ТМ задания
.pdf
Пример С1. Жесткая рама закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена к шарнирной опоре на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.
Рис. С1.а
Дано: F=20 кН, q=10 кН/м, М=60 кН м, l=0,4 м, α =60°, β =30°.
Определить: реакции в опорах А и В, вызываемые действующими нагрузками. Решение. Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на раму силы: силу F , пару сил с моментом М и равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q на участке длиной 2l. Реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими X A и YA .
Реакция RB шарнирной опоры на катках В направлена перпендикулярно опорной плоскости (рис. C1.a). Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении моментов сил F и RB относительно точки А
воспользуемся теоремой Вариньона, т. е. разложим эти силы на составляющие и возьмем момент от каждой составляющей:
mA (F ) = mA (Fx ) + mA (Fy )
где Fx= F cosα , Fy= F sinα .
Получим:
åFix = X A - F cosα - Q - RB sin β = 0 ;
åFiy = YA - F sinα + RB cosβ = 0;
åmA (Fi ) = -M + F cosα ×3l - F sinα × 2l + Q × 2l + RB cosβ × 4l = 0,
11
где Q = q × 2l =10 × 2 × 0,4 = 8 кН.
Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определяем искомые величины.
Ответ: XА = 38 кН, YА = – 17 кН, RB = 40 кН. Знаки указывают, что сила YA имеет направление, противоположное к указанному на рис. С1.a.
Задача С2
Однородная прямоугольная плита весом Р = 4 кН со сторонами АВ=3l, ВС=2l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В - цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС
(рис. С2.0-С2.9).
На раму действует пара сил с моментом М = 200 Нм и две силы, значения которых, направления и точки приложения указаны в табл. С2; при этом силы F1 и F4 лежат в плоскостях, параллельных плоскости ху, сила F2 - в плоскости, параллельной xz, сила F3 в плоскости, параллельной yz. Точки приложения сил (D, Е,
Н) находятся в серединах сторон плиты.
Определить реакции связей в точках А, В и С. При подсчетах принять l= 0.6 м.
Таблица С2
Указания. Задача С2 - на равновесие тела под действием пространственной системы сил. При ее решении учесть, что реакция сферического шарнира А имеет три составляющие, а реакция цилиндрического шарнира В (подшипника) - две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира.
12
13
При вычислении момент ов силы F тоже часто удобно разло жить ее на составляющие F ' и F '', параллельные координатным осям; тогда по теореме Вариньона: mx (F ) = mx (F ') + mx (F '')
Пример С2. Горизонтальная прямоугольная плита весом P (рис. С2.а) закреплена сферическим шарниром в точке А и цилиндрическим - в точке В и невесомым стержнем CD, лежащим в плоскости, параллельной плоскости zy. На плиту действуют сила F1 , расположенная в плоскости, параллельной плоскости zx, сила F2 , параллельная оси у, и пара сил с моментом М (в плоскости плиты).
Дано: Р= 5 кН, М= 4 кНм, F1 = 6 кН, F2= 3 кН, α = 30°, AB=AL=2l,
AE=EL=FK=l, 1= 0.6 м.
Определить: реакции опор А, В и стержня CD.
14
Рис. С2.а
Решение. Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют заданные силы P, F1 , F2 и пара сил с моментом М, а такж е реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие xA, уА, zA, цилиндрического (подшипника)-на две составляющие xB , zB . Реакцию стержня CD направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут.
Плита находится в равновесии под действием пространственной системы сил, уравнения равновесия для которой имеют вид:
åFix = 0, xA + xB + F1 cosα = 0 ;
åFiy = 0, yA + F2 - N cos600 = 0 ;
åFiz = 0, zA + zB - P + F1 sinα + N sin 600 = 0 ; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
æ AF |
|
ö |
|
0 |
|
|
|
åmx (Fi ) = 0, |
- |
- N cos30 |
×CO = 0 |
; |
||||||
zA × AB + F1 sinα × AB - Pç |
BF ÷ |
|
||||||||
|
|
|
è 2 |
|
ø |
|
|
|
|
|
åmy (Fi ) = 0, - F1 sinα × AE + P × AE - N cos300 × FC = 0 ;
åmz (Fi ) = 0, - xA × AB - F1 cosα × AB - M - N cos 600 × FC + F2 × KF = 0 .
