Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный экономический университет (бывш. ФИНЭК, ИНЖЭКОН)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МУКР_КомпМате

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2015

Размер:

2.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

5. Интегрирование. Определенные интегралы.

Задание. Вычислить определенные интегралы a и b.

												a									b

01	2													1
01														1		arcsin




									2 − 1
									2 − 1									1 +
	2/		3											0

02	0													/3


																		cos2
	−2 + 3 + ( + 3)												3					cos2
	−2 + 3 + ( + 3)													/6


03	4/		3
						2 − 4										ln2

	2													1




04
04			3											/4
																	3 sin 4


							(1 + 2)3							0
							(1 + 2)3
	3/3

	2
05														2	3
05														2	3				2	+ 4
																			2

			(4 + 2)2

	−2													2					2
	−2													2

06	5
06
																ln


	1	+								2 − 1				1
	1													1

07	1													1
07
																arctg


	1/4						1 + 4 2							0
							1 + 4 2


08	1													1
08



	−1				5 − 4									0
	−1													0

09	ln 6													/4
09	ln 6													/4
				− 2													2 cos 2
	ln 2										+ 2						2 cos 2
											+ 2
														0

10	3													/6
		2						9 − 2									cos
	0													0

Рекомендуемые средства: оператор или функция Integrate (definite).

6. Несобственные интегралы.

Задание. Вычислить несобственный интеграл. Указать обстоятельства, на основании которых данный интеграл относится к несобственным.

01	∞				06	∞
01					06		−2

		ln3
		ln3
						0

02	∞				07	2
02					07


			2 + 6 + 1				( 2 − 1)4/5
	−∞					0

03	∞				08	4
03					08
		−2 cos


	0					2		6 − 2			− 8
	0					2

04	∞				09	2/3
			1 + 2
		2(1 + )
		2(1 + )				1/3 9			2	− 1
	1					1/3 9				− 1
05	∞				10	2	3
05					10


	2			( 2 + 5)3		0		4 − 2
	2					0

Рекомендуемые средства: оператор или функция Integrate (definite).

7. Формула Тейлора.

Задание. Даны функция ( ), точка 0, целое число ≥ 1. Требуется написать формулу Тейлора вида

		+ = + ,
	0
где ( ) =	при → 0, а ( ) - многочлен степени ≤ . Построить в

окрестности точки = 0 графики				функции ( 0		+ ),	многочлена
Тейлора ( ),	остаточного члена			( ). Визуальным		путем	определить

условие, при котором можно написать приближенное равенство
		+		≈ .
	0

	( )

01	= arcsin				0		3

02	= tg				0		3

03	= /( − 1)				2		3

04	= 3				0		5
04	= 3	8 + 2			0		5
05	= ln(4 + 2)				0		5
06	= exp −		2		0		5
	= exp −		2

07	= sin2				0		5
08	= arctg				0		5

09	= (1 + )2/3				0		4
10	= (1 + )3/2				0		4

Рекомендуемые средства: функции Series[∙] и Normal[Series[∙]]. Графические средства: Plot (с опциями).

Примечание. Если 0 = 0 (случай записи формул по Маклорену), то имеет смысл вместо везде употреблять , поскольку эти переменные связаны соотношением = 0 + .

8. Геометрические объекты на плоскости.

Задание. Даны 2 функции: ( , ) и = ( ). В 1-ом случае требуется:

(1)заполнить прямоугольную область плоскости линиями уровня ( , ) = ;

(2)построить линию уровня ( , ) = 0; (3) показать область , < 0;

(4) показать область , > 0. Во 2-ом случае требуется построить график= ( ) в полярной системе координат.

			( , )		( )

01	9 2		− 4 + 6 2 + 16 − 8 − 2		2 cos 2 +
02	2 − 2 + 2 − 10 − 6 + 25				2 cos 3 +
03	5 2		+ 12 − 22 − 12 − 19		2 cos(3 /2) +	(0 ≤ ≤ 4 )
04	4 2		− 4 + 2 − 6 + 3 − 4		2 cos(3 /2)	(0 ≤ ≤ 4 )
05	2 2		+ 4 + 5 2 − 6 − 8 − 1		sin 2
06	3 + 3 − 3				sin 3 +
07	( 2		+ 2)3 − 4 2	2 2	( sin(3 /2) − )1/2	(0 ≤ ≤ 4 )
08	( 2		+ 2 − 2 )2 − 2( 2 + 2)		sin2(3 /2) −	(0 ≤ ≤ 4 )
09	2	( + )2 + 2		− 2 2	(sin )/
10	( 2		+ 2)2 − 2 2	( 2 − 2)	( − sin )/	(0 ≤ ≤ 4 )

Рекомендуемые средства: функции ContourPlot, RegionPlot, PolarPlot.

Предлагается использовать опции указанных функций, чтобы улучшить внешний вид графических изображений.

