Директориальное свойство параболы

Точка называется фокусом параболы, прямая — директрисой параболы, середина перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, — вершиной параболы, расстояние от фокуса до директрисы — параметром параболы, а расстояние от вершины параболы до ее фокуса — фокусным расстоянием (рис.3.45,а). Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок , соединяющий произвольную точку параболы с ее фокусом, называется фокальным радиусом точки . Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.

Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице .

Геометрическое определение параболы, выражающее ее директориальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:

(3.51)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.45,6). Вершину параболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе, примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки к точке ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через вершину параболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат оказалась правой).

Составим уравнение параболы, используя ее геометрическое определение, выражающее директориальное свойство параболы. В выбранной системе координат определяем координаты фокуса и уравнение директрисы . Для произвольной точки , принадлежащей параболе, имеем:

где — ортогональная проекция точки на директрису. Записываем это уравнение в координатной форме:

Возводим обе части уравнения в квадрат: . Приводя подобные члены, получаем каноническое уравнение параболы

т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.51), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому параболой. Таким образом, аналитическое определение параболы эквивалентно его геометрическому определению, выражающему директориальное свойство параболы.

Приведем следующие свойства параболы:

Свойство 10.10. 

Парабола имеет ось симметрии.

Доказательство

Переменная y входит в уравнение только во второй степени. Поэтому, если координаты точки M  ( x ;  y ) удовлетворяют уравнению параболы, то и координаты точки N  ( x ; – y ) будут ему удовлетворять. Точка N симметрична точке M относительно оси Ox . Следовательно, ось Ox является осью симметрии параболы в канонической системе координат.

Ось симметрии называется осью параболы . Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы . Вершина параболы в канонической системе координат находится в начале координат.

Свойство 10.11. 

Парабола расположена в полуплоскости x  ≥ 0.

Доказательство

Действительно, так как параметр p положителен, то уравнению могут удовлетворять только точки с неотрицательными абциссами, то есть точки полуплоскости x  ≥ 0.

При замене системы координат заданная в условии точка A с координатами будет иметь новые координаты, определяемые из соотношенийТаким образом, точка A будет иметь в канонической системе координатыДанную точкуназывают фокусом параболы и обозначают буквой F .

Прямая l , задаваемая в старой системе координат уравнением в новой системе координат будет иметь видили, опуская штриховку,

Данная прямая в канонической системе координат называется директрисой параболы . Расстояние от нее до фокуса называется фокальным параметромпараболы. Очевидно, он равен p . Эксцентриситет параболы по определению полагают равным единице, то есть ε =  k  = 1.

Теперь свойство, через которое мы определили параболу, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: любая точка параболы равноудалена от ее фокуса и директрисы.

Вид параболы в канонической системе координат и расположение ее директрисы приведены на рис. 10.10.1.

 Рисунок 10.10.1. 

Билет 15

1)

над полем P, есть линейный оператор, если 1) для любых векторов2)для любого вектораи любого.

1) Матрица линейного оператора: Пусть φ-Л.О. векторного пространства V над полем P и один из базисов V: ПустьТогда матрица Л.О.φ:2) Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах: M(φ) - матрица Л.О. φ в старом базисе. M1(φ) - матрица Л.О. φ в новом базисе. Т - матрица перехода от старшего базиса к новому базису.2)Действия над линейными операторами: Пусть φ и f - различные Л.О. векторного пространства V. Тогда φ+f - сумма линейных операторов φ и f. k·φ - умножение Л.О. на скаляр k. φ·f - произведение линейных операторов φ и f. Являюися также Л.О. вектороного пространства V.

4) Ядро линейного оператора: d(φ) - размерность ядра Л.О. φ (дефект).5) Образ линейного оператора: ranφ - ранг Л.О. φ (размерность Jmφ).6) Собсвенные векторы и собственные значения линейного вектора:  Пусть φ - Л.О. векторного пространства V над полем P и иЕслито λ - собственное значение- собственный вектор Л.О. φ, отвечающий λ.  Характеристическое уравнение Л.О. φ:   Множество собственных векторов, отвечающих собственному значению λ:   Л.О. вектороного пространства называются Л.О. с простым спектром, если φ, если φ имеет ровно n собственных значений.  Если φ - Л.О. с простым спектром, то он имеет базис из собственных векторов, относительно которого матрица Л.О. φ диагональна.

2) Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М₁ и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называетсянаправляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М₁(x₁, y₁, z₁), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы иколлинеарны, поэтому найдётся такое числоt, что , где множительt может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М₁ и М соответственно через и, получаем. Это уравнение называетсявекторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что ,иотсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z и точка М перемещается по прямой.

 

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М₁(x₁, y₁, z₁) – точка, лежащая на прямой l, и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точкуМ(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы иколлинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

 – канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметрt. Действительно, из параметрических уравнений получаем или.

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюдаx = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox. Тогда направляющий вектор прямой перпендикуляренOx, следовательно, m=0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид 

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осямOx и Oyили параллельная оси Oz.

Примеры.

1. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М₁(1;0;-2) параллельно вектору .

Канонические уравнения: .

Параметрические уравнения: 

2. Составить уравнения прямой, проходящей через две точки М₁(-2;1;3), М₂(-1;3;0).

 

Составим канонические уравнения прямой. Для этого найдем направляющий вектор . Тогдаl:.

 

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями 

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагаяz= 0:

Решив эту систему, найдем точку M₁(1;2;0).

Аналогично, полагая y= 0, получим точку пересечения прямой с плоскостьюxOz:

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М₁ на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М₁ получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и. Поэтому за направляющий векторпрямойl можно взять векторное произведение нормальных векторов:

.

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y= 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l: .

Билет 16

1) Пусть и — два базиса в Rⁿ.

Определение. Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица C, столбцами которой являются координаты векторов в базисе :

Матрица перехода обратима, поскольку векторы базиса линейно независимы и, следовательно, 

Вектор линейно выражается через векторы обоих базисов. Связь координат вектора в разных базисах установлена в следующей теореме.

Теорема. Если 

то координаты вектора в базисе , и его координаты в базисе связаны соотношениями

где — матрица перехода от базиса к базису , — векторы-столбцы координат вектора в базисах и соответственно.

2) Взаимное расположение двух прямых 

     Если прямые заданы уравнениями ито они:

     1) параллельны (но не совпадают) 

     2) совпадают 

     3) пересекаются 

     4) скрещиваются 

     Если то случаи 1 - 4 имеют место, когда (- знак отрицания условия):

     1)    

     2)    

     3)    

     4)    

     Расстояние между двумя параллельными прямыми 

     В координатах

   Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми 

     В координатах

     Угол между двумя прямыми 

     Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых 

 или 

     Взаимное расположение прямой и плоскости 

     Плоскость и прямая

     1) пересекаются 

     2) прямая лежит в плоскости 

     3) параллельны 

     Если то случаи 1 - 3 имеют место, когда:

     1) 

     2) 

     3) 

Необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости 

 или 

     Угол между прямой и плоскостью 

     Точка пересечения прямой с плоскостью 

     В координатах:

где

     Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно к плоскости 

     В координатах:

Билет 17

1) Очевидно, что система линейных уранвений  может быть записана в виде:

x₁ + x₂ + … + x_n 

 

            

Доказательство.

            1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА^* не изменяют ранга.

            2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот жебазисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

2)   Плоскость в пространстве.

 

   Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀ ,у₀ ,z₀) перпендикулярно вектору n = {A,B,C},называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М₀М = {x - x₀ , y - y_{0 ,} z - z₀) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

                    A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.                                                 (8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

    После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:

                    Ax + By + Cz + D = 0,                                                                (8.2)

где D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

 

                         Неполные уравнения плоскости.

   Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:

1)       D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

2)       А = 0 – n = {0,B,C}Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

3)       В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

4)       С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

5)       А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).

6)       А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

7)       B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.

8)       А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

9)       B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

10)    C = D = 0 -  плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.

11)    A = B = D = 0 – уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.

12)    A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Охz.

13)    B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение плоскости является полным ( то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:

                     (8.3)

называемому уравнением плоскости в отрезках. Способ преобразования показан в лекции 7. Параметры а, b и с равны величинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

Билет18

1)  Однородные системы линейных уравнений 

     Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rankA < n.

     Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

     Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

     В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерностиn - r; - базис этого подпространства.