Фундаментальная система решений однородной слу: определение, теорема.

Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространством пространства Rn. Размерность этого подпространства равна n − r, где r − ранг матрицы системы A. Любой базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений однородной системы. Иначе говоря, любая упорядоченная совокупность n − r линейно независимых решений однородной линейной системы образует фундаментальную систему решений однородной системы.

Например: Однородная система линейных алгебраических уравнений

с помощью элементарных преобразований может быть приведена к каноническому виду:

Ранг r матрицы равен 2, число n неизвестных равно 5, система нетривиально совместна. Размерность пространства решений этой однородной системы равна 3: d = n − I = 5 − 2 = 3. три линейно независимые решения системы

образуют базис пространства решений системы, т.е. образуют её фундаментальную систему решений.

2) Возможны два случая взаимного расположения двух плоскостей в пространстве:

• Параллельны

• Пересекаться

Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в  противном случаи они пересекаются.

Теорема1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство:

Пусть  и - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости , пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в

плоскости . Допустим, что плоскости  и  не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2, как параллельные прямым в1и в2, параллельны плоскости , и поэтому они не

пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости  через точку А проходят две прямые (а1 и а2) , параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.

Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть  - плоскость, в -перпендикулярная ей прямая,  - плоскость, проходящая через прямую в, с - прямая, по которой пересекаются плоскости  и . Докажем, что плоскости  и  перпендикулярны. Проведем в плоскости  через точку пересечения прямой в с плоскостью  прямую а,

перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость . Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т. к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости  и  перпендикулярны. ч.т.д.

Билет 19

1) Линейное уравнение, уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени (т. е. линейно) и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Л. у. относительно одних и тех же неизвестных образуют систему Л. у. Решением системы Л. у. называют набор чисел c₁, c₂, ..., c_n, обращающих все уравнения в тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных. Система Л. у. может иметь как одно единственное решение, так и бесконечное множество решений (неопределённая система); может также оказаться, что система Л. у. не имеет ни одного решения (несовместная система).

Чаще всего встречается случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Одно Л. у. с одним неизвестным имеет вид:

ax = b;

решением его при а ¹0 будет число b/a. Система двух Л. у. с двумя неизвестными имеет вид:

  (1)

где a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂, b₁, b₂— какие-либо числа. Решение системы (1) можно получить с помощью определителей:

 ,

 ;

здесь предполагается, что стоящий в знаменателе определитель  отличен от нуля. В числителях стоят определители, получающиеся из D заменой в нём одного столбца столбцом свободных членов b₁, b₂; в выражении для первого неизвестного x₁ заменяется первый столбец, а в выражении для второго неизвестного x₂ — второй.

Аналогичное правило применимо и при решении любой системы и Л. у. с n неизвестными, т. е. системы вида:

  (2)

здесь a_ij и b_i (i, j = 1, 2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты; числа b₁, b₂, ..., b_n называют обычно свободными членами. Если определитель D = ½a_ij½ системы (2), составленный из коэффициентов a_ij при неизвестных, отличен от нуля, то решение получается следующим образом: k-e (k = 1, 2, ..., n) неизвестное x_kравно дроби, в знаменателе которой стоит определитель D, а в числителе — определитель, полученный из Dзаменой в нём столбца из коэффициентов при отыскиваемом неизвестном (к-го столбца) столбцом свободных членов b₁, b₂, ..., b_n. Если D = 0, то система (2) либо не имеет ни одного решения, либо имеет бесконечное множество решений.

Если все b_i = 0 (систему Л. у. называют в этом случае однородной), то при D ¹ 0 решение системы (2) будет нулевым (т. е. все x_k = 0). В практике часто, однако, встречаются однородные системы Л. у. с числом уравнений на 1 меньше числа неизвестных, т. е. системы вида:

  (3)

Решение такой системы неоднозначно; из неё, как правило, можно найти только отношение неизвестных:

x₁ : x₂ : ... : x_n = D₁ : D₂ : ... : D_n,

где D_n — умноженный на ( — 1)^k определитель, полученный из матрицы коэффициентов a_ij системы (3) вычёркиванием какого-то столбца (это правило применимо только тогда, когда хотя бы один из определителейD_i отличен от 0).

Впервые решение систем (2) было получено Г. Крамером в 1750; правило для нахождения решения этих систем носит до сих пор название правила Крамера. Построение полной теории систем Л. у. было закончено только спустя 100 лет Л. Кронекером.

