ruhmanova_2012

Продолжение табл. 13

Продолжение табл. 13

Окончание табл. 13

Для измерения функциональных связей используются балансовый и индексный методы. В балансовом методе применяется аддитивная модель, в которой связь зависимой переменной от независимых переменных выражается действиями сложения и вычитания. Например, объем основных фондов на конец периода (Фк) зависит от наличия основных фондов на начало периода (Фн), величины поступивших (П) и величины выбывших (В) за период основных фондов. Эту зависимость можно представить в виде следующей аддитивной модели:

Фк = Фн + П — В.

Индексный метод измерения функциональных связей основан на построении мультипликативной модели, в которой связь зависимой и независимых переменных выражается действиями умножения и деления. Например, объем произведенной продукции (Q) можно рассматривать как результат совместного влияния величины затрат труда (T) и уровня производительности труда (W) работников. Данную зависимость можно представить в виде следующей мультипликативной модели:

Q = T * W.

Для исследования стохастических связей, их характера и направленности в статистике широко используются такие методы, как метод сопоставления параллельных рядов; графический метод (корреляционное поле); корреляционные таблицы; метод аналитических группировок; корреляционный и регрессионный анализ, непараметрические методы (табл. 14).

93

7.2.Корреляционно-регрессионный анализ

визучении связей

Статистическое изучение взаимосвязей предполагает не только количественную оценку наличия, направления и силы связи, но и аналитического выражения влияния факторных признаков на результативный, т. е. определение формы связи. Для решения данной задачи применяют методы корреляционного и регрессионного анализа.

С помощью корреляционного анализа измеряют тесноту связи между варьирующими признаками, выявляют неизвестные причинные связи и оценивают наиболее существенные факторы.

Регрессионный анализ позволяет определить и выбрать модель зависимости (установить форму связи), установить степень влияния факторов (независимых переменных) на результат (зависимую переменную) и рассчитать теоретические значения результативного признака (функции регрессии).

Перечисленные выше задачи в статистическом анализе решаются системно и предполагают комплексное использование указанных методов.

В статистике разработаны следующие методологии исследования зависимостей:

1)парной корреляции, которая рассматривает связь между двумя признаками (результативным и факторным), т. е. представляет собой однофакторный анализ. Выражается двухмерными моделями корреляционного и регрессионного анализа;

2)частной корреляции, которая характеризует зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков;

3)множественной корреляции, которая описывает зависи-

мость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.

Одним из наиболее важных вопросов определения регрессионной модели (выбора уравнения регрессии) является точное установление математической функции, которая отражает реальную связь между изучаемыми признаками. Выбор модели может основываться на качественном анализе сущности явления, ре-

95

зультатах аналогичных исследований или на эмпирическом подборе и оценке функций разных типов.

При построении моделей регрессии должны соблюдаться следующие требования.

1.Совокупность исследуемых исходных данных должна быть однородной и математически описываться непрерывными функциями.

2.Должна существовать возможность описания моделируемого явления одним или несколькими уравнениями причинноследственных связей.

3.Все факторные признаки должны иметь количественное (числовое) выражение.

4.Исследуемая совокупность должна иметь достаточно большой объем.

5.Должно обеспечиваться постоянство территориальной и временной структуры изучаемой совокупности.

Соблюдение данных требований позволяет построить модель, наилучшим образом описывающую реальные социальноэкономические явления и процессы.

При исследованиях связей показателей экономической деятельности используют уравнения различных видов прямо- и криволинейных связей.

Аналитическая связь между двумя признаками (однофакторная, или парная, корреляция) описывается следующими

уравнениями.

Прямой: yˆ = a0 + a1 x (линейная функция).

(или другой ее степени, степенная функция). Экспонента yˆ x = a0 xa1 (экспоненциальная функция).

Если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной связи — гиперболическая. Если результативный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а факторный значительно быстрее, то используется параболическая или степенная регрессия.

96

В большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчетов преобразуют в линейную форму.

Уравнение линейной связи имеет следующий вид:

yˆ = a0 + a1 x ,

где yˆ — теоретические (расчетные) значения результативного признака; а0, а1 — параметры уравнения регрессии.

Параметр а0 представляет собой среднее значение признака (у) в точке х=0, поэтому его экономическая интерпретация часто невозможна.

