1. Вопросы и задания для самопроверки:

1. Что такое оригинал и изображение сигнала? Как они связаны между собой?

2. Какая связь существует между преобразованиями Лапласа и преобразованиями Фурье?

3. Найти изображение напряжения , используя преобразования Лапласа.

4. Найти комплексную спектральную плотность напряжения .

5. Какой физический смысл имеют свойства и теоремы преобразований Лапласа?

8. Электрические цепи радиотехнических сигналов

Рассматриваются теория и принципы построения цепей радиотехнических устройств: длинные линии, фильтры, модуляторы и демодуляторы, преобразователи и смесители частот.

1. Цепи с распределенными параметрами

8.1.1 Длинные линии и телеграфные сигналы

Цепи, которые рассматривались выше, относятся к классу цепей с сосредоточенными параметрами. Практически все магнитные поля в таких цепях сосредоточены в катушках, все электрические поля ˗ в конденсаторах, а потери ˗ в резисторах.

В цепях с распределенными параметрамипотери, емкость и индуктивность распределены в пространстве. В дальнейшем будем рассматривать распределение только вдоль одной пространственной координаты. В этом случае цепи с распределенными параметрами называютдлинными линиями.

Простейшим примером цепи с распределенными параметрами может служить двухпроводная линия передачи (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Двухпроводная линия передачи

При протекании тока по проводам вокруг них возникает магнитное поле , что свиде­тельствует о наличии индуктивности, распределенной вдоль длины линии. Между проводами линии возникает электрическое поле, что говорит о емкости. Провода и диэлектрик между проводами нагреваются, что свидетельствует о наличии распределенных потерь. К цепям с распределенными параметрами относят телефонный провод, коаксиальный кабель, полосковую линию, прямоугольный или круглый волновод, оптоволоконную линию и т. п.

Для количественной оценки распределенных параметров используются, следующие погонные параметры длиной линии (параметры единичной длины линии).

1. R₀˗ погонное сопротивление потерь в проводниках линии. Определяется как сопротивление проводников короткозамкнутого отрезка линии длиной 1 метр. Единица измерения ˗ Ом/м.

2. L₀˗ погонная индуктивность. Определяется как индуктивность короткозамкнутого отрезка линии длиной 1 метр. Единица измерения ˗ Гн/м.

3. C₀˗ погонная емкость. Определяется как емкость между проводами разомкнутого на конце отрезка линии длиной 1 метр. Единица измерения ˗ Ф/м.

4. G₀˗ погонная проводимость изоляции. Определяется как проводимость между разомкнутыми на конце проводами отрезка линии длиной 1 метр. Единица измерения ˗ См/м.

Как правило, численные значения погонных параметров малы. Поэтому распределенные параметры оказывают влияние на передаваемые сигналы только при большой длине линии. На практике эффекты, обусловленные распределенными параметрами, учитывают только тогда, когда длина линии l₀сравнима или больше длины волны сигнала λ=c/f, гдес˗ скорость света,f˗ частота.

Рассмотрим установившиеся напряжение и токв произвольном сечении длинной линии на расстоянииlот нагрузки (рис. 8.2,а). Выделим отрезок с малой длиной Δl,примыкающий к рассматриваемому сечению. Так как величина Δl<<λ, то отрезок можно представить в виде четырехполюсника с сосредоточенными параметрами (рис. 8.2,б). На выходных зажимах отрезка из-за влияния распределенных параметров ток и напряжение уменьшаются на Δtи ΔÚсоответственно.

Рис 8.2. Изображение сечения длинной линии (а) и его эквивалентная схема замещения (б)

Из анализа цепи (рис. 8.2, б) следует, что изменение напряжения . Раскрывая круглые скобки и пренебре­гая величинами второго порядка малости, получим следующее выра­жение:. Разделив правую и левую части равенства на Δl и переходя к пределу при, получим первое телеграфное уравнение длинной линии

где ˗ погонное комплексное сопротивление. Из этого уравнения следует, что комплексная амплитуда напряжения вдоль линии будет обязательно изменяться, если в сечении линии имеется не равный нулю ток (производная в (8.1) не равна нулю).

Используя первый закон Кирхгофа для выходного узла отрезка длинной линии (рис. 8.2, б), получим . Разделив правую и левую части равенства наи переходя к пределу при, получимвторое телеграфное уравнение длинной линии

где ˗ погонная комплексная проводимость длинной линии. Из второго телеграфного уравнения следует, что при наличии напряжения в линии комплексная амплитуда тока вдоль линии будет изменяться. Телеграфные уравнения были получены в конце XIX века при исследовании линий телеграфной связи.

Дифференцируя уравнение (8.1) и подставляя в это уравнение вме­сто производной от тока правую часть уравнения (8.2), получим одно­родное линейное дифференциальное уравнение относительно напря­жения в произвольном сечении линии:

Из теории, дифференциальных уравнений известно, что решение уравнения (8.3) записывается в виде

где ˗ коэффициент распространения, аС₁ и С₂ ˗ постоянные интегрирования. Из выражения (8.4) следует, что напряжение в линии состоит из двух, составляющих.

