7. Определение активной длительности сигнала и активной ширины его спектра

При практических расчетах длительности сигнала и шири­ны его спектрав ряде случаев удобно пользоваться энергетиче­ским критерием . Активную длительность импульсаи активную ширину спектра (или ) определяют как интервал времени и диапазон частот соответственно, внутри которых сосре­доточена подавляющая часть полной энергии Э импульса (напри­мер, 95%). Если сигнал s(t) задан на интервале времени , то его активная длительность рассчитывается из условия

В левой части равенства записана энергия сигнала, сосредоточен­ная в интервале времени 0 – (рис. 4.33,а). В правой части равенства – доля (определяемая заданным коэффициентом полной энергии сигнала.

Исходя из равенства Парсеваля, аналогично рассчиты­вается активная ширина спектра сигнала

Таким образом, активная ширина спектра сигнала соответствует полосе частот, в пределах которой заключена доля полной энергии сигнала (рис. 4.33, б).

В случае простых видеоимпульсов (например, прямоугольного, треугольного, косинусоидального), спектр которых сосредоточен в области низких частот, можно считать с достаточной для прак­тики точностью, что

где, — постоянная величина, зависящая от формы импульса и критерия оценки величини .

Рис.4.33. Сигнал (а) и его спектр (б)

Как видно из (4.61), уменьшение длительности импульса неиз­бежно приводит к увеличению ширины его спектра, и наоборот. Пользуясь соотношением (4.61), можно рассчитать полосу частот, занимаемую спектром сигнала в зависимости от его длительности.

Рис 4.34. Прямоугольный импульс (а) и его спектр (б)

Для перечисленных выше типов видеоимпульсов зна­чение близко к единице. В частности, если оцени­вать активную ширину спе­ктра прямоугольного им­пульса длительностью(рис. 4.34, а) как полосу частотf= 0 и тем значением частоты, когда спектральная плотность первый раз обращается в нуль (рис. 4.34, б), т. е. когда аргумент спектральной плотности (4.42) прини­мает значение ,то = 1. Следовательно, для пря­моугольного импульса = 1.

Пользуясь соотношением (4.60), можно показать, что в полосе (0, ) (в первом лепестке) сосредоточено свыше 90% полной энергии сигнала.

1. Вопросы и задания для самопроверки:

1. Из каких тригонометрических функций можно сформировать периодический сигнал?

2. Что такое постоянная и основная составляющие, гармоники сигнала?

3. Какие формулы ряда Фурье используют для описания периодических сигналов?

4. Записать ряд Фурье (4.4) в тригонометрической и комплексных формах, ограничившись третьей гармоникой.

5. Что такое спектр амплитуд?

6. Периодический сигнал задан рядом Фурье в форме

Представить этот ряд в тригонометрической форме (4.10).

7. Каким образом длительность периодических импульсов, период их следования и скважность влияют на спектр сигнала?

8. Как определить реакцию цепи на периодическое воздействие?

9. Как рассчитывается комплексная передаточная функция цепи, на вход которой поступает периодический сигнал?

10. Каков физический смысл коэффициента передачи и фазового сдвига цепи на частотах гармоник?

11. Сформулировать задачу спектрального анализа цепи при периодическом воздействии.

12. Как рассчитывается спектр реакции цепи на периодическое воздействие?

13. Что понимается под тригонометрическим рядом Фурье? Какие формы этого ряда Вы знаете?

14. Что понимается под комплексным рядом Фурье? Запишите формулу определения коэффициентов комплексного ряда Фурье.

15. Как рассчитывается комплексная спектральная плотность непериодического сигнала?

16. Как восстановить непериодический сигнал по его комплексной спектральной плотности?

17. Что такое спектральная плотность амплитуд и спектральная плотность фаз?

18. Как изменится график спектральной плотности амплитуд прямоугольного импульса, если его длительность уменьшить в три раза?

19. Как связаны между собой спектры непериодического и периодического сигналов?

20. В чем заключается интегральное преобразование Фурье? Приведите формулы прямого и обратного преобразования Фурье. При каких условиях можно пользоваться формулой прямого преобразования Фурье?

21. Как определяется частотный спектр непериодического сигнала? Какой физический смысл имеет модуль спектральной плотности сигнала? Чем определяются амплитудный и фазовый спектры непериодического сигнала?

22. Как выражается связь между спектральной плотностью одиночного импульса и комплексной амплитудойряда Фурье, описывающего периодическую последовательность, составленную из таких импульсов?

23. Как измениться спектральная функция при умножении сигналаs(t) на ?

24. Как измениться функция при умножении сигналаs(t) на ?

25. Что происходит со спектром при сжатии (растяжении) сигнала?

26. Как изменяются амплитудный и фазовый спектры сигнала при его запаздывании?

27. Как выражается спектральная плотность произведения двух функций, если известны спектральные плотности сомножителей?

28. Какой физический смысл имеет квадрат спектральной плотности сигнала ?

29. Как формулируется равенство Парсеваля для непериодического сигнала?