2. Корреляционные характеристики детерминированных сигналов

Одной из важнейших временных характеристик сигнала явля­ется автокорреляционная функция (АКФ), позволяющая судить о степени связи (корреляции) сигнала с его сдвинутой по времени копией.

Для вещественного сигнала s(t), заданного на интервале вре­мени (-∞,∞) и ограниченного по энергии, корреляционная функция (по энергии) определяется в единицах энергии следующим выражением:

где — величина временного сдвига сигнала. Интеграл (2.7) име­ет вид свертки сигналаs(t) с его зеркальным изображением т.е.

где ⊗˗ знак свертки сигнала ˗ сокращенной формы записи интеграла вида (2.7).

Для каждого значения τ автокорреляционная функция выражается некоторой числовой величиной.

Из (2.7) следует, что АКФ является четной функцией временного сдвига. Действительно, заменяя в (2.7) переменную (t - τ) на х, получим:

При = 0 сходство сигнала с его несдвинутой копией и наибольшее и функциядостигает максимального значения, равно­го полной энергииЭ сигнала

С увеличением функцияу всех сигналов, кроме периодических, убывает (не обязательномонотонно), и при относительном сдвиге сигналов ина величину, превышаю­щую длительность сигнала, обращает­ся в нуль.

Рис.2.1. Построение автокорреляционной функции сигнала s(t) прямоугольной формы

Рис. 2.1 поясняет построение автокор­реляционной функции прямоугольного импуль­са s(t), который изображен на рис. 2.1,а. На рис. 2.1,б приведена сдвинутая на τ (в сторону отставания) копия сигнала, а на рис. 2.1,в – произведение

Автокорреляционная функция для каждо­го значения численно равна площади под кривой произведения импульса и его сдвину­той копии. Функция=() имеет вид треугольника с основанием 2, высота которого определяется энергиейЭ сигнала (рис. 1.2,г).

Для сигналов, обладающих бесконечно большой энергией и ограниченных по мощности, автокорреляционная функция определяется в единицах мощности

Соответственно значение равно средней мощности сигнала

При определении периодической функции усреднение выполняется по еепериоду T_s, т. е.

Автокорреляционная функция периодического сигнала сама является периодической функцией с тем же периодом. Действи­тельно, поскольку периодическая функция удовлетворяет условию где– период, а= 0, 1, 2,…, то

Например, для гармонического сигнала s(t) =A⋅cos(автокорреляционная функция выражается в виде

где .

При = 0 автокорреляционная функция(0) =А²/2 определяет среднюю мощ­ность гармонического колебания с амплитудой А. Из полученного выражения следует, что не зависит от начальной фазы колебания.

В табл. 2.1 приведены графики автокорреляционных функций некоторых сигналов, определенные, по энергии или по мощности

Для оценки степени подобия двух сигналов (t) и s₂(t) ис­пользуется взаимная корреляционная функция (ВКФ), которая определяется выражением

Здесь и— сигналы, заданные на бесконечном интервале вре­мени (-, )и обладающие конечной энергией. Выражение (2.14) имеет вид свертки двух функций:

Значение не меняется, если вместо задержки сигнала рассматривать опережение первого сигнала. Поэтому вместо выражения (2.14) можно записать общую формулу для определе­ния ВКФ:

т. е. , но следует заметить, что

Автокорреляционная функция 𝜓() является частным случаем ВКФ, когда сигналыодинаковы.

В отличие от , функцияв общем случае не является четной относительнои может достигать максимума при любом.

Значение определяет взаимную энергиюсигналов

Таблица 2.1

№ п/п	Вид Сигнала s	Вид автокорреляционной функции	Примечание
1	Гармоническое колебание		–АКФ по мощности. Имеет вид косинусоиды независимо от начальной фазы сигнала s
2	Прямоугольный импульс		–АКФ по энергии. – энергия сигнала.
3	Треугольный импульс		­­ _
4	Отрезок меандра		Огибающая АКФ совпадает по форме с для прямоугольного импульса.
5	Радиоимпульс		Период совпадает с периодом, форма огибаюΩей АКФ совпадает с огибающей АКФ меандра.
6	Последовательность прямоугольных импульсов		–средняя моΩность сигнала .

Основные положения изложенных в гл.2 материалов::

• При анализе и синтезе цепей используют представления сигналов s в форме: временной функции ; автокорреляционной (корреляционной) функции𝜓(t); спектральной функции (см. гл.4). В электротехнике и электронике используют формы и в радиотехнике –и𝜓(t).

• Основной характеристикой любой формы представления сигнала s является энергия Э (или мощность Р).

• Временная, корреляционная и спектральная формы сигнала преобразуются друг в друга по определенным формулам при условии равенства энергии при их преобразовании (равенство Парсеваля).

• Два сигнала ортогональны (аддитивны) если их взаимная энергия (или мощность) равна нулю.