему внешние

силы: активные

, момент сопротивления

, реакции связей

силу трения

тр.

Для определения скорости груза

воспользуемся теоремой об

изменении кинетической энергии системы:

= ∑

(1)

Определим

Так как в

начальный момент система находилась в покое,

то

−

= 0. Величина кинетической энергии системы равна сумме кинетических энергий

всех тел системы:

+ + .

(2)

Учитывая, что тело 1 движется поступательно, шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси, а каток 3 – плоскопараллельно, получим


=		, =		,	=		+		.		(3)
=		, =		,	=		+		.		(3)
Все входящие сюда скорости выразим через искомую .
=	,	=	=			, =		=		.	(4)
=	,	=	=			, =		=		.	(4)
Входящие в (3) моменты инерции шкива (2) и катка (3) имеют значения:
		I2 =	,		=		.				(5)
		I2 =	,		=		.				(5)

Подставив все величины (4) и (5) в равенство (3), а затем используя равенство (2), получим окончательно:

= (		+		+				) .	(6)

3. Теперь найдём сумму работ всех действующих внешних сил при том перемещении, которое будет иметь система, когда тело 1 пройдёт путь . Все перемещения выразим через заданное перемещение груза 1. Зависимость между перемещениями будет такой же, как и между соответствующими скоростями в равенствах (4), т.е.

= / , = (

∫

sin

∫

(2 + 3 )

). В результате получим:

тр

−

(

) =

= 2 (4 + 3 ),

−

sin

−

(

) =

(

) =

−

(

) =

sin 45

(

) =

sin 30 .

4. Работа остальных сил равна нулю, так как точка О, где приложены

неподвижна,

а реакции

перпендикулярны

перемещениям

точек

их

приложения. Тогда окончательно сумма работ всех внешних сил будет равна:

∑ = 2 (4

+ 3 ) +

sin 45°

−

sin 45°

−

sin 30°.

(7)

5. Подставив (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что

= 0, получим

° −

−

(

)

= 2 (4

+ 3

) +

sin 45

sin 30 .

(8)

Подставляя числовые значения и решая равенство (8), определим искомую скорость груза 1.

Ответ: = 14,85 м/с.

Задача Д5

Вертикальный вал АК (рис. Д5.0-Д5.9, табл. Д5), вращающийся с постоянной угловой скоростью ω = 10 рад / с , закреплен подпятником в точке А и

цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д4 в столбце 2 (АВ = ВD =
=DЕ = ЕК = b). К валу жестко прикреплены невесомый стержень 1 длиной l1 = 0,4 м с
точечной массой	1 = 6 кг на конце и однородный стержень 2 длиной l2 = 0,6 м,
имеющий массу т2 = 4 кг; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления
стержней к валу указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы α и β		– в столбцах 5 и 6.
Пренебрегая весом	вала, определить реакции подпятника и	подшипника. При

окончательных подсчетах принять	= 0,4 м.
Указания. Задача Д5 – на применение к изучению движения системы принципа
Даламбера. При решении задачи	учесть, что когда силы			инерции	частиц тела
(в данной задаче стержня 2) имеют равнодействующую			И ,	то численно R И = maC ,
		R
где aC – ускорение центра масс С стержня, но линия действия силы						И в общем
					R
случае не проходит через точку С (см. пример Д5).
	40

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.04.2015357.89 Кб55Технология виноделия. Лабораторные работы. ч.2.doc
#
09.04.201543.86 Кб42Технология.docx
#
09.04.2015141.82 Кб84Типовой план счетов бухгалтерского учета.doc
#
15.03.2016140.29 Кб21типовые задачи к экзамену.doc
#
09.04.2015459.81 Кб177ТКП 8.003-2011 (03220).pdf
#
09.04.20152 Mб32ТМ задания.pdf
#
15.03.2016311.81 Кб175ТОТ (шпоры).doc
#
15.03.2016801.79 Кб173ТУА ПНЕВМОАВТОМАТИКА.doc
#
15.03.2016757.25 Кб19тхк курсач.doc
#
09.04.201546.16 Кб19тхк.doc
#
09.04.2015302.87 Кб9учет имущества банка.pdf