Пример решения матричной игры 3×3

Рассмотрим задачу с матрицей платежей игрока А

Сначала уменьшим размерность задачи.

В данной игре пара стратегий игрока А такова, что при любом ответе противника платежи игрока А при выборе стратегиименьше, чем при выборе. Это позволяет исключить стратегиюиз рассмотрения, считая, что вероятность ее выбора равна 0. Таким образом, исходную игру 3×3 мы свели к игре 2×3.

Замечание. Все предлагаемые в вариантах задачи допускают понижение размерности, т.е. исходная игра 3×3 сводится к игре 2×3 или к игре 3×2.

Обозначим вероятность выбора стратегии -. Тогда вероят­ность выбора стратегиибудет равна. Обозначим вероятность выбора стратегии-, а. Тогда вероятность выбора стратегиибудет равна.

Естественные ограничения на введенные переменные задаются системой неравенств

Геометрически, область изменения этих переменных можно пред­ста­вить в виде отрезка (0,1) оси Оpи треугольника ОАВ на плоскости (,). Обозначим, а треугольник ОАВ – Ω.

Вычислим математическое ожидание результата игры

.

Для определения оптимальной стратегии игрокаАнужно найти

.

Здесь сначала при каждом фиксированном значении pнеобхо­ди­мо найти макси­мум по, который достигается в одной из вершин треугольника ОАВ, причем положение максимума зависит от значенияp. Разобьем область измененияpна интервалы знакопостоянства коэффи­циен­тов прии. Решим задачу на каждом из этих интервалов и выберем из результатов наилучший для игрока А, т.е. наименьший.

1) . На этом интервале 3-7p>0, -1+5p≤0 и значит максимум достигается в вершине А(1,0). Подставив координаты этой точки, мы получим

2) . На этом интервале 3-7p≥0 и -1+5p≥0. Это озна­чает, что функционал возрастает при движении по ребрам ОА и ОВ, и для определения максимума нужно сравнить значения функ­цио­нала в вершинах А и В.

Итак, при p<1/3 значение функционала в т.А больше, чем в т.В, и наоборот. Значит рассматриваемый интервал нужно разбить на два

2а) . На этом интервале максимум достигается в вершине А(1,0). Подставив координаты этой точки, мы получим

2б) . На этом интервале максимум достигается в вершине В(0,1). Подставив координаты этой точки, мы получим

3) . На этом интервале 3-7p≤0, -1+5p≥0 и значит максимум достигается в вершине В(0,1). Подставив координаты этой точки, мы получим

Итак, мы нашли, что наилучший результат для игрока А достигается при , цена игры -.

Для определения оптимальной стратегии игрока В нужно найти

.

Здесь сначала при каждом фиксированном значении необхо­ди­мо най­ти мини­мум поp, который достигается либо приp=0, либо приp=1 в зависимости от знака выражения.

Проведем на плоскости прямую. Она раз­делит треугольник ОАВ на две области: четырехугольникOBSTи тре­угольникSTA(). Это области знакопостоянства коэф­фи­циен­та при р в функционале. Обозначим ихипо знаку коэффициента. Решим задачу в каждой из этих областей.

1) . В этом случае минимум по р достигается при р=0, и

, так как в т.О(0,0) функционал равен 6 , в т.В(0,1) – 5 , в т., в т..

2) . В этом случае минимум по р достигается при р=1, и

, так как в т.А(1,0) функционал равен 4, в т., а в т..

Ответ: игроку А нужно стратегиювыбирать с вероятностью, стра­тегиювыбирать с вероятностью, а стратегиюне выбирать; иг­ро­ку В нужно стратегиювыбирать с вероятностью, стратегиювыбирать с вероятностью, а стратегиюне выбирать. Цена игры.

Замечание. Игра 3×2 решается аналогично.