Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
eltekh / 3 Семестр / РАДИОТЕХНИКА / Радиотехника Часть 1 (лекции).docx
Скачиваний:
1715
Добавлен:
09.04.2015
Размер:
4.24 Mб
Скачать
    1. Вопросы и задания для самопроверки:

  1. Чем отличаются понятия полная и средняя мощность (энергия) сигнала ?

  2. Что включает понятие взаимная энергия (мощность) сигналов и?

  3. Поясните смысл в аддитивности (ортогональности) сигналов и.

  4. Чем отличаются понятия автокорреляционная и взаимная корреляционная функции?

  5. Когда автокорреляционная (или взаимная корреляционная) функция равна нулю или единице?

  6. Что понимается под АКФ 𝜓(t) детерминированного сигнала? Какой смысл имеет переменная τ?

  7. Какой вид имеет АКФ периодического сигнала? Приведите простейший пример.

  8. Как определяется ВКФ (t) двух сигналов и? Выразите ВКФ через их свертку.

  9. В чем состоит различие свойств ВКФ (t) и АКФ 𝜓(t)?

  1. Сигналы и спектры

    1. Спектры сигналов

В обычном трехмерном пространстве важную роль при анализе трехмерных объектов играет система координат. Аналогичную струк­туру можно ввести в линейное пространство сигналов. Если в про­странстве L можно найти N линейно независимых элементов, а лю­быеN+1 элементов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что пространство L является конечномерным и имеет раз­мерность N. Множество , ,...,,,.... , в этом случае называет­сябазисом для L. В теории сигналов базис служит для анализа струк­туры сложных сигналов и для сравнения сигналов друг с другом.

При заданном базисе любой сигнал из L можно однозначно пред­ставить в виде ряда

где Sn— вещественные или комплексные коэффициенты.

Если в пространстве L каждый раз можно найти систему из произ­вольно большого числа, ,...,,,.... линейно независимых эле­ментов, то пространство L называется бесконечномерным. В беско­нечномерном пространстве базисом называется такая последовательность элементов , ,...,,,.... когда любой элемент из L можно однозначно представить в виде

Бесконечномерное пространство возникает при анализе аналого­вых сигналов. Для анализа дискретных сигналов, заданных с помо­щью конечного числа N отсчетов, N-мерное простран­ство.

Пусть задана базисная система функций , ,...,,.., попарно ор­тогональных друг к другу и обладающих единичными нормами

(

Такая базисная система называется ортонормированной.

Разложим произвольный сигнал в ряд по ортонормированному ба­зису

Представление (3.1) называется обобщенным рядом Фурьедля сигналаsв заданном пространстве. Коэффициентыряда Фурье находят просто. Умножим скалярно обе части (3.1) на базисную функцию

учитывая ортонормированность функций и свойства скалярного произведенияполучим простую формулу для расчетакоэффициентов обобщенного ряда Фурье:

Например, для аналогового сигнала s(t) коэффициенты ряда находим по формуле:

Совокупность коэффициентов называют спектральной харак­теристикой или просто спектром сигнала [1, 2]. Спектр дает полное и точное описание произвольного сигнала с помощью счетного множе­ства коэффициентов . Для множества сигналов наборы коэффици­ентов в свою очередь образуют вещественное или комплексное числовое пространство, причем скалярные произведения в функцио­нальном и числовом пространствах одинаковы. Если и , то (X,Y) = (x,y) для одинаковых сигналовX=Yполученное равенство превращается в соотношение для норм, называемоеравенством Парсеваля:

Физический смысл полученного выражения для пространства L2 следующий: энергия сигнала равна сумме энергий всех компонент, из которых складывается обобщенный ряд Фурье.

Это значит для разных форм представления сигнала :

- в виде временной функции (см п. 2.1);

в виде корреляционной функции (см п. 2.2);

в виде спектральной функции (см п. 4.5),

.

Если использовать в качестве ортогональных базисных функций 1, где n = 1, 2, ….то получим ряд Фурье. Ряд Фурье используется, если сигнал s(t)L2(T) представлен на ограниченном временном отрезке [0, T], либо сигнал является периодиче­ским с периодом Т. Ряд Фурье записывается в разных формах: тригонометрической, комплексной, интегральной (см. Глава 4 настоящей работы). Также в качестве базисных функций используют: функции Лежандра; Чебышева, Эрмита и Лагерра; на основе которых осуществляется разложение непрерывной функцииf(x) в обобщенные ряды Фурье [1, 2].При проведении теоретических исследований и при решении задач удобно использовать преобразование Лапласа (см. п. 7 настоящей работы). Это преобразование вводится для всех сигналов s(t), тождественно равных нулю при t < 0 и возрастающих не быстрее где— вещественное число, причем> 0.

Преобразование Лапласа можно получить как обобщение преобра­зования Фурье, обозначая

Для анализа cигналов заданных на всей временной оси, в настоящее время часто используются негармонические базисные функции вейвлеты (wavelet) [2]. Название "вейвлет", переводит­ся на русский язык как "маленькая волна". Вейвлет представляется функцией осциллирующей в некотором временном интервале подобно волне и быстро затухающей вне него. При этом функция должна иметь нулевое среднее значение

На рис. 3.1 показаны графики двух вейвлетов: мексиканская шляпа и Хаара .

а) б)

Рис. 3.1. Графическое изображение вейвлетов: а) – мексиканская шляпа, б) - Хаара

Общий принцип построения базиса на основе вейвлета состоит в использовании масштабирования (сжатия или растяжения) базис­ной функции во времени и сдвига (смещения) ее по временной оси. Таким образом, вейвлеты — это функции, где:амасштаб, bсдвиг. Коэффициент перед функциейвведен для сохранения нормы сигнала(R).

Чем больше масштаб , тем медленнее изменяется и более «крупномасштабно» выглядит вейвлет. Чем меньше , тем более высо­кочастотные и быстроизменяющиеся составляющие описывает вейв­лет. Понятие частоты из классического гармонического спектрального анализа в вейвлет-анализе заменено масштабом .

Используя сдвиг вейвлета по оси времени, проводим анализ свойств сигнала в разных точках временной оси. Такой сдвиг не пре­дусмотрен в гармоническом анализе. Поэтому вейвлеты удобно ис­пользовать при анализе нестационарных сигналов, когда кроме ин­формации о выявленных частотах нужно получить данные о моментах времени, при которых эти частоты возникают или исчеза­ют.

Подобно тому как аналоговые воздействия были представле­ны преобразованиями Фурье и Лапласа, дискретные воздействия представляются Z-преобразованием [1, 2]. Дискретные цепи описыва­ются во временной области разностными уравнениями, а на ком­плексной плоскости — передаточной функцией комплексного пе­ременного Z. Расчет реакции дискретной цепи на дискретное воз­действие может быть осуществлен как временным методом, так и с помощью передаточных функций и Z-преобразования. Методы анализа дискретных цепей описаны в [1, 2, 3].