Решение для тока получим дифференцируя в соответствии с фор­мулой (8.1) выражение (8.4):

где ˗ волновое сопротивление.

Рассмотрим решение для напряжения в произвольном сечениилинии. Представляя напряжения в линии запишем в виде

.

В этом выражении в круглых скобках перед экспонентами находятся амплитуды напряжения. Как видим, эти амплитуды изменяются при перемещении вдоль линии. При изменении расстояния l изменяются также начальные фазы напряжений. Переходя к мгновенным значениям этих напряжений, получим

где ˗ частота сигнала.

График первого слагаемого в (8.6) для двух фиксированных моментов времени и представлен на рис. 8.3. На этом рисунке расстояние отсчитывается от конца линии. Как видим, за времяточка a перемещается в точкуb. Следовательно, первое слагаемое в (8.6) соответствуетбегущей волне напряжения.Так как эта волна распространяется от генератора к нагрузке, то ее называютпадающейбегущей волной. Амплитуда напряжения при перемещении волны уменьшается из-за потерь в линии. Точкамaиbграфика соответствуют следующие значения, полной фазы падающей волны: гдеи˗ расстояния от нагрузки до точекаиb(рис. 8.3). Вычитая из первого выражения второе, получим, где Из последнего соотношения следует, что за время точкаа(или любая другая точка волны) переместится на расстояние.Модуль отношения этого расстояния к интервалу временидает фазовую скорость волны в длинной линии:.

Рис. 8.3. График изображения бегущей падающей волны

Распределение напряжения вдоль линии, соответствующее второму слагаемому в (8.6), для двух моментов времени и представлено на рис. 8.4. За времяточкаа на этом рисунке перемещается в точку b. Следовательно, второе слагаемое в (8.6) соответствует бегущей отраженной волне напряжения. Амплитуда напряжения отраженной волны уменьшается с ростом расстояния от нагрузки. Отметим, что на рис. 8.3 и рис. 8.4 используются разные масштабы по осям напряжений, так как амплитуда отраженной волны напряжения в линии не может превышать амплитуду падающей волны.

Рис. 8.4. График изображения бегущей отраженной волны

Таким образом, в длинной линии устанавливаются две бегущие волны напряжения. Первая волна — падающая бегущая волна напряжения, переносит энергию от генератора к нагрузке. Вторая ˗ отраженная волна. Появление отраженной волны объясняется тем, что не вся энергия падающей волны поглощается в нагрузке. Часть энергии отраженная волна возвращает генератору.

Из анализа решения телеграфных уравнений для тока следует, что ток в произвольном сечении линии также представляется в виде двух слагаемых. Первое слагаемое соответствует бегущей падающей, а второе ˗ бегущей отраженной волне тока. Однако у этих волн будут другие, по сравнению с напряжениями, начальные фазы.

Отметим, что две бегущие волны в линии устанавливаются после завершения переходного процесса. Во время переходного процесса в линии происходит следующее. Первоначально возникшая падающая волна напряжения, распространяясь вдоль линии, доходит до нагрузки и частично отражается, порождая отраженную бегущую волну. Отра­женная волна, в свою очередь, распространяясь и доходя до входных зажимов, также частично отражается, порождая вторичную падающую волну напряжения. Вторичная падающая волна напряжения порождает вторичную отраженную волну и т. д. После каждого отражения амплитуда волны уменьшается. Поэтому через некоторое время переходный процесс практически завершится: все падающие волны, складываясь, образуют одну установившуюся падающую волну, а все отраженные ˗ установившуюся, отраженную волну в длинной линии. Распространение волн напряжения и тока характеризуют волновые параметрыдлинной линии:

˗ коэффициент распространения;

˗ коэффициент затухания;

˗ коэффициент фазы;

˗ волновое сопротивление;

˗ фазовая скорость;

˗ длина волны в длинной линии.

Волновое сопротивление, как следует из анализа формулы (8.5), определяется отношением комплексных амплитуд падающих волн на­пряжения и тока в линии. Коэффициент фазы позволяет рассчитать длину волны в длинной линии: . Длина волны в линии пока­зана на рис. 8.4. Действительно, увеличивая длинув формуле (8.6) на, легко убедиться, что значение полной фазы бегущей волны изменится в этом случае ровно на 360 градусов.

В технике связи для передачи сообщений, как правило, использу­ются длинные линии с малыми потерями. В этом случае , и . Волновое сопротивление такой линии станет вещественным и будет определяться погонными индуктивностью и емкостью линии:. Отметим, что, несмотря на вещественное значение волнового сопротивления, потерь энергии на этом сопротивлении нет, так как сопротивлениепо определению есть коэффициент пропорциональности между бегущими волнами напряжения и тока в длинной линии. При создании компьютерных сетей чаще всего встречаются, линии с волновыми сопротивлениями 50 Ом, 75 Ом и 100 Ом.