2. Спектры амплитуд и фаз периодических сигналов

Набор гармоник, образующих ряд Фурье (4.10) в тригоно­метрической форме, называют спектром периодического сигна­ла, а наборы амплитудU_mk и начальных фазэтих гармо­ник — спектрамиамплитуд и фаз. Каждую гармонику:

можно отобразить двумя вертикальными линиями. Для этого на одной оси частот необходимо отложить значение частоты этой гармоники и изобразить вертикальную линию высотой, рав­ной амплитуде гармоникизатем на другой оси частот на частоте этой же гармоникиизобразить вторую вертикальную линию, равную по высоте начальной фазе гармоники.

Ряд Фурье (4.3) можно переписать в виде

Учитывая, что функция косинуса периодична с периодом 2= 360°, т.е. ее значения повторяются через 360°, можно вы­честь целое число периодов из фазы гармонических составляю­щих. Тогда получим еще одну форму записи ряда (4.3):

(4.13)

Эти ряды можно изобразить графически. Гармоники этого сигнала, входящие в формулу (4.3), показаны на временных диа­граммах рис. 4.1, б—д.Другой способ графического изображе­ния составляющих ряда Фурье для сигнала на рис. 4.1, а приве­ден на рис. 4.5,а – в.Амплитуды гармоник убывают по закону, гдеп— номер гармоники, а фазы гармоник изменяются по законуnгде— фаза первой гармоники.

Для смещенной на четверть периода периодической последо­вательности прямоугольных импульсов (рис. 4.3, а) формула ря­да Фурье (4.6) может быть видоизменена, если вспомнить, что знак «минус» перед гармоническим колебанием означает поворот колебания по фазе на 180°:

Рис. 4.5. Амплитуды и фазы гармоник сигнала (4.12) и (4.13)

Начальные фазы колебаний в ряде (4.14) поочередно прини­мают значения 0 и 180°. Графическое изображение ряда (4.14) дано на рис. 4.5, а и б.

Вертикальные линии на рис. 4.5 и 4.6 получили название спектральных линий, а наборы этих линий, или, что то же, на­боры амплитуди фазгармоник в (4.10), образуютспек­тры амплитуд и фазданного сигнала.

Рис. 4.6. Амплитуды и фазы гармоник сигнала (4.14)

Радиоинженерам знакомы приборы – анализаторы спектров, которые откликаются на каждую гар­монику, входящую в состав сигнала сложной формы и позволяющие их измерять.

Таким образом, спектр амплитуд — это набор амплитуд гармоник , ,, ... (включая постоянную и ос­новную составляющие), входящих в ряд Фурье, записанный в тригонометрической форме (4.10), а спектр фаз — это набор начальных фаз,, … этих гармоник. Комплексные ам­плитуды из (4.12) образуют комплексный спектр сигнала u(t).

Анализ спектрального (гармонического) состава периодиче­ских сигналов — это вычисление амплитуд и начальных фаз гармонических составляющих ряда Фурье. Обычно для вычисления указанных величин используется форма записи ряда Фурье (4.2):

Покажем, что форма записи (4.15) эквивалентнаформе запи­си (4.7).

Из приведенных выше рассуждений следует, что для анализа спектрального состава сигнала достаточно знать, как вычислять величины , U'_mnиU’_mnв выражении (4.15).

Из формул (4.2) мы знаем, что постоянная составляющая ряда вычисляется как среднее значение функции:

Коэффициенты U'_mk иU''_mk вычисляются как средние взве­шенные значения с весамиcoskиsinсоответственно:

Поскольку, то

Применяя формулу Эйлера

получаем окончательно выражение для комплексного спектра сиг­нала:

На спектр сигнала влияет не только форма сигнала, но и его параметры. Лучше всего рассмотреть это влияние на кон­кретном примере, а проще всего – на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов. В достаточно общем случае эта последовательность изображена на рис. 4.7,а.Пери­од повторения импульсов обозначенТ',а отношение периода к длительности импульсов' называютскважностью и обозначают.

Вычисление коэффициентов ряда Фурье в тригонометриче­ской форме по формулам (4.16) — (4.18) приводит нас к записи (см. табл. 4.1)

где U₀=U/q и

Рис. 4.7. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов со скважностью q = 3 и ее спектр

Спектр амплитуд такой периодической последовательности со скважностью q= 3 изображен на рис. 4.7,б.

При значениях k, кратных скважностиq импульсной после­довательности, функцияпринимает нулевые значения и гармоники с этими номерами имеют нулевые амплитуды (в нашем примере сk=3,6, 9, ...). Частота первой гармоники определяет­ся по формуле

Для гармоник с номерами k, для которых амплитудапо­ложительная, фазовый уголравен нулю; для гармоник же с номерамиk, для которых величинаокажется отрицатель­ной, фазовый угол принимает значение 180° (рис. 4.7, в).

Рассмотрим влияние на спектр последовательности прямо­угольных импульсов таких ее параметров, как период и длитель­ность импульса.

От величины периода зависит прежде всего частота основной гармоники, т.е. ее местоположение в спектре. Если мы будем, на­пример, увеличивать период импульсной последовательности (рис. 4.7, а),то частота первой гармоникибудет уменьшаться.

Это приведет к сгущению спектральных линий (рис. 4.8, бив).Скважность импульсов будет также увеличи­ваться с ростом периода (в нашем примереq=5), следовательно, обращаться в нуль будут гармоники с более высокими номерами, кратнымиq (k= 5, 10, 15, ...). Амплитуды всех гармоник умень­шатся.

Рис. 4.8. Последовательность прямоугольных импульсов со скважностью q = 5 и ее спектр

С другой стороны, если период последовательности оставлять неизменным (например, ), а длительность импульсов, скажем, уменьшать (например, до величины,как на рис. 4.9,а),то первая гармоника не будет менять свое местоположение в спектре сигнала. С ростом же скважности в нуль будут обращаться, как и ранее, гармоники с номерами, кратнымиq (на рис. 4.8,бприk=5,10,15,…).

Рис. 4.9. Влияние длительности импульсов на спектр сигнала

Рис. 4.10. Влияние длительности импульсов и периода их повторения на спектр сигнала

На рис. 4.10, показан случай, когда подверглись изменению и период, и длительность импульса. Предлагаем читателям про­анализировать данную ситуацию самостоятельно. Примеры решения задач по расчету периодических сигналов также приведены в [7].

Хотя мы проанализировали довольно частные примеры, ха­рактерное поведение спектра наблюдается и для других видов пе­риодических импульсных последовательностей. Оно заключается в следуюoем:

• при увеличении периода последовательности Тчастота первой гармоникиуменьшается и спектральные линии сгущаются; наоборот, при уменьшении периода частота первой гармоники увеличивается и спектральные линии становятся реже;

• чем короче импульсы в последовательности, тем медленнее убы­вают с ростом номера памплитуды гармоник; наоборот, чем шире импульсы, тем быстрее убывают амплитуды высших гармоник.

Основные положения изложенных в п. 4.2 материалов:

• Набор гармоник, образующих ряд Фурье в тригонометрической форме, называют

• спектром периодического сигнала, а наборы амплитуд и начальных фаз этих гармоник — спек­трами амплитуд и фаз.

• Анализ спектрального (гармонического) состава периодиче­ских сигналов – это вычисление амплитуд и началь­ных фазгармонических составляющих ряда Фурье.

• На спектр сигнала влияют не только его форма, но и дли­тельность импульсов, и период.

• Чтобы определить реакцию линейной цепи на периодиче­ский сигнал произвольной формы, нужно просуммировать реакции этой цепи на гармонические составляющие сигнала.