5. Спектральные плотности амплитуд и фаз непериодических сигналов

Величина в (4.27) илиU(jf) в (4.29), называетсяком­плексной спектральной плотностьюнепериодического сигналаu(t).Она может быть записана в показательной и алгебраической формах:

(4.31)

и содержит в себе сведения о спектральной плотности ампли­туд испектральной плотности фаз сигнала, где величиныиопределяются формулами

Определим физический смысл преобразования Фурье (4.28). Для этого подставим в выражение (4.28) вместо его значе­ния из (4.31):

Учитывая, что – четная, а синус – нечетная функция частоты, интеграл от второго слагаемого равен нулю. Следова­тельно, интеграл Фурье (4.28) имеет вид

Отсюда следует важнейший вывод о том, что непериодиче­ский сигнал может быть представлен пределом суммы (интег­ралом) бесконечно большого числа гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудамии начальными фа­замипричем разность частот соседних гармоник бесконечно мала:. Это означает, что спектр непериоди­ческого сигнала являетсясплошным или непрерывным.

Определимспектральную плотностьпрямоугольного импуль­са, изображенного на рис. 4.14. Для расчета его комплексной спек­тральной плотности воспользуемся

Рис. 4.14. Прямоугольный импульс

Уравнение (4.34) удобнее преобразовать к виду

так как это выражение содержит функцию , поведение которой хорошо известно: эта затухающая функция максимальна и равна1, когда=0; она принимает нулевые значения при=±k.

График комплексной спектральной плотности прямоугольного импульса изображен на рис. 4.15. В тех областях частот, где функция положительна, спектральная плотность фазравна нулю; там же, гдеотрицательна, спектральная плотность фаз равна ±180°. Поэтому на графиках можно изобра­зить отдельно спектральную плотность амплитуд– модуль || и спектральную плотность фаз(рис. 4.16)

Рис. 4.15. Спектральная плотность прямоугольного импульса

Рис.4.16. Спектральные плотности (спектры) амплитуд (а) и фаз (б) прямоугольного импульса

Определимспектральную плотность амплитудпря­моугольного импульса, изображенного на (рис.4.17), если= 1 мс,U =10 В.

Комплексную спектральную плотность прямо­угольного импульса (рис. 4.17) определим, используя прямое преобразование Фурье (4.27):

Рис. 4.17. Прямоугольный импульс

Полученное выражение отличается от комплексной спектральной плотности (4.35) прямо­угольного импульса, изображенного на (рис. 4.14), множителем, учитывающим запаздывание сигнала (рис. 4.17) наи влияющим только на спек­тральную плотность фаз.

Спектральная плотность амплитуд – это модуль комплексной спектральной плотности, поэтому

Обратим внимание на то, что спектральная плот­ность амплитуд прямоугольных импульсов, изображенных на рис. 4.14 и 4.17, рассчитывается по одной и той, же формуле. Это означает, что графики спектральной плотности амплитуд импульсов также совпадают (рис. 4.16,а).

Построим график Для этого прежде всего рассчитаем значение спектральной плотности ампли­туд на нулевой частоте, которое равно площади пря­моугольного импульса:

Рис. 4.18. Спектральная плотность амплитуд прямоугольного импульса

Частоты f, на который спектральная плотность обращается в нуль, можно найти из соотношения

Эти частоты равны , т.е. 1; 2; 3 кГц и т.д. На частотах 1,5 и 2,5 кГц лепестки функцииU(f) при­нимают максимальные значения, равные соответст­венно 2 и 1,3 мВ-с. График спектральной плотности амплитуд приведен на рис. 4.18.

Найдемкомплексную спектральную плотностьтре­угольного импульса, изображенного на рис. 4.19, на частотеf = 200 Гц, еслиU =10 В,= 5 мс.

Сигнал u(t)можно записать следующим образом:

Комплексную спектральную плотность импульса (рис. 4.19) рассчитываем, используя формулу (4.27):

.

Берем интеграл по частям и получаем

.

На частоте f =200 Гц комплексная спектральная плотность

равна 8, т.е. спектральная плотность амплитуд рав­на8мВ·с, а спектральная плотность фаз равна 90°.

Рис. 4.19. Треугольный импульс

Из прямого преобразования Фурье легко определить спек­тры типовых, часто встречающихся в технике импульсов. Рас­смотрим некоторые из них.

Импульс включения.При анализе переходных процессов в электрических цепях используется импульс включения (единичная функция) (рис. 4.20), который возникает при подключении к це­пи источника постоянного напряжения:

Строго говоря, эта функция не удовлетворяет условиям ин­тегрирования по Фурье, поэтому воспользуемся следующим при­емом: умножим ее на «гасящий» множитель , а затем после интегрирования перейдем к пределу при

.