Примечания. Если в индивидуальном варианте задания имеются параметры, то следует задавать свои значения ≠ 0 и ≠ 0. По умолчанию функция

= ( ) задана при 0 ≤ ≤ 2 .

9. Геометрические объекты в пространстве

Задание. Даны 2 функции: = ( , ) и Φ( , , ). В 1-ом случае требуется построить несколько графиков функции = ( , ), чтобы показать детали формы поверхности. Во 2-ом случае также требуется построить несколько изображений поверхности Φ , , = 0, чтобы прояснить ее форму.

Указание. В качестве ( , ) использовать свою функцию из задания 8.

( , , )

01	2 + 2 − 2 + 1							06	2 − 2 − 2
02	2		2		2			07	2		2		2
		+		+		− 1				+		−		− 1
	9	+	4	+	25	− 1			16	+	4	−	36	− 1

03	2 + 2 − 2						( ≠ 0)	08	2 − 2 − 2						( ≠ 0)
04	2 + 2 − 2 − 4							09	2 − 2 + 2 + 4
05	−							10	− 2

Рекомендуемые средства: функции Plot3D и ContourPlot3D.

Предлагается использовать опции указанных функций, чтобы улучшить внешний вид графических изображений.

Примечание. Если в индивидуальном варианте задания имеются параметры, то следует задавать свои значения ≠ 0.

10. Уравнения и системы уравнений

Задание. Даны уравнение b и система алгебраических уравнений a.

В случае a требуется найти все точные решения. В случае b требуется найти хотя бы одно приближенное решение. В обоих случаях требуется показать найденные решения на графиках.

3 + 3 = 35

= arctg 3

+ = 5

2 + 2 − = 13

2 = ln( + 1)

+ − = 3

2 2 + 2 + 3 = 12

= 2 − ln

2( + )2 − 2 = 14

− + 2 = 7

2 arctg = 1

+ = 5

+ + = 11

ln = arctg

2 + 2 = 30

4 + 4 = 82

2 = cos

= 3

+ sin = 1

= 13

+ = 5

2 = − ln

−

− 1

+ 1

2 − − 5 = 0

− 5

= 3

5 −

−

2 + 2 = 20

4 2 + 3 2 = 3

3 − 5 + 1 = 0

3 + 8 = 4

Рекомендуемые средства: функции (решатели) Solve, NSolve, FindRoot.

Примечания. Если применение NSolve (с целью нахождения приближенного решения) не приводит к успеху, то следует перейти к FindRoot с указанием стартовой точки, из которой начинается поиск решения. Чтобы установить местонахождение стартовой точки, бывает целесообразно стоить график.

Примеры выполнения заданий индивидуального варианта

Нахождение пределов.

Задание. Найти пределы a, b, c.

− 3

(1 − cos )2

sin

lim

sin −sin

→5

−

→0

− sin

→0

Вырезка из протокола:

Итоговые результаты:

a		b	c

2	1		1

3 ∙ 51/6	4

Суммы и произведения.

Задание. Проверить, что выполняются равенства a и b.

∞

ctg

ch − cos

−

1 +

− 2

4 4 4

Вырезка из протокола:

Итоговые результаты:

Фактически проверка данных утверждений сводится к вычислениям суммы и произведения. Полученные результаты показывают, что равенства a и b действительно имеют место.

3. Вычисление производных.

Задание. Для данных функций = ( ) и = ( ) требуется вычислить их производные 1-го и 2-го порядков: ′ и ′′. В конце следует упростить полученные результаты.

	= ( )	= ( )

99	= arctg(tg2 )	= (1/ )1/

Вырезки из протокола:

Итоговые результаты:

После сделанных упрощений было установлено, что искомые производные выражаются следующими формулами:

′

4 sin 2

3 + cos 2

′′

= −

−9 cos 2 + cos 6

;

(3 + cos 2 )2

′

= −

1 + ln

= 1

1 + 3 + 2 1 + ln 1 + ln 1

′′

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.09.2019182.78 Кб7МУ_Соц 25 03 2012.doc
#
23.08.2019475.14 Кб6МУ_Финансовый_Менеджмент_080105.65.doc
#
10.11.2019205.31 Кб8Муз.восп. стандарт 2 драма.doc
#
01.04.2015215.04 Кб26МУК БизПлан 080200.62.doc
#
22.11.20191.02 Mб19МУк практ маркетинг.doc
#
01.04.20152.31 Mб17МУКР_КомпМате.pdf
#
30.08.2019126.46 Кб12МУкурс.MА туризма.doc
#
19.09.2019173.06 Кб15Муниц.менеджм..doc
#
01.04.2015369.66 Кб126Муниц.право-материал №1.doc
#
04.05.2019108.03 Кб25Муниципальное образовательное учреждение школа.doc
#
02.04.201514.38 Mб426Мусульманская семья в современном мире.pdf