
- •Оглавление
- •Общие сведения об электрических и радиотехнических цепях
- •Главные задачи электротехники и радиотехники
- •Радиотехнический канал связи
- •Классификация сигналов
- •Вопросы и задания для самопроверки:
- •Сигналы и их основные характеристики
- •Энергетические характеристики вещественного сигнала
- •Корреляционные характеристики детерминированных сигналов
- •Вопросы и задания для самопроверки:
- •Сигналы и спектры
- •Спектры сигналов
- •Простейшие разрывные функции
- •Методы анализа электрических цепей
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Спектральный анализ сигналов
- •Представление периодического воздействия рядом Фурье
- •Спектры амплитуд и фаз периодических сигналов
- •Спектральный анализ цепи
- •Представление непериодического воздействия интегралом Фурье
- •Спектральные плотности амплитуд и фаз непериодических сигналов
- •Примеры определения спектральной плотности сигналов
- •Определение активной длительности сигнала и активной ширины его спектра
- •Вопросы и задания для самопроверки:
- •Комлексная передаточная функция и частотные характеристики цепи
- •Спектральный анализ цепей при непериодических воздействиях
- •Вопросы и задания для самопроверки гл. 5, 6:
- •Представление непериодических сигналов интегралом лапласа
- •Вопросы и задания для самопроверки:
- •Электрические цепи радиотехнических сигналов
- •Цепи с распределенными параметрами
- •8.1.1 Длинные линии и телеграфные сигналы
- •8.1.2. Коэффициент отражения, стоячие и смешанные волны
- •8.1.3. Задерживающие цепи (Линия задержки)
- •Частотный принцип преобразования радиотехнических сигналов
- •8.2.1 Модулированные сигналы и их спектры
- •8.2.2. Электрические фильтры
- •8.2.3. Нелинейный элемент и воздействие на него одного сигнала.
- •8.2.4. Воздействие на нелинейный элемент двух сигналов.
- •Вопросы и задания для самопроверки:
- •Литература
- •107996, Москва, ул. Стромынка, 20
Вопросы и задания для самопроверки:
Чем отличаются понятия полная и средняя мощность (энергия) сигнала
?
Что включает понятие взаимная энергия (мощность) сигналов
и
?
Поясните смысл в аддитивности (ортогональности) сигналов
и
.
Чем отличаются понятия автокорреляционная и взаимная корреляционная функции?
Когда автокорреляционная (или взаимная корреляционная) функция равна нулю или единице?
Что понимается под АКФ 𝜓(t) детерминированного сигнала? Какой смысл имеет переменная τ?
Какой вид имеет АКФ периодического сигнала? Приведите простейший пример.
Как определяется ВКФ
(t) двух сигналов
и
? Выразите ВКФ через их свертку.
В чем состоит различие свойств ВКФ
(t) и АКФ 𝜓(t)?
Сигналы и спектры
Спектры сигналов
В
обычном
трехмерном пространстве важную роль
при анализе трехмерных объектов играет
система координат. Аналогичную структуру
можно ввести в линейное пространство
сигналов. Если в пространстве L
можно
найти N
линейно
независимых элементов,
а любыеN+1
элементов этого пространства линейно
зависимы, то говорят, что пространство
L
является
конечномерным
и имеет размерность
N.
Множество
,
,...,
,,....
,
в этом случае называетсябазисом
для L.
В
теории
сигналов базис служит для анализа
структуры сложных сигналов и для
сравнения сигналов друг с другом.
При заданном базисе любой сигнал из L можно однозначно представить в виде ряда
где Sn— вещественные или комплексные коэффициенты.
Если
в пространстве L
каждый
раз можно найти систему из произвольно
большого числа,
,...,
,,....
линейно независимых элементов, то
пространство L
называется
бесконечномерным.
В бесконечномерном
пространстве базисом
называется
такая последовательность элементов
,
,...,
,,....
когда любой элемент из L
можно
однозначно представить в виде
Бесконечномерное пространство возникает при анализе аналоговых сигналов. Для анализа дискретных сигналов, заданных с помощью конечного числа N отсчетов, N-мерное пространство.
Пусть
задана базисная система функций
,
,...,
,..,
попарно ортогональных друг к другу
и обладающих единичными нормами
(
Такая базисная система называется ортонормированной.