Совершая предельный переход, получаем спектральную плот­ность импульса включения:

Рис. 4.20. Импульс включения

Рис. 4.21. Спектры амплитуд (а) и фаз (б) импульса включения

Спектральная плотность амплитуд при этом , а спектральная плотность фаз= -90°. Графикиипоказаны на рис. 4.21.

-импульс.Этот импульс является математической моделью очень узкого и большого по амплитуде импульса (рис. 4.22,а):

удовлетворяющему условию

, (4.36,б)

т.е. площадь его равна единице.

Для нахождения спектра -импульса воспользуемся прямым преобразованием Фурье

Рис. 4.22. -импульс (a) и его спектр (б)

Так как второе слагаемое равно нулю (в силу нечетности по­дынтегрального выражения), то

В силу свойства (4.36, а) -импульса подынтегральное выра­жение существует только при t =0, а это означает, что согласно (4.36, б)1. График спектра -импульса приведен на рис. 4.22,б.

Обратное преобразование Фурье для -импульса имеет вид

Так как спектр -импульса= 1, то

Рис. 4.22. Постоянное напряжение (а)и его спектр (б)

Постоянное напряжение U =1 В существует во все момен­ты времени, а не только приt ≥0.

Учитывая взаимозаменяемость параметров t и, выраже­ние (4.37, б) можно переписать в виде

Сравнивая его с выражением для спектра постоянного на­пряжения

приходим к выводу, что =

Таким образом, спектр постоянного напряжения (рис. 4.23, б) равен нулю на всех частотах, кроме =0, гдеобращается в бесконечность.

Экспоненциальный импульс.Переходные процессы в цепях с одним реактивным элементом описываются экспоненциальной функцией (рис. 4.24,а)

Спектральная плотность этого импульса

где спектр амплитуд

а спектр фаз

Графики ипоказаны на рис. (4.24,бив).

Рис. 4.24. Экспоненциальный импульс (а) и его спектры амплитуд (б) и фаз (в).

Для вычисления спектров при различных преобразованиях сигналов можно воспользоваться теоремами о спектрах. Остановимся на физической интерпретации основных теорем спек­трального анализа.

Спектр суммы сигналов(теорема линейности). Если сигналы, спектры которых известны, суммируются, то для вычисления ре­зультирующего спектра можно воспользоваться теоремой линейно­сти:спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

Итак, если

то

.

Сдвиг сигнала во времени(теорема запаздывания). Часто при обработке сигнала приходится осуществлять его задержку на время:

В этом случае спектр задержанного сигнала умножается на множитель :

При запаздывании сигнала на время его спектральная плотность амплитуд остается неизменной, а спектральная плотность фаз изменяет свой наклон на величину

Дифференцирование и интегрирование сигнала. Если сиг­нал подвергается дифференцированию,

то его спектр умножается на оператор :

где - значение сигналав момент времениt =0.

При интегрировании сигнала

его спектр делится на (при условии=0):

.

Изменение масштаба сигнала(теорема подобия). Пусть сиг­налимеет спектр. Изменение масштаба по шкале времени

приводит к изменению масштаба спектра по шкале частот:

.

Сжатие сигнала во времени приводит к расширению его спектра и, напротив, растяжение сигнала — к сужению спектра. Другими словами, чем короче импульс, тем шире его спектр.

Построимграфики спектральных плотностей ампли­туд прямоугольных импульсов, имеющих одинаковую амплитудуU, но разные длительности т:а)= 2 мс,б)= 4 мс,в) = 1 мс (рис. 4.25).

Ранее было установлено, что спектральная плот­ность амплитуд U(f) прямоугольного импульса изменяется по законуЗначениеU(f) на ну­левой частоте равно площади импульсаU(0) =U, а нули функцииU(f) располагаются на частотах, кратных величинам1/.

Рис. 4.25. Прямоугольный импульс и его спектр при длительности импульса 2 мс (а), 4 мс (б) и 1 мс (в)

Для импульса, имеющего параметры U = 1 В и= 2 мс, получаемU(0) =U=2 Вмс, нули рас­положены на частотах 0,5; 1; 1,5 кГц и т.д. График спектральной плотности амплитуд такого импульса изображен на рис. 4.25,а.

Увеличение длительности импульса в 2 раза (= 4 мс) приводит, в соответствии с теоремой подо­бия, к сужению спектра в 2 раза. Это означает, что нули спектраU(f) располагаются на частотах, крат­ных 1/= 0,25 кГц, а значениеU(0) =U =4 В·мс.

График спектральной плотности амплитуд импульса, имеющего параметры U = 1 В и= 4 мс, изображен на рис. 4.25, б.

