2. Основные теоретические сведения.
Пусть на отрезке[а,b] задана функция f(x).
Определенный интеграл определяется как площадь,
ограниченная подынтегральной функциейf(x),
осью x и ординатами в точках «a» и «b»
|
Определенным интегралом от функции f(x) |
||||
на отрезке [а, b] называется предел |
интегральной |
суммы |
при неограниченном |
||
увеличении числа точек разбиения. |
|
|
|
|
|
b |
f (x)dx = |
n |
f (x |
)Dx |
|
ò |
lim |
||||
|
max Dxi ®0å |
i |
|
i |
|
a |
|
i =0 |
|
|
|
Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, определенный интеграл удается вычислить непосредственно по формуле Ньютона-Лейбница. Она состоит в том, что определенный интеграл равен приращению первообразной F(х) на отрезке интегрирования. На практике этой формулой часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам:
Вид функции не допускает непосредственного интегрирования, . .
первообразную нельзя выразить в элементарных функциях
Значения функций f(х) заданы таблично (множество хi конечно)
В этих случаях используются методы численного интегрирования.
Частным случаем в методах численного интегрирования является тот, когда величина элементарного отрезка ∆х,- величина постоянная и может быть вынесена за знак интегральной суммы. Эта величина называется шагом интегрирования и обозначается обычно ∆х.
Рассмотрим методы численного интегрирования.
1). Метод прямоугольников
ВМетоде прямоугольниковнепосредственно используется замена
определенного интеграла интегральной суммой. В качестве точекxi; могут
16
выбираться левые (xi-1) или правые (xi) границы элементарных отрезков. Расчетные формулы можно записать так:
При выборе левых границ (см. рис.1)
b b
ò f (x)dx » h( y(a) + y(a + h) + y(a + 2h) + ........ + y(b - h) = h å y(x)
a x =a +h
f(x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2 |
|
При выборе правых границ (см. рис.2) |
b |
b |
ò f (x)dx » h( y(a + h) + y(a + 2h) + ........ + y(b) = h åy(x)
a x =a +h
|
Рис.3 |
a |
b |
При выборе границ от a+ h/2 до b-h/2
b |
h |
|
h |
|
h |
b- |
h |
|
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
) = h å2 y(x) |
|||||||||
ò f (x)dx » h( y(a + |
) + y(a + 3 |
) - y(b - |
|||||||||
|
|
|
|||||||||
a |
2 |
2 |
2 |
x=a+ |
|
h |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
Рис.4
a |
b |
17 |