ruhmanova_2012

3.Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в i раз, то полученная средняя величина также увеличится или уменьшится в i раз.

4.Если все веса средней взвешенной величины уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая от этого не изменится. Исходя из данного свойства следует, что если все веса равны между собой, то результаты расчетов на основе средней арифметической взвешенной и средней арифметической невзвешенной будут равны.

Четвертое свойство дает возможность заменять частоты на доли (частости), при этом средняя величина не изменится. Это важно, когда известны не абсолютные величины, а удельные веса по группам. Это свойство также показывает, что значение средней величины зависит не от абсолютных размеров частот, а от соотношения между ними.

Последние три свойства средней арифметической величины связаны с первым свойством и вытекают из него. Обычно они применяются для упрощения расчетов средней арифметической, если исходные данные представлены многозначными числами.

При применении средней арифметической взвешенной величины в качестве весов могут выступать не число или доля единиц в данной группе, а значения признаков, которые логически связаны с осредняемым признаком. Например, имеется группировка регионов РФ по уровню преступности (число преступлений на 10 тыс. чел.). Но при расчете среднего уровня преступности в целом по стране в качестве веса следует брать не число регионов

втой или иной группе, а численность населения этих регионов.

Это обусловлено тем, что в соответствии с ИСС уровень преступности определяется отношением числа преступлений к общей численности населения. Следовательно, взвешивая (умножая) уровень преступности на число жителей, мы определяем средний уровень преступности в четком соответствии с содержанием осредняемого показателя.

71

5.2. Структурные средние

Степенные средние величины опираются на всю информацию об изучаемом явлении. Однако в ряде случаев они могут быть дополнены и даже заменены модальными или медианными значениями. Степенные средние не позволяют оценить структуру изучаемой совокупности, охарактеризовать распределение значений признака между отдельными единицами. Эту задачу помогают решить структурные средние — мода и медиана. С их помощью можно отобразить структуру и оценить степень симметричности ряда распределения.

Структурные средние называют также характеристиками центра распределения, поскольку их значения обычно соответствуют значениям тех единиц совокупности, которые расположены в центре ранжированного по возрастанию ряда распределения.

Модой в статистике называют наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности значение признака, т. е. значение признака, встречающееся с наибольшей вероятностью.

В дискретных рядах распределения модой является значение признака, имеющее наибольшую частоту. Поэтому определение моды в дискретных рядах распределения не требует специальных расчетов, а производится непосредственно по данным группировки.

Предположим, что известны следующие данные о результатах сдачи экзамена студентами.

Таблица 9

Распределение студентов по результатам сдачи экзамена

В данном случае модой является значение оценки «хорошо» (4), поскольку оценку «хорошо» за экзамен получило наибольшее число студентов — 13 человек.

72

В интервальных рядах распределения необходимо сначала определить модальный интервал, т. е. интервал с наибольшей частотой. Затем определяется мода по следующей формуле:

вующего и следующего за модальным интервалов; i — величина модального интервала.

Рассмотрим пример определения моды в интервальном ряду распределения.

Таблица 10

Группировка абитуриентов по результатам сдачи вступительных экзаменов

Модальным интервалом является четвертый интервал (18— 20 баллов), имеющий наибольшую частоту (13 человек). Нижняя граница этого интервала составляет (xМо) 18 баллов, величина интервала (i) — 2 балла, частоты, соответственно, модального интервала (fМо) — 13 чел., предшествующего модальному интервалу (fМо-1) — 10 чел. Следующего после модального интервала нет, следовательно, его частота (fМо+1) равна нулю. Модальная величина набранных баллов на вступительных экзаменах составляет

Таким образом, большинство абитуриентов набрали чуть более 20 баллов на вступительных экзаменах, что свидетельствует о высоком уровне знаний абитуриентов.

73

Мода находит практическое применение, например, при изучении спроса населения на товары массового потребления, поскольку отражает наиболее часто встречающиеся предпочтения потребителей.

