Другие методы определения скоростей точек тела

1. Теорема о проекции скоростей двух точек тела

Рассмотрим две точкиA и B тела, совершающего плоское движение. Примем точку A за полюс, тогда

.

Проецируем обе части равенства на линию AB, получим

. (43)

Уравнение (43) выражает следующую теорему.

Теорема: При плоском движении твердого тела проекции векторов скоростей любых двух его точек на прямую, соединяющую эти точки равны между собой.

2. Мгновенный центр скоростей

В любой момент времени в сечении тела, совершающего плоское движение, или плоскости жестко связанной с сечением, существует точка, скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС).

МЦС расположен на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей двух каких-либо точек (причем достаточно знать только направление векторов). Это положение легко доказывается. Предположим, что, то по теореме о проекции скоростей точек тела одновременнодолжен быть перпендикулярен к отрезкамAP и BP, что невозможно.

Если взять за полюс точку P, то в этом случае =0 и тогда

. (44)

Скорость любой точки тела всегда перпендикулярна отрезку, соединяющему ее с МЦС, и по модулю равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до МЦС.

Отсюда следует, что скорости различных точек тела пропорциональны их расстояниям до МЦС

. (45)

Частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей

1. Вектора скоростей двух точек параллельны и не перпендикулярны отрезку их соединяющему.

МЦС расположен в бесконечности, скорости всех точек сечения равны по модулю и направлению, тело совершает мгновенное поступательное движение, =0.

2. Вектора скоростей двух точек параллельны и перпендикулярны соединяющему их отрезку.

Вэтом случае положение МЦС определяется из (45) или следующим из него построением, показанным на рисунке.

3. Качение без скольжения по неподвижной поверхности.

В этом случае МЦС – это точка касания тела (цилиндра, диска и т.д.) с поверхностью.

Определение ускорения точек при плоском движении

Воспользуемся уравнением (42) для определения скорости и вычислим от него производную

,

. (46)

Ускорение любой точки в сечении тела, совершающем плоское движение, определяется как геометрическая сумма ускорений полюса и ускорения точки в ее вращении вместе с телом по отношению к полюсу.

Так как точка B по отношению к полюсу совершает движение по дуге окружности, то

. (47)

Очевидно ,; , .

Если точка A движется непрямолинейно, то ее ускорение также будет складываться из касательного и нормального.

Сложное движение

Сложным называется движение материальной точки, отнесенное к двум системам отсчета – подвижной и условно неподвижной. Подвижная система совершает движение по отношению к неподвижной.

Пусть точка M движется по отношению к системе Oxyz, которая в свою очередь движется по отношению к неподвижной системе O₁x₁y₁z₁.

M₀M – относительное движение;

M₀M – переносное движение;

M₀M₁ – абсолютное движение.

При сложном движении различают абсолютное, переносное и относительное движение.

Относительное движение – это движение точки по отношению к подвижной системе отсчета.

Переносное движение – это то ее движение по отношению к неподвижной системе, которое она имела бы при отсутствии относительного движения.

Абсолютное движение – движение точки по отношению к неподвижной системе отсчета.

Траектория (скорость, ускорение) движения точки при мысленно остановленном переносном движении, будет являться относительной траекторией (скоростью, ускорением).

Траектория (скорость, ускорение) геометрической точки подвижной системы, с которой в данный момент совпадает материальная точка, по отношению к неподвижной системе, называется переносной траекторией (скоростью, ускорением).