МУКР_КомпМате
.pdf
М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р А З О В А Н И Я И Н А У К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА И ЭКОНОМИКИ
КАФЕДРА «ПРИКЛАДНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ»
КОМПЬЮТЕРНАЯ МАТЕМАТИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
ДЛЯ БАКАЛАВРИАТА ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 230700.62
«Прикладная информатика»
Санкт-Петербург
2013
Одобрен на заседании кафедры «Прикладные информационные технологии», протокол № %% от %%.%%.2013 г.
Компьютерная математика. Методические указания по выполнению контрольной работы для бакалавриата заочной формы обучения по направлению 230700.62 «Прикладная информатика». – СПб.: Изд-во СПбГУСЭ, 2012.
Составители:
доц. кафедры «Прикладные информационные технологии», к.ф-м.н. А.В. Кондрашков
Рецензент: д.т.н., проф. М.О. Колбанев
Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики
2013 г.
2
Содержание
Предисловие
Порядок выполнения и оформления контрольной работы
Методические указания по применению средств программы
"Wolfram Mathematica 7"
Варианты заданий по темам
1.Пределы.
2.Суммы и произведения.
3.Дифференцирование.
4.Интегрирование. Неопределенные интегралы.
5.Интегрирование. Определенные интегралы.
6.Несобственные интегралы.
7.Формула Тейлора.
8.Геометрические объекты на плоскости.
9.Геометрические объекты в пространстве.
10.Уравнения и системы уравнений
Примеры выполнения заданий индивидуального варианта
1.Нахождение пределов.
2.Суммы и произведения.
3.Вычисление производных.
4.Нахождение неопределенных интегралов.
5.Вычисление определенных интегралов.
6.Несобственные интегралы.
7.Формула Тейлора.
8.Построение геометрических объектов на плоскости.
9.Построение геометрических объектов в пространстве.
10.Поиск решений уравнений и систем уравнений
3
Предисловие
Дисциплина "Компьютерная математика" рассматривает информационные технологии в математике на основе компьютерных программ. В настоящее время существуют программные продукты (широко известные как системы компьютерной математики, или просто СКМ), реализующие компьютерные технологии в математике. Сюда относятся такие популярные системы, как MATLAB, Maple, Mathematica, и т.д. Для ознакомительных целей выбор конкретной СКМ не имеет принципиального значения, поскольку все эти системы предназначены для решения одних и тех же математических задач.
Настоящая версия дисциплины "Компьютерная математика" (для заочной формы обучения по направлению 230700.62 «Прикладная информатика») ориентирована на применение СКМ Mathematica. Контрольная работа предназначена для самостоятельного освоения возможностей и средств системы при решении типовых задач по математике. Тематика заданий охватывает ряд традиционных разделов высшей математики. Многие задачи для индивидуальных вариантов заданий взяты из классического задачника [3] по математике для технических вузов.
4
Порядок выполнения и оформления контрольной работы
1.Контрольная работа содержит 10 заданий по различным разделам высшей математики. Индивидуальный вариант контрольной работы определяется 2-мя последними цифрами в зачетной книжке студента.
2.Все задания индивидуального варианта выполняются в программе "Wolfram Mathematica 7". На ее рабочем листе *.nb формируется протокол выполнения контрольной работы.
3.В дальнейшем следует сохранить протокол, фиксируя фамилию студента и номер варианта. (Пример сохранения протокола: zurupa_07.nb.)
4.На основании протокола составляется отчет о выполнении контрольной работы как документ *.docx. По каждому заданию в отчет внедряются только следующие пункты: формулировка задания; итоговые результаты. Пункт "Вырезки из протокола" (как в примерах выполнения) в отчет не вставляются!
5.После добавления титульного листа (согласно установленному образцу) следует сохранить отчет, фиксируя фамилию студента и номер варианта. (Пример сохранения отчета: цурюпа_07. docx.)
6.На защиту контрольной работы доставляется папка (в электронной форме) с указанием фамилии студента и направления подготовки. В папку должна содержать протокол и отчет. (Пример папки: цурюпа_2307.)
Методические указания по применению средств программы
"Wolfram Mathematica 7"
Система компьютерной математики "Wolfram Mathematica 7" (далее просто WM7) предназначена для выполнения математических расчетов всех видов: числовых, символьных, графических. Работа пользователя с этой системой основана на программировании математических объектов и их свойств, а также действий с объектами.
1.При запуске программы WM7 в ее окне открывается рабочий лист *.nb. Одновременно появляется отдельное окно Welcome to WM7, из которого предлагается доступ к ресурсам системы.
2.Из окна Welcome to WM7 через Complete Documentation можно перейти в окно справочной службы Wolfram Mathematica: Documentation Center. Другой путь в окно Documentation Center проходит через меню Help на верхней панели окна программы WM7.
3.В режиме диалога пользователь вводит на текущий рабочий лист *.nb свои директивы (указания), формулируя их на языке программирования для
5
СКМ WM7. Чтобы система корректно и однозначно распознавала все формулировки пользователя, приходится соблюдать определенные правила.