Разложим произвольный сигнал в ряд по ортонормированному базису
Представление
(3.1) называется обобщенным рядом Фурьедля сигналаsв заданном
пространстве. Коэффициентыряда Фурье находят просто. Умножим
скалярно обе части (3.1) на базисную
функцию
учитывая
ортонормированность функций
и свойства скалярного произведения
получим простую формулу для расчетакоэффициентов обобщенного ряда Фурье:
Например, для аналогового сигнала s(t) коэффициенты ряда находим по формуле:
Совокупность
коэффициентов
называют
спектральной
характеристикой
или просто спектром
сигнала [1, 2]. Спектр дает полное и точное
описание произвольного сигнала с помощью
счетного множества коэффициентов
.
Для
множества сигналов наборы коэффициентов
в
свою очередь образуют вещественное или
комплексное числовое пространство,
причем скалярные произведения в
функциональном и числовом пространствах
одинаковы. Если
и
,
то (X,Y) = (x,y)
для одинаковых сигналовX=Yполученное равенство превращается в
соотношение для норм, называемоеравенством Парсеваля:
Физический смысл полученного выражения для пространства L2 следующий: энергия сигнала равна сумме энергий всех компонент, из которых складывается обобщенный ряд Фурье.
Это
значит для разных форм представления
сигнала
:
- в виде временной
функции (см п. 2.1);
в виде корреляционной
функции (см п. 2.2);
в виде спектральной
функции (см п. 4.5),
.
Если
использовать в качестве ортогональных
базисных функций 1,
где
n
= 1, 2, ….то
получим ряд Фурье. Ряд Фурье используется,
если сигнал s(t)
L2(T)
представлен
на ограниченном временном отрезке [0,
T],
либо сигнал является периодическим
с периодом Т.
Ряд Фурье записывается в разных формах:
тригонометрической,
комплексной, интегральной (см.
Глава 4 настоящей работы).
Также
в качестве базисных функций используют:
функции Лежандра;
Чебышева, Эрмита и Лагерра; на основе
которых осуществляется разложение
непрерывной функцииf(x)
в обобщенные ряды Фурье [1, 2].При
проведении теоретических исследований
и при решении задач удобно использовать
преобразование
Лапласа (см.
п. 7 настоящей работы).
Это преобразование вводится для всех
сигналов s(t),
тождественно
равных нулю при t
<
0 и возрастающих не быстрее
где
— вещественное число, причем
>
0.
Преобразование
Лапласа можно получить как обобщение
преобразования Фурье, обозначая
Для
анализа cигналов
заданных
на всей временной оси
,
в
настоящее время часто используются
негармонические базисные функции
вейвлеты
(wavelet)
[2]. Название "вейвлет", переводится
на русский язык как "маленькая волна".
Вейвлет представляется функцией
осциллирующей
в некотором временном интервале подобно
волне и быстро затухающей вне него. При
этом функция
должна
иметь нулевое среднее значение
На
рис. 3.1 показаны графики двух вейвлетов:
мексиканская шляпа
и
Хаара
.
а) б)
Рис. 3.1. Графическое изображение вейвлетов: а) – мексиканская шляпа, б) - Хаара
Общий
принцип построения базиса на основе
вейвлета состоит в использовании
масштабирования (сжатия или растяжения)
базисной функции во времени и сдвига
(смещения) ее по временной оси. Таким
образом, вейвлеты — это функции,
где:а
– масштаб,
b
– сдвиг.
Коэффициент
перед функцией
введен
для сохранения нормы сигнала
(R).
Чем
больше масштаб
,
тем
медленнее изменяется и более
«крупномасштабно» выглядит вейвлет.
Чем меньше
,
тем более высокочастотные и
быстроизменяющиеся составляющие
описывает вейвлет. Понятие частоты
из классического гармонического
спектрального анализа
в вейвлет-анализе заменено масштабом
.
Используя
сдвиг
вейвлета по оси времени, проводим анализ
свойств сигнала в разных точках временной
оси. Такой сдвиг не предусмотрен в
гармоническом анализе. Поэтому вейвлеты
удобно использовать при анализе
нестационарных сигналов, когда кроме
информации о выявленных частотах
нужно получить данные о моментах времени,
при которых эти частоты возникают или
исчезают.
Подобно тому как аналоговые воздействия были представлены преобразованиями Фурье и Лапласа, дискретные воздействия представляются Z-преобразованием [1, 2]. Дискретные цепи описываются во временной области разностными уравнениями, а на комплексной плоскости — передаточной функцией комплексного переменного Z. Расчет реакции дискретной цепи на дискретное воздействие может быть осуществлен как временным методом, так и с помощью передаточных функций и Z-преобразования. Методы анализа дискретных цепей описаны в [1, 2, 3].