Медиана — значение признака, находящееся в середине ранжированного (выстроенного в порядке возрастания признака) вариационного ряда. Таким образом, медиана делит ряд на две равные части (по численности единиц). Половина единиц имеет значения признака меньшие, чем медиана, а другая половина — большие.

Чтобы определить медиану, необходимо найти значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда распределения. Поэтому медиана определяется на основе накопленных (кумулятивных) частот. Накопленные частоты для каждой группы (или единицы совокупности в несгруппированных ранжированных рядах) определяются последовательным прибавлением к фактической частоте данной группы (единице совокупности) частот всех предыдущих групп.

Для несгруппированных ранжированных рядов или в дис- кретных рядах распределения сначала определяется порядковый номер медианы (NМе). Если ряд распределения содержит нечет-

ное число единиц, то

N Ме = n + 1 ,

2

где n — численность ряда распределения.

Значение признака, имеющее данный порядковый номер, и будет являться медианой.

Если ряд распределения содержит четное число единиц, то значение медианы определяется как среднее из двух, находящихся в середине ранжированного ряда значений признака.

В интервальных рядах распределения медиана определяется по специальной формуле

где xМе — нижняя граница медианного интервала; SМе-1 — накопленная частота интервала, предшествующего медианному; i — величина медианного интервала; fМе — частота медианного интервала; ∑f — сумма частот ряда.

Следовательно, для расчета медианы в интервальном ряду распределения необходимо сначала определить медианный ин- тервал — интервал, в котором находится числовое значение медианы. Для нахождения медианного интервала следует рассчитать накопленные частоты. Рассмотрим определение медианы на примере. В табл. 11 содержатся сведения о результатах сдачи вступительных экзаменов абитуриентами. Для расчета медианы необходимо определить накопленные частоты для каждого интервала (табл. 11).

но, медианным интервалом будет третий интервал (16—18 баллов), т. к. его накопленная частота первой превышает полусумму всех частот (23 больше 18). Нижняя граница этого интервала составляет (xМе) 16 баллов, величина интервала (i) — 2 балла, частота медианного интервала (fМе) — 10 чел., накопленная частота интервала

Следовательно, половина абитуриентов набрала менее 17 баллов, а половина — более 17 баллов на вступительных экзаменах.

В практической деятельности медиана применяется в статистическом контроле качества продукции. В некоторых странах порог бедности определяется на уровне половины медианного дохода населения.

5.3. Квантильные характеристики совокупности

К структурным характеристикам наряду с модой и медианой относятся и другие порядковые показатели статистики, которые имеют общее название — квантили, отражающие значения признака для определенной части единиц совокупности. В основе расчета квантилей лежит деление единиц совокупности, ранжированных по значениям изучаемого признака, на определенное количество равных частей. В зависимости от количества выделяемых частей чаще всего рассчитывают следующие виды квантилей:

—квартили (делят ряд на четыре равные части);

—квинтили (делят ряд на пять равных частей);

—децили (делят ряд на десять равных частей);

—перцентили (делят ряд на сто равных частей).

Они широко применяются при анализе степени дифференциации различных социально-экономических явлений (например, различий в доходах различных групп населения).

Квантильные статистические характеристики рассчитываются по формулам, аналогичным схеме определения медианы, которая, по сути, является вторым квартилем.

Например, первый и девятый децили находятся по формулам

где xd1 и xd9 — нижние границы интервалов, в которых находятся, соответственно, первая и девятая децили; i — величина соответст-

вующего децильного интервала; ∑ f — общая сумма частот (часто-

стей); Sd1 −1 , Sd9 −1 — накопленные частоты интервалов, предшествующих, соответственно, первому и девятому децильным интервалам; f d1 , f d9 — фактические частоты децильных интервалов.

Соотношение девятого и первого децилей называется децильным коэффициентом дифференциации (Кd), :

K d = d 9 d1 .

Он показывает, во сколько раз минимальное значение признака в группе наибольших его значений (d9) превышает максимальное значение признака в группе минимальных его значений (d1). В частности, этот показатель широко применяется в социальной статистике на основе группировки населения по доходу. Он показывает, во сколько раз минимальные доходы 10 % наиболее обеспеченной части населения превышают максимальные доходы 10 % наименее обеспеченной части населения.