4.При написании тех или иных формулировок широко используются различные средства системы, в том числе функции. Имена всех функций системы и другие служебные слова зарезервированы и начинаются с заглавной буквы. По этой причине имена переменных и функций, вводимых пользователем, не должны содержать заглавных букв.
5.О каждой функции системы исчерпывающая информация (правила написания, примеры использования, и т.п.) может быть найдена на странице этой функции в справочной службе.
6.Для задания свойств некоторых математических объектов (например, графических изображений) применяются опции. Если выбранная функция допускает опции, то исчерпывающая информация о доступных опциях (вместе с примерами) может быть найдена на странице этой функции в справочной службе WM7: Documentation Center.
7.При составлении той или иной формулировки применяются различные стили: FullForm, InputForm, OutputForm, StandardForm, а также
TraditionalForm, и др. Различие между стилями определяется мерой использованием основной клавиатуры. В частности, с основной клавиатуры компьютера можно вводить любые формулировки на языке программирования в стиле FullForm. Однако в других стилях для набора ряда специальных символов используются соответствующие комбинации клавиш.
8.Более эффективный ввод формулировок связан с программированием в стиле StandardForm. Для реализации этого способа в системе WM7 имеются палетки (Paletts) с различными виртуальными клавиатурами.
Полезная палетка Basic Math Assistant1 может быть установлена через меню Paletts на верхней панели окна программы WM7.
9.Палетка Basic Math Assistant содержит "карманы" Basic Commands и Typesettings. В каждый из этих "карманов" вложены виртуальные клавиатуры.
10.Виртуальные клавиатуры предназначены для ввода специальных символов и шаблонов элементов математических выражений.
1 И другие палетки тоже.
6
Варианты заданий по темам
1. Пределы.
Задание. Найти пределы a, b, c.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
01 |
lim |
|
|
|
3 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
sin 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(cos )1/ 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
→∞ 5 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ tg 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(1 + tg2 |
|
)3/ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
→10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 arcsin |
lim (ln |
2 + |
− ln ) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
− 1 − 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
04 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1 |
|
|
1 + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ln |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
1 − |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos − cos |
|
|
− |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
lim |
lim |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + |
3 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log − 1 |
|
|
|
||||||||||
|
lim |
|
|
+ 1 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ctg |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
07 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
− |
|
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim tg |
lim |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
08 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(cos )1/ sin |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 4 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 − 2 cos |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
→0 |
|
|
|
|
2 + 9 |
→/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
2 + − |
|
2 − |
lim |
|
− |
|
tg |
lim |
ln cos |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 + − |
|
2 − |
→/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 − tg 2 |
lim(cos + sin )1/ |
||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 − 7 + 4 − 2 |
lim |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Рекомендуемые средства: функция Limit.
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Суммы и произведения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Задание. Проверить, что выполняются равенства a и b. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
01 |
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(−1)−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
= 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
=1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
2 − 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
02 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
=1 |
(4 2 − 1)2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
=2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
03 |
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
=1 |
2 − 1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
(2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
04 |
∞ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
=1 |
2 + 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
=2 |
(2 − 1)2 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
05 |
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos |
|||||||||||||||||
|
=0 |
2 + 1 ! |
|
2 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
(2 + 1)2 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
06 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
= sh |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
(1 − )2 |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
07 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
sin |
|
|
= ctg |
|
|
|
|
|
|
2−1 |
|
sin |
+ |
= sin |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
08 |
∞ cos |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
cos |
|
|
= sin |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
09 |
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
= ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
= sin |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
= ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
=1 |
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
1 − |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рекомендуемые средства: операторы ∑ и ∏; или функции Sum и Product.
8
3. Дифференцирование.
Задание. Для данных функций = ( ) и = ( ) требуется вычислить их производные 1-го и 2-го порядков: ′ и ′′. В конце следует упростить полученные результаты.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
= ( ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= arctg |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
02 |
= |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos2 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
03 |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + tg |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 + sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
04 |
= 3 |
|
|
(2 ln − 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
= arctg( − |
|
1 + 2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
05 |
= 3/2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ cos |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5 |
+ |
|
|
= arccos |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ cos |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
06 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(1 + 3 2)2 |
|
|
= ln arctg |
|
1 + 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
07 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (ln )1/ |
||||||||||||||||
= |
|
1 + sin 4 − |
1 − sin 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
08 |
= arcsinln |
|
|
|
(ln ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
= ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
09 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
(1 + sin2 )3 |
|
|
= ln(cos2 + 1 + cos2 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
= ln tg |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= + + |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рекомендуемые средства: оператор ; или функция D.
Средства упрощения выражений: функции Simplify и FullSimplify.
9
4. Интегрирование. Неопределенные интегралы.
Задание. Найти неопределенные интегралы a и b. Сделать проверку.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
|
|
|
|
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 + 2 + 4 |
|
|
sh2 + ch2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
02 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
− − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2(ln ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 + + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
1 + 2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 + 8 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 + 4 − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
( 2 + 9) 16 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
07 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2 |
|
arctg |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
4 + 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
08 |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 + + |
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 − sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + )2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 1 ln |
|
|
2 − 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 + cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10 |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(1 − sin )4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 − 2 |
1 − 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Рекомендуемые средства: оператор |
или функция Integrate. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10