Уменьшение длительности импульса в 2 раза (=1 мс) по сравнению с исходным приводит к расши­рению спектра, т.е. нули располагаются на частотах 1; 2; 3 кГц и т.д., а значение спектра на нулевой час­тотеU(0) = 1 В⋅мс. ГрафикU(f) прямоугольного импульса с параметрамиU =1 В и =1 мс изобра­жен на рис. 4.25,в.

Смещение спектра сигнала(теорема модуляции). Эта теоре­ма является двойственной (дуальной) по отношению к теореме запаздывания. Если спектр сигнала(t) сместить вниз или вверх по шкале частот на величину ,т.е., то это соответствует умножению сигнала на комплексную гармо­нику с частотой:

u(t)=

Другими словами, при умножении сигнала на гармоническое колебание с частотойспектр сигнала смещается по шкале частот на величину.

Найдем спектр радиоимпульса, изображенного на (рис. 4.26, б).

Радиоимпульс можно получить как произведение видеоимпульса прямоугольной формы (рис. 4.26, а) и гармонического колебания .

Воспользовавшись формулой Эйлера

получаем

Обозначив спектр видеоимпульса как и, применив теорему смещения, находим спектр радиоимпульса:

На рис. 4.27, а изображен спектр видеоимпуль­са, имеющего длительность = 10 мс. На рис. 4.27,б изображен спектр радиоимпульса с частотой гармо­нических колебаний = 100 кГц.

Рис 4.26. Видеоимпульс (а) и радиоимпульс (б)

Рис. 4.27. Спектры видеоимпульса (а) и радиоимпульса (б)

Перемножение двух сигналов (теорема свертки спектров).Спектр произведения сигналов соответствует свертке их спектров. Так, если

то

Свертка двух сигналов (теорема о произведении спектров сигналов). Спектр свертки двух сигналов соответствует про­изведению их спектров. Так, если

(4.38)

то

Между спектрами непериодического и периодического сиг­налов существует связь: графики модуля спектральной плотно­сти непериодического сигнала и огибающей дискретного спектра аналогичного периодического сигнала совпадают по форме и от­личаются только масштабом. Из уравнения (4.22)

следует, что если периодически повторять одиночным импульс, то амплитуды и фазы получающегося при этом дискретного спектра можно определить, заменив в комплексной спектральной плотности U(j) одиночного импульса текущую частоту на значения частот гармоники пронумеровав эту плотность относительно величины полупериода. Таким образом,

Если мы будем периодически с периодом Т повторять прямо­угольный импульс, изображенный на рис. 4.14, то в соответствии с последним выражением можно записать для комплексного спектра периодической последовательности прямоугольных импуль­сов, вытекающее непосредственно из спектральной плотности (4.35) одиночного прямоугольного импульса при замене частотына

Используя понятие скважности последовательности прямоугольных импульсов и учитывая, что, получаем комплексный спектр

Можно обобщить о преобразовании Фурье сигнала s(t) и его изображения :

1. ;

2. функции, сопряженные по Фурье (4.27), (4.28)

3. функции, свернутые по времени

4. энергия периодического сигнала

Свойства преобразования Фурье сведены в таблицу 4.2

Таблица 4.2

№ п/ п	Характер, свойство преобразования	Вид колебания	Спектр	Примечания
1	2	3	4	5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	Свойство симметрии Инверсия аргумента функции Свойство линейности Изменение масштаба времени Дифференцирование по времен n- кратное дифференцирование по времени n- кратное дифференцирование по частоте Интегрирование по времени Свойство временного сдвига (теорема запаздывания) Свойство частотного сдвига Умножение на гармоническую функцию Произведение двух функций Свертка функции по времени Автокорреляционная функция (АКФ) Взаимная корреляционная функция АКФ			- - знак инверсии аргумента - знак комплексной сопряженности A, B – постоянные переменные a – постоянная a>1 – сжатие сигнала и растяжение спектра a<1 – растяжение сигнала и сжатие спектра - - - Результат справедлив, если – постоянная величина – постоянная величина Перенос спектра на частоту - - АКФ и спектр энергии финитного сигнала s ВКФ и спектр взаимной энергии финитных сигналов

Основные положения изложенных в п. 4.5 материалов:

• Спектр непериодического сигнала является непрерывным; он состоит из бесконечно большого числа частотных составляющих с бесконечно близкими смежными частотами и с бесконечно малыми амплитудами.

• Чем короче импульс любой формы, тем шире его спектр.

• Запаздывание сигнала приводит лишь к изменению наклона характеристики спектра фаз.

• Для смещения спектра по шкале частот необходимо «запол­нить» сигнал гармоническим колебанием.

• Операция свертки сигналов ведет к перемножению их спек­тров.

• Дискретный спектр «вписывается» в огибающую непрерыв­ного спектра.