Параметр а1 в уравнении парной регрессии является показателем силы связи между вариацией факторного признака х и вариацией результативного признака у. Он показывает, насколько в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на одну единицу его измерения. Знак параметра а1 характеризует направление изменения.

Оценка параметров уравнений регрессии осуществляется методом наименьших квадратов, согласно которому сумма квадратов отклонений фактических значений (уi) от расчетных ( yˆ )

является минимальной.

∑( yi − yˆ ) 2 → min .

Для нахождения параметров a0 и a1 в соответствии с методом наименьших квадратов используем систему нормальных уравнений:

a0 = y − a1 x .

97

Правильность расчетов параметров модели проверяется путем сравнения сумм фактических (эмпирических) значений результативного признака и расчетных (теоретических):

∑ у = ∑ уˆ .

Часто корреляционный и регрессионный анализ проводят для ограниченных по величине совокупностей (выборочных). В результате этого значения основных показателей (параметров моделей, показателей тесноты связи) могут быть искажены под влиянием случайных факторов. Для распространения полученных результатов на генеральные совокупности необходимо проверить надежность, адекватность построенных регрессионных моделей.

Значимость параметров однофакторной линейной регрессии (для совокупностей, имеющих объем до 30 единиц) проверяют с помощью t-критерия Стьюдента. Для каждого параметра рассчитывают значения t-критерия, а затем сравнивают их с табличными (критическими) значениями критерия.

Так, значение t-критерия для параметра а0 определяют по формуле

где n — объем выборки; σ ост. — среднее квадратическое отклонение фактических значений результативного признака (у) от теоретических значений ( уˆ );σ х — среднее квадратическое отклонение факторного признака.

Таким образом,

После расчета значений t-критерия для параметров модели, их сравнивают с критическим значением, определенным по таблице Стьюдента. Для его нахождения задают уровень значимости α (вероятность, с которой может быть опровергнута гипотеза о той или иной форме связи) и число степеней свободы вариации v (число свободно варьирующих элементов совокупности; v = n–2 ). Обычно для социально-экономических исследований уровень значимости принимают равным 0,05.

Параметр уравнения считается надежным (значимым), если выполняется условие

tрасч. > tтабл.

Вэтом случае вероятность того, что рассчитанные значения параметров уравнения обусловлены случайными совпадениями, ничтожно мала.

После проверки адекватности модели можно определить тесноту корреляционной связи между факторным и результативным признаками, т. е. перейти к корреляционному анализу.

Вслучае наличия линейной или нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение (ηэ) рассчитыва-

ется по данным группировки, когда δ2межгр. (межгрупповая дисперсия) характеризует отклонения групповых средних результативного показателя от общей средней:

Теоретическое корреляционное отношение (ηт) является уни-

версальным показателем тесноты связи и определяется как отношение среднего квадратического отклонения теоретических (расчетных) значений результативного признака (δ2) и среднего квадратического отклонения его фактических значений (σ2) по формуле

Расчет значения теоретического отношения основывается на правиле сложения дисперсий (см. 6.2), согласно которому

σ 2 = δ 2 + σ ост2 . ,

где σ 2ост. — характеризует вариацию результативного признака у за счет остальных факторов, кроме х, т. е. является остаточной дисперсией.

Следовательно, теоретическое корреляционное отношение можно рассчитать, как

Подкоренное выражение (или квадрат теоретического корреляционного отношения) представляет собой коэффициент де- терминации (η2), который показывает долю вариации результативного признака под влиянием вариации факторного признака.

Теоретическое корреляционное отношение применяют для измерения тесноты связи в условиях линейных и криволинейных зависимостей. При криволинейных связях теоретическое корреляционное отношение (ηт) нередко называют индексом корреля-

ции (R).

Корреляционное отношение может изменяться в пределах от 0 до 1 (0 ≤ ηТ ≤ 1). Чем ближе его значение к единице, тем теснее связь между признаками.

К тому же теснота связи при линейной зависимости изме-

ряется с помощью линейного коэффициента корреляции:

r = xy - x × y ,

σ xσ y

где σх и σу — средние квадратические отклонения соответственно факторного (х) и результативного (у) признаков; х и у — сред-

ние значения признаков; ху — среднее значение произведений факторного и результативного признаков.

100