При определении моментаа силы F1 , относительно осей координат разлагаем силу F1 на составляющие: Flx =Fl cosα и F1z = Fl sinα и применяем теорему
Вариньона. При этом следует помнить, что если линия действия силы параллельна оси или ее пересекает, то ее момент относительно этой оси равен нулю. Также можно вычислить и момент силы N .
Подставив в полученные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений, найде м, чему равны значения искомых реакций.
Ответ: хA= –7,6 кН, уA= -2,4 кН, zA=0,63 кН, хB=2,5 кН, zB=0,34 кН, N=1,2 кН. Знаки указывают, что силы xA , yA направлены противоположно показанным на рис. С2.а.
15
КИНЕМАТИКА Задача К1
Плоский механизм состои т из стержней 1-4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опо рами O1 и О2 шарнирами (рис. К1.0-К 1.9). Длины стержней: l1=0,4м, l2 = 1,2м, l3 = 1,4м, l4 = 0,8м. Положение механизма определяется углами α, β , γ ,ϕ , θ , которые вместе с другими величинами заданы в табл. К1.
Точка D на всех рисунках и точка К на рис. K1.0, K1.1, К1.9 в середине соответствующего стержня. Определить численно и показать на схеме направление
угловых скоростей каждого звена и линейные скорости всех указа нных точек механизма. Найти также ускорен ие aA точки А стержня 1, если стержень 1 имеет в
данный момент времени угловое ускорение ε1 =10рад / c2 .
Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построен ии чертежа должны откладываться соответствующие углы, т. е. по ходу или против хода часовой
стрелки. Построение |
чертежа |
начинать |
со стержня, направлени е которого |
определяется углом α . |
Заданну ю |
угловую скорость считать направленной против |
|
хода часовой стрелки, а заданную скорость vB |
– от точки В к b. |
||
Рис. К1.0 |
Рис. К1.1 |
Рис. К1.2 |
Рис. К1.3 |
16
Рис. К1.4 |
Рис. К1.5 |
Рис. К1.6 |
Рис. К1.7 |
Рис. К1.8 |
Рис. К1.9 |
17
Таблица К1
Номер условия |
|
|
Угл ы |
|
|
|
Дано |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α0 |
β0 |
γ0 |
θ0 |
φ0 |
w1, рад/с |
w4, рад/с |
vB, м/с |
|
0 |
30 |
120 |
120 |
60 |
0 |
4 |
– |
– |
1 |
0 |
60 |
30 |
120 |
0 |
– |
– |
6 |
2 |
30 |
150 |
120 |
60 |
0 |
2 |
– |
– |
3 |
60 |
60 |
60 |
120 |
90 |
– |
3 |
– |
4 |
0 |
120 |
120 |
60 |
0 |
– |
– |
10 |
5 |
90 |
120 |
90 |
60 |
90 |
3 |
– |
– |
6 |
0 |
150 |
30 |
60 |
0 |
– |
4 |
– |
7 |
60 |
150 |
120 |
30 |
90 |
– |
– |
8 |
8 |
30 |
120 |
30 |
60 |
0 |
5 |
– |
|
9 |
90 |
150 |
120 |
30 |
90 |
– |
5 |
– |
Указания. Задача К1 - на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и
угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, п рименяя эту
теорему или построив мгновенн ый центр скоростей к каждому звену механизма в отдельности.
Пример K1. Механизм состоит и з стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами O1 и О2 шарнирами (рис. К1.а).
