Определение линейных скоростей и ускорений точек вращающегося тела

Рассмотрим точку M, тела, совершающего вращательное движение по закону относительно оси, проходящей через точку O. Точка расположена на расстоянии R от оси вращения. Дуговая координата s точки, измеряемая от положения O₁, определяется выражением

. (37)

Тогда скорость точки M найдем в соответствии с уравнением (12), полученным для естественного способа задания движения

Скорость точки тела, совершающего вращательное движение, определяется как произведение угловой скорости на расстояние точки до оси вращения

. (38)

Направлен вектор скорости по направлению вращения.

Для нахождения ускорения точки воспользуемся выражениями (23) и (25), подставив в них (38)

,

.

Касательное ускорение определяется, как произведение углового ускорения на расстояние до оси, и направлено по направлению углового ускорения.

Нормальное ускорение определяется как произведение квадрата угловой скорости на расстояние до оси вращения. Направлено нормальное ускорение всегда к оси вращения.

(39)

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса определяется следующим образом

. (40)

Плоское движение твердого тела

Плоским (плоскопараллельным) называется движение твердого тела, при котором все его точки описывают плоские траектории параллельные базовой плоскости.

Пусть тело совершает плоское движение по отношению к некоторой базовой плоскости. Все точки, лежащие на перпендикуляреAB к базовой плоскости, движутся одинаково. Следовательно, для задания плоского движения твердого тела необходимо и достаточно задать движение какого-нибудь сечения тела.

. (41)

Система (41) представляет собой уравнения плоского движения твердого тела. Первые два уравнения описывают движение некоторой точки сечения, а третье – вращение тела по отношению к этой точке.

Точка, выбранная для определения положения сечения, называетсяполюсом.

Таким образом, плоское движение твердого тела складывается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как полюс, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Основными кинематическими характеристиками плоского движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса, а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса. Причем, вращательная составляющая движения от выбора полюса не зависит.

Определение скоростей точек тела при плоском движении

Рассмотрим сечение тела, совершающего плоское движение. Пусть есть некоторая точкаA, движение которой известно. Выберем ее в качестве полюса. Необходимо найти скорость произвольной точки M этого сечения.

Воспользуемся векторным способом задания движения. Из рисунка видно, что

.

Возьмем производную от этого выражения

.

Так как в итоге получим

. (42)

где - относительная скорость точкиM при вращении тела относительно полюса A, определяется как произведение угловой скорости тела на расстояние от точки до полюса

.

Таким образом, скорость любой точки тела при его плоском движении равна геометрической сумме скорости полюса и скорости точки в ее вращении вместе с полюсом по отношению к полюсу.

Модуль и направление вектора скорости точки находится по правилу параллелограмма.