МУКР_КомпМате
.pdf
4. Нахождение неопределенных интегралов.
Задание. Найти неопределенные интегралы a и b. Сделать проверку.
|
|
a |
b |
||
|
|
|
|
|
|
99 |
|
|
|
ln(4 + 2) |
|
2 + 4 + 5 |
|||||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Вырезки из протокола:
21
Итоговые результаты:
Получены следующие выражения для первообразных:
|
1 |
|
|
||||||
a |
2 + |
5 + 4 + 2 |
+ arcsh(2 + ) ; |
||||||
2 |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
||
b −2 − 2 arctg |
+ |
2 ln(4 + 2) . |
|||||||
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проверка пройдена. Производные найденных выражений после упрощений совпадают с соответствующими подынтегральными выражениями.
22
5. Вычисление определенных интегралов.
Задание. Вычислить определенные интегралы a и b.
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
99 |
/4 |
|
/2 |
|
|
|
|
|
sin7 |
|
|
1 + 2 sin2 |
||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Вырезка из протокола:
|
|
|
|
|
Итоговые результаты: |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
||
|
|
|
|
|
|
|||
99 |
|
|
|
|
16 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
35 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
6. Несобственные интегралы.
Задание. Вычислить несобственные интеграл. Указать обстоятельства, на основании которых данный интеграл относится к несобственным.
99 |
∞ |
|
99' |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
ln |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание. В индивидуальном варианте выбирается один из случаев.
Вырезка из протокола:
Итоговые результаты:
Водном случае интеграл (99) вычисляется как несобственный, поскольку промежуток интегрирования неограниченный.
Вдругом случае интеграл (99') вычисляется как несобственный, поскольку подынтегральное выражение не имеет конечного предела в предельной точке промежутка интегрирования (в данном случае, при → 1 + 0).
Ввыбранном случае получено следующее значение несобственного интеграла:
99 /(3 3);
99' 2 2.
24
7. Формула Тейлора.
Задание. Даны функция ( ), точка 0, целое число ≥ 1. Требуется написать формулу Тейлора вида
|
|
+ = + , |
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
где ( ) = |
при → 0, а ( ) - многочлен степени ≤ . Построить в |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
окрестности точки = 0 |
графики |
функции ( 0 |
+ ), |
многочлена |
||||||
Тейлора ( ), |
остаточного члена |
( ). Визуальным |
путем |
определить |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условие, при котором можно написать приближенное равенство |
|
|||||||||
|
|
|
|
+ |
≈ . |
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99 |
|
= 1/ |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вырезки из протокола:
25
Итоговые результаты:
Формула Тейлора |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
5 3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= 1 − |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ ( 4) |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
8 |
|
|
16 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Многочлен Тейлора |
|
99( ) = 1 − |
|
+ |
3 2 |
+ |
5 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
8 |
|
16 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Остаточный член |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
5 3 |
||||||
|
|
= |
|
|
|
− (1 − |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
8 |
16 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 + |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
Место для размещения рисунков из Out[31]
График остаточного члена и вычисления показывают, что при ≤ = 0.2 можно написать приближенное равенство
|
1 |
|
|
|
3 2 |
5 3 |
|
|
|
≈ 1 − |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
2 |
8 |
16 |
|||
|
1 + |
||||||
с абсолютной погрешностью ≤ 0.00054.
27
8. Построение геометрических объектов на плоскости.
Задание. Даны 2 функции: ( , ) и = ( ). В 1-ом случае требуется:
(1)заполнить прямоугольную область плоскости линиями уровня ( , ) = ;
(2)построить линию уровня ( , ) = 0; (3) показать область , < 0;
(4) показать область , > 0. Во 2-ом случае требуется построить график в полярной системе координат.
|
( , ) |
( ) |
|
|
|
01 |
2 − ( − )2 |
= 2 cos − |
Вырезки из протокола:
28
Итоговые результаты:
Переносим сюда рисунки: Out[51], Out[52]; Out[44]. Добавляем необходимые пояснения.
29
9. Построение геометрических объектов в пространстве.
Задание. Даны 2 функции: = ( , ) и Φ( , , ). В 1-ом случае требуется построить несколько графиков функции = ( , ), чтобы показать детали формы поверхности. Во 2-ом случае также требуется построить несколько изображений поверхности Φ , , = 0, чтобы прояснить ее форму.
Указания. В качестве ( , ) использовать свою функцию из задания 8.
Во 2-ом случае предлагается принять Φ , , , , |
, , , где |
|||||||
|
|
|
| | |
|
|
|
− 2)2 + 2 − 1 . |
|
, , 2 + 2 + |
− 1, |
, , ( 2 + 2 |
||||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Вырезки из протокола:
30