Общая система m Л. у. с n неизвестными имеет вид:

  (4)

Вопрос о совместности системы Л. у. (4), т. е. вопрос о существовании решения, решается сравнением рангов матриц

и

Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В больше ранга матрицы Л, то система несовместна (теорема Кронекера — Капелли). В случае совместности системы, её решения можно найти следующим образом. Найдя в матрице А отличный от нуля минор наибольшего порядка г, отбрасывают m — rуравнений, коэффициенты которых не вошли в этот минор (отбрасываемые уравнения будут следствиями оставшихся, и поэтому их можно не рассматривать); в оставшихся уравнениях переносят направо те неизвестные, коэффициенты которых не вошли в выбранный минор (свободные неизвестные). Придав свободным неизвестным любые числовые значения, получают систему из r уравнений с r неизвестными, которую можно решить по правилу Крамера. Найденные значения r неизвестных вместе со значениями свободных неизвестных дадут некоторое частное (т. е. одно из многих возможных) решение системы (4). Можно, не давая свободным неизвестным конкретных значений, непосредственно выразить через них остальные неизвестные. Так получается общее решение, т. е. решение, в котором неизвестные выражены через параметры; давая этим параметрам произвольные значения, можно получить все частные решения системы.

Однородные системы Л. у. можно решать таким же способом. Решения их обладают тем свойством, что сумма, разность и вообще любая линейная комбинация решений (рассматриваемых как n-мерные векторы) также будет решением системы. Другими словами: совокупность всех решений однородной системы Л. у. образует линейное подпространство n-мерного векторного пространства. Систему решений, которые сами линейно независимы и позволяют выразить любое другое решение в виде их линейной комбинации (т. е. базис линейного подпространства), называют фундаментальной системой решений однородной системы Л. у.

Между решениями системы Л. у. (4) и соответствующей однородной системы Л. у. (т. е. уравнений с теми же коэффициентами при неизвестных, но со свободными членами, равными нулю) существует простая связь: общее решение неоднородной системы получается из общего решения однородной системы прибавлением к нему какого-либо частного решения неоднородной системы Л. у.

Большой наглядности изложения в теории Л. у. можно добиться, используя геометрический язык. Привлекая при этом к рассмотрению линейные операторы в векторных пространствах (рассматривая уравнения вида Ax = b, А — линейный оператор, х и b — векторы), легко установить связь рассматриваемых алгебраических Л. у. с Л. у. в бесконечномерных пространствах (системы Л. у. с бесконечным числом неизвестных), в частности с Л. у. в функциональных пространствах, например линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения (см. Интегральные уравнения) и др.

Применение правила Крамера при практическом решении большого числа Л. у. может встретить значительные трудности, т. к. нахождение определителей высокого порядка связано со слишком большими вычислениями. Были поэтому разработаны различные методы численного (приближённого) решения систем Л. у.

2)  Взаимное расположение трех плоскостей.

   Пусть даны три плоскости: ,  и , , ,  – их нормальные векторы, соответственно. Рассмотрим все возможные случаи.

1) Все три плоскости совпадают: . Очевидно, что в этом случае .

2) Две плоскости совпадают, а третья параллельна им, например:  и в этом случае .

3) две плоскости совпадают, а третья пересекает их, например:  – прямая пересечения.

   В этом случае, 

      

                                               рис.9.

4) Все три плоскости параллельны друг другу: . Тогда .

5) Две плоскости параллельны, а третья пересекает их, например: . В этом случае  – прямая пересечения плоскостей  и ,  – прямая пересечения плоскостей  и  и, как известно изкурса геометрии, . Нормальные векторы .

         

                                                рис.10.

6) Все три плоскости пересекаются по одной прямой и тогда , но все три вектора ,  и  лежат в одной плоскости.

     

                                            рис.11.

7) Каждая пара плоскостей пересекается по своей прямой, образуя треугольную "трубу" и  , но все три вектора ,  и  лежат в одной плоскости.

  

                                               рис.12.

8) все три плоскости пересекаются в одной точке и их нормальныевекторы некомпланарны.

                                         рис.13.

   Анализируя все эти случаи, мы приходим к следующему выводу.

Теорема. Пусть даны общие уравнения трех плоскостей:

                          ,

                          ,

                          ,

где , ,  – их соответствующие нормальные векторы. Тогда:

1) если смешанное произведение

                       ,

то все три плоскости пересекаются в одной точке, координаты которой можно найти решив систему уравнений

                      ,                             (8)

используя, например, формулы Крамера:

                       , , ,

где  – определитель системы,

, , ;

2) если смешанное произведение

                       ,

а система уравнений (8) не имеет решений, то имеет место случай 2, 4, 5 или 7 из рассмотренных выше.

3) если смешанное произведение

                       ,

а система уравнений (8) имеет бесконечно много решений, то имеет место случай 1, 3, или 6 из рассмотренных выше.

Билет 20

1) У матрицы A , размерностью (N×N) не может быть больше чем N собственных значений. Они удовлетворяют характеристическому уравнению  

det(A − λI) = 0, 

являющемуся алгебраическим уравнением N-го порядка. В частности, для матрицы 2×2 характеристическое уравнение имеет вид

Например,

Рис. 21 Собственные значения

Набор собственных значений λ₁,..., λ_N матрицы A называется спектром A. 

Спектр обладает разнообразными свойствами. В частности

 det(A) = λ₁×...×λ_N,                Sp(A) = λ₁+...+λ_N.

Собственные значения произвольной матрицы могут быть комплексными числами, однако если матрица симметричная (A^t = A), то ее собственные значения вещественны.