2 Матричные игры с нулевой суммой

Будем рассматривать игры, в которых у каждого из двух игроков А и В конечное число возможных действий – чистых стратегий. Допустим, что игрок А располагает m чистыми стра­тегиями А₁,..., А_m, а игрок В - n чистыми стратегиями В₁,..., В_n. Чтобы игра была полностью определенной, необходимо ука­зать правило, сопоставляющее каждой паре чистых стратегий А_i и В_j число а_ij - выигрыш игрока А за счет игрока В или проигрыш игрока В.

Рассматриваем парные игры с нуле­вой суммой, в которых выигрыш одного игрока равен проиг­рышу другого. При а_ij < 0 игрок А платит игроку В сумму |a_ij|. Если игра состоит только из личных ходов, то выбор пары чи­стых стратегий (А_i; В_j) единственным образом определяет ис­ход (результат) игры. Если же в игре используются случай­ные ходы, то исход игры определяется средним значением выигрыша (математическим ожиданием). Если известны зна­чения а_ij для каждой пары (А_i; В_j) чистых стратегий, то можно составить матрицу игры – платежную матрицу (таблица 7.1), яв­ляющуюся табличной записью функции выигрыша.

Таблица 7.1 – Платежная матрица игры

Аi	Вj			αi
	В1	…	Вn
А1	а11	…	a1п	α1
…	…	…	…	…
Am	am1	…	amn	αm
βj	β1	…	βn

В теории матричных игр всегда предполагается, что в платежной мат­рице записаны выигрыши игрока А. Напомним, что выигры­ши могут выражаться и отрицательными числами. Это озна­чает, что в подобном случае фактически выигрывает игрок В. Описанные игры называют прямоугольными, или матричны­ми. Отдельная партия в такой игре реализуется следующим образом. Игрок А выбирает одну из строк платежной матрицы (одну из своих чистых стратегий). Не зная результата его вы­бора, игрок В выбирает один из столбцов (свою чистую страте­гию). Элемент матрицы, стоящий на пересечении выбранных строки и столбца, определяет выигрыш игрока А (проигрыш игрока В).

3 Решение матричных игр в чистых стратегиях

Целью участников любой матричной игры является выбор наиболее выгодных стратегий, доставляющих игроку А макси­мальный выигрыш, а игроку В минимальный проигрыш. Стра­тегию игрока А называют оптимальной, если при ее примене­нии выигрыш игрока А не уменьшается, какими бы стратеги­ями не пользовался игрок В. Оптимальной для игрока В на­зывают стратегию, при использовании которой проигрыш иг­рока В не увеличивается, какие бы стратегии не применял игрок А.

Предположим, что игроку А надлежит сделать свой выбор. Анализируя платежную матрицу (см. таблицу 7.1), он для каж­дой чистой стратегии A_i () сначала найдет минималь­ное значениеα_i ожидаемого выигрыша: (), а затем из всехα_i выделит наибольшее и выберет соответствующую ему чистую стратегию. Это и будет наи­более предпочтительная (гарантирующая) в данных условиях стратегия игрокаА. Ее называют максиминной, поскольку она отвечает величине

(7.1)

Число α, определяемое по формуле (7.1), называется ниж­ней чистой ценой игры (максимином). Оно показывает, какой минимальный выигрыш может получить игрок А, правильно применяя свои чистые стратегии при любых действиях игро­ка В.

В свою очередь, игрок В, стремясь минимизировать проиг­рыш, при выборе наиболее предпочтительной стратегии исполь­зует принцип осторожности так: сначала он для каждой чистой стратегии В_j () найдет максимально возможный про­игрыш(), а затем средиβ_j вы­берет минимальное значение , которому и будет со­ответствовать искомая чистая стратегия. Ее называютми­нимаксной, так как она соответствует величине

(7.2)

Число β, определяемое по формуле (7.2), называется верх­ней чистой ценой игры (минимаксом). Оно показывает, какой максимальный проигрыш может быть у игрока В при пра­вильном выборе им своих чистых стратегий независимо от действий игрока А.

Если в матричной игре нижняя и верхняя чистые цены совпадают, т.е. α = β, то эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры ν = α = β. Оптимальными для игроков будут соот­ветственно максиминная и минимаксная стратегии, а чистой ценой игры – седловой элемент платежной матрицы. Если игра седловой точки не имеет, то решение игры затрудняется

Таким образом, правильно используя чистые стратегии, игрок А обеспечит себе выигрыш не меньше α, а игрок В в результате правильного применения своих чистых стратегий не позволит игроку А выиграть больше, чем β.