Контрольные вопросы

1.Охарактеризуйте сущность и значение средних величин.

2.Раскройте особенности степенных средних. Какое значение имеет правило мажорантности в статистическом исследовании?

3.В чем состоит сущность и значение средней арифметической? Как рассчитывается средняя арифметическая? Какими свойствами она обладает?

4.Как рассчитываются другие виды степенных средних?

5.Какое значение имеют структурные средние (мода и медиана)? Раскройте особенности их расчета для дискретных и интервальных рядов распределения.

6.Раскройте сущность и порядок расчета структурных показателей дифференциации (квантилей).

77

Тесты

1. Если в исходных данных « веса» вариантов усредняемого признака непосредственно не заданы, а входят как сомножитель в один из имеющихся показателей, то для расчета используется средняя:

a)гармоническая; б) арифметическая; в) хронологическая; г) квадратическая.

2.Наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности называется:

a)модой;

б) медианой; в) вариацией; г) частостью.

3. Отношение отдельных частей совокупности к одной из них, взятой за базу сравнения, характеризует относительная величина:

a)координации; б) структуры; в) сравнения;

г) интенсивности.

4.В рядах динамики, для расчета среднего темпа роста применяется формула средней:

a)геометрической;

б) арифметической; в) квадратической; г) хронологической.

5. Варианта, делящая ряд ранжированных значений на две равные части, называется:

a)медианой; б) модой; в) вариацией;

г) частостью.

6.Именованными величинами выражаются относительные показатели:

a)интенсивности;

б) структуры; в) динамики; г) координации.

7. Среднегодовые остатки оборотных средств предприятия, при наличии информации за каждый месяц, определяются по формуле средней:

a) хронологической; б) арифметической; в) гармонической; г) геометрической.

78

8. При сопоставлении показателей каждого последующего уровня с предыдущим определяются показатели динамики ___________ методом:

a) цепным;

б) интервальным; в) базисным; г) индивидуальным.

9. Если известны фактические данные и процент выполнения плана, то расчет среднего процента выполнения плана производится по формуле средней:

a)гармонической; б) геометрической; в) арифметической; г) хронологической.

10.Если частоты всех значений признака умножить на 8 единиц, то средняя арифметическая величина:

a)останется неизменной;

б) увеличится на 8 единиц; в) увеличится в 8 раз; г) уменьшится в 8 раз.

79

Глава 6

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

6.1. Абсолютные и относительные показатели вариации

Информация о средних уровнях исследуемых показателей обычно бывает недостаточной для полного анализа изучаемого процесса или явления. Иногда совершенно непохожие по своему внутреннему строению совокупности могут иметь равные средние величины. Это связано с тем, что средние величины нивелируют индивидуальные значения варьирующего признака и скрывают различия между ними. Для более детального изучения того или иного явления необходимо учитывать разброс или вариацию значений отдельных единиц совокупности. Измерение вариации признаков имеет как теоретическое, так и практическое значение. Так, например, для выявления наиболее стабильно работающего коллектива или предприятия наравне с другими показателями рассчитывают и основные показатели вариации. Эти показатели дают возможность количественно определить размеры устойчивости производительности труда, уровня квалификации, цен на основные виды выпускаемой продукции и т. п. Измерение размеров вариации такого показателя, как «выполнение работ в срок», имеет важное значение для принятия решений заказчиками и инвесторами, т. к. ситуация, в которой присутствует изменчивость признака, часто содержит риск. Особое значение показатели вариации приобретают в анализе рынка ценных бумаг, где мера колеблемости отождествляется с мерой рискованности вложения денежных средств.

Таким образом, показатели вариации играют важную роль в статистическом анализе, поскольку они решают следующие задачи:

—дополняют средние величины;

—характеризуют степень однородности (неоднородности) изучаемой совокупности по конкретному признаку;

—определяют границы вариации признака;

—отражают тесноту связи между признаками.

80