Рис. К1.а
18
Рис. К1.б
Дано: w1 = 2рад/с, l1= 0,4 м, l2 = 1,2 м, l3 = 1 м, l4 = 0,8 м, α = 60°, β = 120°, θ = 60°, γ =30°, ϕ = 90°.
Определить: vB, vE, w2, w3.
Решение. Строим положение механизма в соответствии с заданн ыми углами (рис. К1.б). В данном механи зме стержни 1 и 4 вращаются, стержни 2 и 3 совершают плоское движение.
Определяем VA : vA = w1 ×l1 = 2 ×0,4 = 0.8.м/с; vA ^ O1 A и направлен а в сторону вращения кривошипа О1А. Точка А принадлежит одновременно и стержню АЕ. Чтобы
для стержня АЕ построить мгновенный центр скоростей, необходимо знать линию, вдоль которой направлена скороость еще какой-либо точки звена. Так как точка Е также принадлежит и стержню О2Е, тоvE ^O2 E . Восстановив из точек А и Е
перпендикуляры к направлениям их скоростей, найдем положение МЦС Р2 звена АЕ (рис. K1.б). Скорость точки А ка к точки стержня АЕ, который совершает мгновенное вращательное движение вокруг центра Р2, найдем по формуле: vA = w2 × A P2 ,
откуда w2 = APvA2 = 10..28 = 0.66 рад/с.
Направление w2 устанавливаем по направлению vA по отношению к мгновенному центру скоростей Р2 звена АЕ.
Определяем величину vE и vD :
vE = w2 × EP2 = 0.66×1.2= 0.8 м/с,
vD = w2 × DP2 = w2 × AP2 sin 600 = 0.66 ×1.2 × 0.86 = 0.68 м/с
Направляем vD ^ DP2 , vE ^ EP2 в соответствии с направлением w2. Аналогично, зная величину и направление vD (точка D - это также и точка стержня DB) и учитывая, что vB направлена вдоль вертикальных направляющих, строим МЦС Р3 для стержня DB и с его помощью определяем w3 и vB:
v |
D |
= w × DP , откудаа w |
= |
vD |
= |
|
|
|
vD |
= |
0.68 |
= 0.34 рад/с, |
||||
DP |
|
l |
|
sin 300 |
0.5 |
|||||||||||
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
B |
= w × BP = w ×l |
3 |
cos300 |
= 0.34 ×1× 0.86 = 0.3 м/с. |
|||||||||
|
|
|
3 3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Направление w3 устанавливаем по направлению vD по отношению к МЦ С Р3 стержня DB. vB направляем в соответствиии с направлением w3.
19
Задача К2
Прямоугольная пластина (рис. К2.0 – К2.4) или круглая пластина радиуса R = 60 см (рис. К2.5-К2.9) вращ ается вокруг неподвижной оси по зако ну ϕ = f1 (t) , заданному в табл. К2. Положительное направление отсчета угла ϕ показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 3, 8, 9 ось вращения перпендикулярна
плоскости и проходит через то чку О (пластина вращается в своей плоскости); |
на |
||
рис. 4, 5, 6, 7 ось вращения OO1 вертикальная. |
радиуса |
R |
|
По |
пластине вдоль прямой BD (рис. 0-5) или по окружности |
||
(рис. 6-9) |
движется точка М ; за кон ее относительного движения, т. е. |
зависимость |
|
s = AM = f2(t), где s выражена в сантиметрах, t - в секундах, задан в табл. К2 отдельно для рис. К2.0-К2.5 и для рис. К2.6-К2.9, при этом на рис. 6-9 s = AM и от считывается по дуге окружности; там же даны и размеры b и l. На всех рисунках точка М показана в положении, при котором s =AM >0 (при s< 0 точка М находится по другую сторону от точки А).
Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент
t= 1c.
Рис. К2.0 |
Рис. К2.1 |
|
|
Рис. К2.2 |
Рис. К2.3 |
20