7. Градиент электрического потенциала и вектор е. Силовые линии поля. Эквипотенциальные поверхности.

Градиент (потенциала) – вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции :

, (9)

где , – координатные орты.

Величина этого вектора равна изменению потенциала при перемещении на единицу длины в направлении быстрейшего изменения.

Длина градиента (потенциала) равна

. (10)

Из механики известно, что консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком, т.е.

, (11)

где– символический вектор, называемый оператором Гамильтона или оператором набла.

Для электростатического поля имеем:

.

Тогда соотношение (11) принимает вид

,

или, (12)

т.е. напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком.

Знак минус в (12) показывает, что вектор направлен противоположно вектору градиента потенциала , и силовые линии электрического поля являются линиями, вдоль которых потенциал изменяется наиболее быстро.

Очевидно, что проекция вектора на произвольное направление l равна со знаком минус частной производной потенциала по данному направлению:

. (13)

В случае однородного электрического поля (поля плоского конденсатора), в любой точке которого вектор напряженности постоянен как по величине, так и по направлению, имеем простое соотношение:

, (14)

где– разность потенциалов или напряжение между пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями);

– расстояние между пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными поверхностями).

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной поверхностью, для которой

. (15)

Перенос заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не требует работы (разность потенциалов двух любых точек этой поверхности равна нулю). Это означает, что сила, действующая на переносимый заряд, перпендикулярна к перемещению.

Следовательно, вектор всегда направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, т.е. линии напряженности в каждой точке ортогональны к эквипотенциальной поверхности.

Итак, можно сделать важный вывод о том, что электрическое поле полностью можно описать векторной величиной – напряженностью . Но во многих случаях оказывается, что для вычисления напряженности электрического поля удобнее сначала определить потенциал φ и затем по формуле

вычислить напряженность .

Силовые линии — направленные линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности электрического поля. Отсюда следует, что напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии.

      Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определитьмежду двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить наиболее просто:

.

(3.6.1)

      Теперь дадим определение эквипотенциальной поверхности. Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение этой поверхности

(3.6.2)

      Графическое изображение силовых линий и эквипотенциальных поверхностей показано на рисунке 3.4.

Рис. 3.4

      При перемещении по этой поверхности на dl потенциал не изменится:

      Отсюда следует, что проекция вектора на dlравнанулю, то есть Следовательно, в каждой точке направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности.

      Эквипотенциальных поверхностей можно провести сколько угодно много. По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине , это будет при условии, что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями равна постоянной величине