2.8. Собственные векторы

У матрицы A, размерностью (N×N) не может быть больше чем N собственных векторов, каждый из которых соответствует своему собственному значению. Для определения собственного вектора v_n нужно решить систему однородных уравнений 

(A − λ_nI) v_n = 0. 

Она имеет нетривиальное решение, поскольку det(A − λ_nI) = 0. 

Например,

Рис. 22 Собственные вектора

Собственные вектора симметричной матрицы ортогональны.

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.

 

  Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

A.

 

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

 

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе ,,…,имеет матрицу А =, то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l₁, l₂, … ,l_n уравнения:

 

2) Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

   Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

  

                                           рис.6.

     

                                           рис.7.

        

                                          рис.8.

Теорема. Пусть плоскость  задана общим уравнением

                          ,

а прямая L задана каноническими уравнениями

                          

или параметрическими уравнениями

                              ,   ,

в которых  – координаты нормального вектора плоскости ,  – координаты произвольной фиксированной точки прямой L,  –

координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекает плоскость  в точке,координаты которой  можно найти из системы уравнений

             ;           (7)

2) если  и , то прямая лежит на плоскости;

3) если  и , то прямая параллельна плоскости.

   Доказательство. Условие  говорит о том, что вектроры  и  не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальныеуравнения системы, находим координаты искомой точки.

   Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости икоординаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка  – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

   Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Теорема доказана.

Билет 21

1)Линейное пространство называетсяевклидовым, если в этом пространстве определена операция, ставящая в соответствие паре векторов ивещественное число, называемоескалярным произведением векторов и, и обозначаемое; при этом операция подчиняется аксиомам:

1. для;2. для;3. для;4. для,.

Из аксиом 1 и 2 вытекает свойство линейности скалярного произведения и по второму вектору: 

2'. для.

Примеры евклидовых пространств:

1) Множество всех векторов плоскости или трёхмерного пространства элементарной евклидовой геометрии с обычным скалярным произведением.

2) Конечномерное векторное пространство над R, в котором скалярное произведение векторов x = (x₁, x₂, ..., x_n) и y = (y₁, y₂, ..., y_n) определено формулой (x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_ny_n (евклидово n-мерное арифметическое пространство).

2) Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой.

Каноническое уравнение сферы принято записывать в виде

x² + y² + z² = r²,

где r – величина полуосей, которая называется радиусом сферы.

С геометрической точки зрения, сфера – геометрическое место точек пространства, равноудаленных (на расстояние r) от некоторой фиксированной точки (называемой центром). В канонической системе координат сферы, центр – начало координат.

Билет 22

1) Ортогона́льность — понятие, являющееся обобщением перпендикулярности для линейных пространств с введённым скалярным произведением.

Если скалярное произведение двух элементов пространства равно нулю, то они называются ортогональными друг другу.

Важной особенностью понятия является его привязка к конкретному используемому скалярному произведению: при смене произведения ортогональные элементы могут стать неортогональными, и наоборот. Алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов (в евклидовом или эрмитовом пространстве V) ортогональной системы векторов, порождающих то же самое подпространство в V. Наиболее известным является процесс Грама-Шмидта.

Определение 1.   Линейное пространство конечной размерности над полем называется унитарным, если для любых двух элементов определена комплекснозначная функция (скалярное произведение), обозначающаяся, удовлетворяющая свойствам:

1. (Коммутативность) ;

2. ;

3. ;

4.  -- вещественное.

Определение евклидова пространства отличается тем, что поле заменяется на, а комплексное сопряжение в свойствене требуется.

Теорема 1. (Грама--Шмидта)   в любом конечномерном унитарном (евклидовом) пространстве можно построить ортонормированный базис.

Доказательство. Докажем методом математической индукции.

 База индукции. .. Это и есть ОНБ.

 Предположение. Пусть верно для .

 Доказательство индукции. Возьмем базис . Рассмотрим его в-мерном пространстве. По предположению, там найдется ОНБ. Дополним этот базис до базиса:(без ограничения общности, последний вектор линейно не зависит от этого базиса). Сконструируем вектор

Нужно, чтобы он был ортогонален всем векторам:

а это выполнено тогда и только тогда, когда (умножая обе части равенства напоследовательно)

Отсюда, ,. Теперь положим, построив тем самым ОНБи доказав утрверждение теоремы.

2)

Определение Пр.2.2.1.

Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат каноническим уравнением вида , называется эллипсоидом.

Свойства эллипсоида:

1. Эллипсоид - ограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .

2. Эллипсоид обладает:

- центральной симметрией относительно начала координат;

- осевой симметрией относительно координатных осей;

- плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей.

3. В сечении эллипсоида плоскостью, ортогональной любой из осей координат, получается эллипс. Например, рассматривая секущую плоскость , где, получаем следующее уравнение линии сечения , являющейся эллипсом

x

z Рисунок Пр.2.2.1. z

y

Билет 23

1) Линейное пространство называется евклидовым, если каждой паре векторов , из этого пространства поставлено в соответствие действительное число , называемое скалярным произведением, и при этом для любых из и любого действительного числа справедливы следующие равенства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. при , ,   -- нулевой вектор.

Число называется длиной вектора ;  число -- расстоянием между векторами ; угол ,  косинус которого , -- углом между векторами ,  ,, .

Векторы  , из евклидова пространства называются ортогональными, если .

Система векторов евклидова пространства называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Базис конечномерного евклидова пространства называется ортонормированным базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Поскольку доказано, что в любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, будем рассматривать в -мерном евклидовом пространстве только ортонормированные базисы.

Простейший пример евклидова пространства дает нам пространство -- пространство  столбцов, в котором скалярное произведение введено формулой .

Тогда для любых , из справедливы формулы:

Все евклидовы пространства размерности устроены так же, как пространство .

Величины , и характеризуют взаимное расположение векторов и не зависят от выбранного ортонормированного базиса. Если   и -- два ортонормированных базиса в -мерном евклидовом пространстве, то матрица перехода от одного из этих базисов к другому -- ортогональная матрица.

2) 1. Однополостный гиперболоид. Обратимся к каноническому уравнению (4) однополостного гиперболоида

Из уравнения (4) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.